Имитационное моделирование стохастических объектов методом Монте-Карло

 

Метод Монте-Карло- это численный метод решения математических задач при помощи моделирования случайных величин. Само название метода «Монте-Карло» происходит от города в княжестве Монако, знаменитого своим игорным домом.

Идея метода состоит в следующем. Вместо того чтобы описывать процесс с помощью аналитического аппарата (дифференциальных или алгебраических уравнений), производится «розыгрыш» случайного явления с помощью специально организованной процедуры, включающей в себя случайность и дающей случайный результат. В действительности конкретное осуществление случайного процесса складывается каждый раз по-иному; так же и в результате статистического моделирования мы получаем каждый раз новую, отличную от других реализацию исследуемого процесса.

Это множество реализаций можно использовать как некий искусственно полученный статистический материал, который может быть обработан обычными методами математической статистики. После такой обработки могут быть получены любые интересующие нас характеристики: вероятности событий, математические ожидания и дисперсии случайных величин и т. д.

Алгоритм исполнения метода Монте-Карло.

1. Подготовка данных для модели- получение теоретических распределений входных параметров объекта;

2. Ввод теоретических распределений параметров объекта в программу;

3. Задание критерия останова работы программы моделирования;

4. Генерация случайного числа для каждого входного параметра объекта в соответствии с их теоретическими распределениями;

5. Прогон модели по каждой генерации случайных чисел;

6. Сбор статистического материала по результатам моделирования- функции цели и промежуточных параметров модели по каждой генерации;

7. Если критерий останова достигнут, то необходимо расчеты прекратить (стоп), в противном случае продолжить, вернуться к п.4.

8. Расчет статистических характеристик: математического ожидания, средних значений и моментов для функции цели и промежуточных параметров модели;

9. Конец расчета.

Критерием останова могут быть:

- количество случайных чисел по каждому входному параметру;

- время расчета;

- абсолютное значение функции;

- скорость изменения целевой функции.

При моделировании случайных явлений методом Монте-Карло мы пользуемся самой случайностью как аппаратом исследования, заставляем ее «работать на нас». Нередко такой прием оказывается проще, чем попытки построить аналитическую модель. Для сложных операций, в которых участвует большое число элементов (машин, людей, организаций, подсобных средств), а случайные факторы сложно переплетены, где процесс - явно не марковский, метод статистического моделирования, как правило, оказывается проще аналитического (а нередко бывает и единственно возможным).

Первая особенность метода - простая структура вычислительного алгоритма, вторая - погрешность вычислений, как правило, про-порциональна D/N2, где D - некоторая посто-янная, N - число испытаний. Отсюда видно, что для того чтобы уменьшить погрешность в 10 раз нужно увеличить N (т. е. объем работы) в 100 раз. Ясно, что добиться высокой точности таким путем невозможно. Принято считать, что метод Монте - Карло особенно эффективен при решении тех задач, в которых результат нужен с небольшой точностью (5-10%).

В задачах исследования операций метод Монте-Карло применяется в трех основных случаях:

- при моделировании сложных, комплексных операций, где присутствует много взаимодействующих случайных факторов;

- при проверке применимости более простых, аналитических методов и выяснении условий их применимости;

- в целях выработки поправок к аналитическим формулам типа «эмпирических формул» в технике.

 

Рис.5.4. Алгоритм моделирования методом Монте- Карло.