Аппроксимация данных функциональными зависимостями 


Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Аппроксимация данных функциональными зависимостями



Две случайные величины X и Y связаны функциональной зависимостью, если существует такая некоторая числовая функция Y=f (X), а коэффициент корреляции между которыми стремится к 1. При значении линейного коэффициент парной корреляции rxy для линейной регрессии rxy = ±1 имеет место функциональная зависимость между двумя рядами данных, в противном случае эти ряды связаны регрессионной зависимостью или при rxy = 0 могут быть между собой независимы. Если этот коэффициент по абсолютной величине 0,3 ≤ rxy ≤ 0,7, то зависимост между двумя рядами данных статистическая и она может оцениваться регрессией.

Выбор аппроксимирующей функции должен производиться с учетом физических законов, определяющих течение процесса, т.е. всегда следует стремиться к функциональной модели. Если из физического смысла переменные связаны линейной зависимостью, то не следует производить аппроксимацию полиномом второй степени- это приведет лишь к искажению модели, снижению ее адекватности. Следует избегать использования полиномов, зависимостей большого порядка (более 4), так как они описывают более высокие колебания, связанные с ошибками, артефактами или не учитываемыми шумами (неуправляемыми переменными). Аппроксимирующие функции для функциональных зависимостей- теже же, что и для описании регрессионных зависимостей: линейные, квадратичные, кубические и т.д., экспонециальные, гиперболические и другие.

Функции роста

Другим видом функций, широко используемых в демографических, медицинских, агрономических и биологических исследованиях, связанных с ростом, динамикой развития растений, животных, человека и их популяций, являются «функции роста», обозначающие некоторую аналитическую функцию зависимости величины W от времени t: W = f(t). Назначение функций роста — связать временные ряды данных, относящихся к росту системы или eе части, в рамках единого математического выражения. Предпочтительно построить такую функцию, которая отличалась бы определенным биологическим, технологическим или физическим правдоподобием и интерпретируемостью параметров, то есть отображала бы лежащие в основе изучаемого процесса физиологические или биохимические механизмы и ограничения, т.е. была бы функциональной.

Обычно динамику процесса роста описывают диференциальным уравнением

 

(3.103)

где , или, если исключить промежуточные переменные, в виде темпа роста - приращения, например, массы или объема в единицу времени

, (3.103а)

где h - некоторая функция.

Это уравнение есть зависимость темпа роста dW/dt от состояния объекта (растения, животного и т.д.), где в качестве переменной состояния выступает переменная W. В некоторых случаях используют форму, где в качестве одного из параметров является время

, (3.104)

где u есть некоторая функция от W и t. Для более полного описания динамики процесса используют относительный темп роста

, (3.105)

показывающий темп роста относительно изменяющейся величины W в данный момент времени.

Для аппроксимации временных рядов роста с целью более наглядного представления применяется полу - логарифмическая шкала. В этом случае кривая сложной формы может преобразовать свой вид и утратить свою первоначальную специфику.

Рассмотрим принципы создания математических моделей функций роста на нескольких примерах.

Пусть существует изолированная система с двумя компонентами - нет ни входов, ни выходов, рис.3.9.

Первый компонент -субстрат S является источником для второго компонента- сухого вещества W (сушка материала, рост растения). Предполагается, что в процессе преобразование первого компонента S в материал второго компонента W потерь нет.

Рис.3.9. Замкнутая двухкомпонентная модель роста.

 

Различные предположения относительно зависимости скорости процесса (темпа роста) от W и S приводят к различным математическим моделям. Эти уравнения выводятся на основе анализа более простых моделей — обычно путем интегрирования дифференциального уравнения. Такой подход облегчает интерпретацию параметров зависимостей типа «сухая масса — время».

Если допустить, что на рассматриваемом отрезке времени система потерь не имеет- не получает из внешней среды и не теряет никакого материала, то справедливы следующие дифференциальные уравнения

 

, (3.106)

так что

, (3.107)

где W0 и S0 - исходные значения сухого вещества W и субстрата S в момент времени t = 0; Wf и Sf – значения к которым приближаются эти параметры при t ―>∞, в допущении, что система со временем приходит в устойчивое состояние;

C - постоянная величина – это состояние которое приобретает система через определенный промежуток времени- количество субстрата S становится равным нулю и весь он преобразуется в сухое вещество W.

Первое из уравнений (3.106) показывает, что темп роста сухого вещества dW/dt равен отрицательному темпу роста субстрата - dS/dt, а второе - общий темп роста системы равен нулю. В итоге после достаточного промежутка времени весь субстрат перейдет в сухое вещество, а их суммарное количество не изменится и останется первоначальным.

Темп роста можно представить в виде некоторой функции ν, зависящей от текущих значений субстрата и сухого вещества, такой, что

. (3.108)

Из уравнения (3.31) следует, что S = C- W, тогда уравнение (3.32) можно записать в виде

, (3.109)

где h – функция одной переменной W.

Таким образом математической моделью системы, изображенной на рис.3.9 является модель с одной переменной. Остается решить какую функцию ν использовать в уравнении (3.109). Выводы по виду функции ν будут зависеть от характера процесса, происходящего в системе.

Простой экспоненциальный рост. Для системы на рисунке 3.10. примем некоторые допущения (ограничения, условия):

- темп роста пропорционально количеству сухой массы W;

- механизм роста «работает» с максимальным темпом на протяжении всего времени, пока существует питательная среда;

- процесс роста необратим и прекращается, как только истощается питательная среда.

Уравнение (3.109) приобретает вид

, (3.110)

где μ - параметр относительного темпа роста.

Параметр μ зависит, во-первых, от вида сухой массы W, соответствующей в заданной пропорции ресурсу питательной среды, и, во-вторых, от производительности или скорости с которой осуществляется процесс роста. Интегрирование уравнения (3.110) дает изменение массы во времени t:

(3.111)

Когда W = Wf, а S = 0, то

(3.112)

и рост прекращается, когда исчезнет ресурс питательной среды S:

. (3.113)

Простой экспоненциальный рост W = W0*eμ*t, без ограничений ресурсом питательной среды S, приведен на рис.3.10- зависимость W1.

Рис.3.10- Функции экспоненциального роста.

 

Уравнение роста Ричардса. Рассмотренная выше модель экспоненциального роста является наиболее простой в смысле математического описания процесса. В действительности происходят процессы, описываемые более сложными функциями. Одной из таких функций является функция Ричардса, рис.3.10 -зависимость W2:

 

(3.114)

или после интегрирования

, (3.115)

где k, n, Wf - постоянные величины; k, Wf - положительны, а n >= -1.

При n < -1 уравнение теряет физический смысл, демонстрируя при W → ∞ -бесконечный рост.

Уравнение логистического роста. При выводе уравнения логистического роста делается двоякое допущение:

- энергия роста пропорциональна сухой массе W;

- механизм роста «работает» со скоростью, пропорциональной ресурсу питательной среды S;

- процесс роста необратим.

Уравнение логистического роста имеет вид, рисунок 3.11- зависимость W3:

, (3.115)

или после интегрирования

. (3.116)

Анализ любого из двух последних выражений показывает, что при W0 << Wf для малых значений t (подстановка W0 = 0 в знаменатель) справедливо приближенное равенство

. (3.117)

 

Контрольные вопросы к главе 3

1. В чем состоит специфика построения моделей регрессии по временным рядам данных?

2. Перечислите основные этапы аппроксимации с помощью обобщенного МНК.

3. Что понимается под множественной регрессией?

4. Какие задачи решаются при построении уравнения регрессии?

5. Какие требования предъявляются к факторам, включаемым в уравнение регрессии?

6. Как проверяется наличие коллинеарности и мультиколлинеарности?

7. Какие подходы применяются для преодоления межфакторной корреляции?

8. Какие функции чаще используются для построения уравнения множественной регрессии?

9. По какой формуле вычисляется индекс множественной корреляции?

10. Что означает низкое значение коэффициента (индекса) множественной корреляции?

11. Как проверяется значимость уравнения регрессии и отдельных коэффициентов?

12. Как вычисляются частные коэффициенты корреляции?

13. Что понимается под гомоскедастичностью?

14. Поясните сущность двухкомпонентной модели роста.

 

Источники информации к главе 3

1. Гартман Т.Н. Основы компьютерного моделирования химико-технологических процессов: Учеб.пособие для вузов/Т.Н.Гартман, Д.В.Клушин.- ИКЦ «Академкнига», 2006, -416 с.: ил.

2.. Шанченко, Н. И. Эконометрика: лабораторный практикум/ Н. И. Шанченко – Ульяновск: УлГТУ, 2004. – 79 с.

3. Франс Дж., Торнли Дж.Х.М. Математические модели в сельском хозяйстве/ Пер. с англ. А.С.Каменского; под ред.Ф.И.Ерешко. Предисл.Ф.И.Нрешко и А.С. Каменского.- М.: Агропромиздат, 1987.400 с.

4. Орлов А.И. Прикладная статистика М.: Издательство «Экзамен», 2004.

Электронные и интернети ресурсы

5. Мухин О.И. Моделирование систем. moi@stratum.ac.ru

 

 



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2017-02-06; просмотров: 296; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 35.175.236.44 (0.04 с.)