Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Обработка результатов измерений случайной величины
Характеристики случайной величины Если случайная величина X может принимать в результате повторяющихся экспериментов дискретные значения x1, x2, …, xn, то отношение числа экспериментов m, в результате которых сдучайная величина X приняла значение xi, к общему числу n произведенных опытов называется относительной частотой m/n появления события X= xi. Относительная частота зависит от количества произведенных опытов и при их увеличении она стермиться к некоторой постоянной величине pi, называемой вероятностю события X= xi: (3.2) Если событие достоверно и оно обязательно должно произойти, то его вероятность равна единице. Вероятность события, которое не произойдет никогда, равна нулю. Поэтому вероятность случайного события находится в пределах 0≤ P ≤1. В результате опыта случайная величина обязательно примет одно из своих значений, а общая сумма вероятностей для всего эксперимента (3.3) Эта суммарная вероятность распределена некоторым образом между отдельными значениями x1, x2, …, xn: Соотношение связи между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями, называется законом распределения вероятностей случайной величины. Распределение непрерывной случайной величины, принимающей любое значение внутри некоторого интервала, недьзя задать с помощью вероятностей отдельных значений. Поэтому для непрерывных случайных величин рассматривается вероятность того, что случайная величина принимает значения меньшие некоторого заданного вещественного числа x. Эта вероятность является функцией от x: (3.4) и называется функцией распределения случайной величины. При предельных значениях аргумента x значения функции распределения будут F (-∞)=0 и F (+∞)=1. Широко применяются нормальная и показательная функции распределения. Нормальное распределение имеет два параметра – среднеквадратическое отклонение σx переменной x и ее математическое ожидание mx: (3.5)
Показательное распределение имеет один параметр- 𝜆: (3.6) Для непрерывной случайной величины вводится понятие функции плотности распределения случайной величины f(x) как производной от функции распределения (3.7) Нормальная и показательная функции плотности распределения имеют вид:
(3.8) По известной плотности распределения функция распределения находится по следующей формуле: (3.9) Для дискретных случайных величин вводится функция распределения дискретной случайной величины, определяемой соотношением (3.10)
Функция распределения в этом случае представляет собой разрывную ступенчатую зависимость. Случайные величины часто определяют с помощью следующих числовых характеристик, выражающих особенности сучайных величин. Математическое ожидание mx случайной величины характеризует центр рассеяния случайной величины и определяется выражениями соответственно для дискретной и непрерывной случайных величин: (3.11) где M - символ математического ожидания случайной величины X. Дисперсия D x = σ2x характеризует разброс значений случайной величины относительно ее центра (математического ожидания mx) (3.12) где M - символ математического ожидания случайной величины (X- mx)2. Для дискретных случайных величин дисперсия определяется следующим образом (3.13) а непрерывных- по формуле: (3.14) Оценка параметров распределения случайной величины При изучении закона распределения случайной величины о характере распределения судят по значениям, принимаемым случайной величиной. Совокупность опытов при бесконечном их числе представляет собой генеральную совокупность значений случайной величины, а совокупность значений случайной величины при любом конечном числе n опытов- выборка объема n из генеральной совокупности. Любая выборка должна давать достаточное представление о генеральной совокупности, т.е. быть представительной или репрезентативной. Суждение о генеральной совокупности также является случайным. Функция распределения для выборки объемом n называется эмпирической функцией распределениея. Она определяется соотношением для дискретных случайных величин: (3.15) где x - некторое значение случайной величины; nx - число выборочных значений этой выборки, меньших x. Относительное попадание случайной величины в i -ый интервал (3.16) Случайный характер выборки определяет и случайный характер значений параметров функции распределения, которые служат случайными оценками истинных значений параметров распределений. Эти значения как правило не известны.
Различают точечные и интервальные статистические оценки. Точечной оценкой называется статистическая оценка, определяемая одним числом. К точечным оценкам предъявляются требования состоятельности, несмещенности и эффективности. Оценка является состоятельной, если при увеличении объема выборки n она стремиться к оцениваемому параметру- его истинному значению (математическому ожиданию и дисперсии). Оценка является несмещенной, если ее математическое ожидание при любом объеме выборки равно ее истинному значению. Оценка является эффективной, если ее дисперсия минимальна. Понятие интервальной оценки связано с понятием доверительной вероятности и доверительного интервала. Доверительной вероятностью β называется вероятность того, что истинное значение оцениваемого параметра θ заключено в интервале (3.17) Границы этого интервала и называются доверительными границами, а сам интервал- доверительным интервалом. Для определения границ доверительного интервала необходимо найти точечную оценку параметра θ и точность этой оценки εβ- разброс оценки вокруг его истинного значения. Точность оценки зависит от закона распределения случайной величины, числовой характеристикой которого служит параметр θ, и заданной доверительной вероятности β, которая характеризует надежность оценки θ и определяет величину доверительного интервала. Чем больше значение β, тем больше должног быть значение этого интервала, т.е. больше εβ и меньше точность оценки, а чем меньше надежность β для оценки , тем уже доверительный интервал и больше точность оценки. Для практических целей обычно принимают β раной 0.9, 0.95, 0.99. Вместо β можно использовать уровень значимости p = 1- β, который определяет вероятность того, что истинное значение не попадет в доверительный интервал.
Функции распределения случайных величин Рассмотрим несколько функций распределения, имеющих важное практическое значение. Равномерный непрерывный закон распределения на интервале [ a,b ]. В этом случае все значения непрерывной случайной величины равновероятны, функция плотностей вероятности которого равна, рис.3.1: (3.18) Это распределение широко применяют в теории надежности систем, теории массового обслуживания. Рис.3.1. Равномерный непрерывный закон распределения случайной величины в интервале [ a,b ] (a = 2, b = 5): f(x) - плотность распределения вероятностей случайной величины; F(x) - функция распределения.
Распределение по закону арккосинуса – закон распределения мгновенных значений синусоиды со случайной фазой, рис.3.2: , (3.19) где a - амплитуда гармонических колебаний.
Рис.3.2- Распределение случайной величины по закону арккосинуса: f(x) - плотность распределения вероятностей случайной величины; F(x) - функция распределения.
Этот закон может быть применен для случайных величин, изменяющихся по циклическим законам, например, изменение температуры по годам, солнечной радиации и т.д. Экспоненциальное распределение - закон распределения, имеющий функцию плотности вероятностей, рис.3.3:
, (3.20) где m - математическое ожидание случайной величины X. Распределение Вейбулла – закон распределения, имеющий функцию плотности вероятностей (3.21) Этот закон используется для аппроксимации распределений случайных величин широкого класса задач, имеющих различные параметры α и β. Распределение Гаусса или нормальный закон распределения случайной величины, характеризуется плотностью вероятностей, рис.3.4: , (3.22) где σ – среднеквадратическое отклонение случайной величины; m1 – математическое ожидание случайной величины. Вероятность попадания случайной величины в интервал [ a,b ] определяется выражением , (3.23)
где: - функция Лапласа или интеграл вероятностей, значения которого протабулированы или имеются в программном обеспечении компьютера; t- табличная случайная величина, табулированная по нормальному закону. Рис.3.3. Экспоненциальный закон распределения: f(x) - плотность распределения вероятностей случайной величины; F(x) - функция распределения. Распределение, близкое к нормальному, имеют много разных по своей природе случайных величин, например тепловые шумы, размеров и масс зерна, плодов, овощей. Как правило, это распределение является результатом действия на случайную величину Рис.3.4. Нормальный закон распределения: f(x)- плотность распределения вероятностей случайной величины; F(x)- функция распределения.
множества других случайных величин. Нормальное распределение является следствием центральной предельной теоремы теории вероятностей - закон распределения суммы независимых случайных величин переменных (X1, X2 , …, Xn), имеющих одинаковые распределения, приближается к гауссовому при неограниченном увеличении числа слагаемых независимо от закона их распределения.
Она широко используется для описания и понимания функционирования реальных систем. Для дискретных случайных величин применяют равномерный дискретный закон распределения, согласно которому все значения дискретной случайной величины равновероятны: . (3.24) Распределение Пуассона - закон распределения дискретных величин, рис.3.5., определяющий вероятность появления события k раз за время t, если считать, что вероятность наступления события на протяжении интервала Δt пропорциональна этому интервалу, а события в различные моменты времени независимы: , (3.25)
где λ = n * P; n - число опытов; P - вероятность появления события в каждом опыте. Закону Пуассона отвечают, например, распределение телефонных вызовов за время t.
Проверка гипотез о законе распределения характеристик проводится аналогично как для входных случайных величин так и для выходных. Для этого статистические данные группируются по интервалам таким образом, чтобы эти интервалы покрывали весь диапазон изменения исследуемого фактора у, длины интервалов были равны, а количество данных в каждом интервале - достаточно большим (во всяком случае, не мёнее пяти). Для каждого интервала (yj - yj -1) подсчитывается число mj результатов измерений, попавших в этот интервал, после чего переходят к вычислению относительных частот hj попадания измеряемого параметра в интервал по формуле , (3. 26) где . Cельскохозяйственные объекты имеют большую вариабельность параметров, поэтому количество необходимых измерений может быть большим- 30 и более. Построение полученного экспериментального распределения относительных частот позволяет подобрать на компьютере с помощью пакета статистической обработки информации наиболее близкий к нему по форме теоретический закон распределения, после чего определяются числовые значения параметров аппроксимирующей функции - теоретического закона распределения.
Гиперболическое H-распределение. Для математического моделирования в сложных системах со слабообусловленными связами (ценозах) применяют ранговое гиперболическое распределение. Гиперболическое ранговое H -распределение математически описывается формулой: , (3.27) где W 1 – фактическое (W 0 – теоретическое) значение первой точки (ранга) в абсолютных величинах; r – ранг; b – характеристический показатель. Ранг – номер по порядку при расположении данных в порядке снижения их величины- ранжированных по убыванию. Например, для вариационного ряда- значений электропотребления объекта P(M) в течение года по месяцам M, приведенного в таблице 3.2, ранжированные значения P(R) приведены в таблице 3.3. Ранг R = 1, 2, …, 12 этого вариационного ряда определяет место электропотребления P в новом вариационном ряду.
Таблица 3.2 - Значения электропотребления объекта: верхняя строка- месяцы; нижняя строка- электропотребление, кВт*ч.
На рисунке 3.6 показано ранговое H - распределение P(H) вариационного ряда P(M) годового электропотребления предприятия. Для данного примера W1 = 314,9 * 103 кВт*ч; β = 1,357. В некоторых случаях, например при описании электропотребления техноценозов, величины W и β могут использоваться для прогнозирования.
Таблица 3.3 - Ранжированные значения электропотребления объекта: верхняя строка- ранг; нижняя строка- электропотребление, кВт*ч.
Рис.3.5. Дискретный закон распределения случайной величины по закону Пуассона: а) - плотность распределения вероятностей f(x); б)- функция распределения F(x).
Рисунок 3.6- График рангового параметрического распределения значений электропотребления: P – электропотребление, кВт*ч.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-06; просмотров: 313; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.212.87.137 (0.504 с.) |