Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости Лейбница. Понятие об абсолютно и условно сходящихся рядах

Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости Лейбница. Знакочередующийся ряд – ряд, у которого любые рядом стоящие члены имеют противоположные знаки.

Признак сходимости Лейбница: если абсолютные величины членов знакочередующегося ряда монотонно убывают при возрастании их номера и n-й член ряда при неограниченном возрастании n стремится к нулю, т.е.

,

то этот ряд сходится.

Доказательство: возьмем сумму S_2m первых членов ряда и запишем ее следующим образом:

S_2m = (a₁ – a₂) + (a₃ + a₄) +…+ (a_2m-1 + a_2m).

Так как разности, стоящие в скобках, на основании условия монотонности убывания абсолютных величин членов ряда, положительны, то

S_2m ³ 0.

Если 2m возрастает, то S_2m не убывает, т.к. каждый раз прибавляются положительные или равные нулю слагаемые.

С другой стороны ту же сумму можно представить в виде:

S_2m = a₁ – (a₂ – a₃) – (a₄ – a₅) -…- (a_2m-2 – a_2m-1) – a_2m.

В скобках стоят положительные числа, поэтому

S_2m a₁.

Следовательно, S_2m, будучи монотонно возрастающей (точнее, не убывающей) и ограниченной последовательностью, имеет при m ® ¥ конечный предел S:

.

Но очевидно, что

S_2m+1 = S_2m + а_2m+1.

На основании условия о стремлении n-го члена к нулю, имеем также

.

Таким образом, получаем

.

Мы получили, что при неограниченном возрастании n частные суммы S_n стремятся к одному и тому же пределу S, независимо от того, будет ли n четное или нечетное. Поэтому ряд сходится.

Понятие об абсолютно и условно сходящихся рядах. Ряд, состоящий из членов разных знаков, называется знакопеременным. Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится как сам ряд, так и ряд, составленный из абсолютных величин его членов. Ряд называется условно сходящимся, если сам ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

Теорема: если для знакопеременного ряда сходится ряд, составленный их абсолютных величин его членов , то данный ряд также сходится.

Доказательство: рассмотрим вспомогательный ряд

Так как 1) 0 и 2) ряд в силу заданной по условию сходимости ряда также сходится, то на основании признака сравнения и рассматриваемый вспомогательный ряд сходится. Поэтому наш ряд представляет собой разность двух сходящихся рядов

=

и, следовательно, сходится, ч. т. д. Обратное утверждение не верно.

 

 

 

 

Степенные ряды.

 

Определение. Степенным рядом называется ряд вида

.

Для исследования на сходимость степенных рядов удобно использовать признак Даламбера.

 

Пример. Исследовать на сходимость ряд

Применяем признак Даламбера:

.

Получаем, что этот ряд сходится при и расходится при .

Теперь определим сходимость в граничных точках 1 и –1.

При х = 1: ряд сходится по признаку Лейбница (см. Признак Лейбница.).

При х = -1: ряд расходится (гармонический ряд).

 

Теоремы Абеля.

(Нильс Хенрик Абель (1802 – 1829) – норвежский математик)

Теорема. Если степенной ряд сходится при x = x₁, то он сходится и притом абсолютно для всех .

 

Доказательство. По условию теоремы, так как члены ряда ограничены, то

где k - некоторое постоянное число. Справедливо следующее неравенство:

Из этого неравенства видно, что при x<x₁ численные величины членов нашего ряда будут меньше (во всяком случае не больше) соответствующих членов ряда правой части записанного выше неравенства, которые образуют геометрическую прогрессию. Знаменатель этой прогрессии по условию теоремы меньше единицы, следовательно, эта прогрессия представляет собой сходящийся ряд.

Поэтому на основании признака сравнения делаем вывод, что ряд сходится, а значит ряд сходится абсолютно.

 

Таким образом, если степенной ряд сходится в точке х₁, то он абсолютно сходится в любой точке интервала длины 2 с центром в точке х = 0.

 

Следствие. Если при х = х₁ ряд расходится, то он расходится для всех .

 

Таким образом, для каждого степенного ряда существует такое положительное число R, что при всех х таких, что ряд абсолютно сходится, а при всех ряд расходится. При этом число R называется радиусом сходимости. Интервал (-R, R) называется интервалом сходимости.

Отметим, что этот интервал может быть как замкнутым с одной или двух сторон, так и не замкнутым.

Радиус сходимости может быть найден по формуле:

Пример. Найти область сходимости ряда

Находим радиус сходимости .

Следовательно, данный ряд сходится прилюбом значении х. Общий член этого ряда стремится к нулю.

 

Теорема. Если степенной ряд сходится для положительного значения х=х₁, то он сходится равномерно в любом промежутке внутри .

 

 

Действия со степенными рядами.