Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Раскрытие неопределенностей других видов по правилу лопиталя.
Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, быть может, самой точки a, и пусть или . Тогда, если существует предел отношения производных этих функций , то существует и предел отношения самих функций f(x)/g(x) при x → а, причем
Таким образом, правило Лопиталя можно сформулировать следующим образом: предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин равен пределу отношения их производных.
17.4 Теорема: Достаточный признак возрастания функции. Если f’(x)>0, (a,b), то f(x) возрастает на [a,b]. Док-во: возьмем x1, x2 Î[a,b]: x1<x2 => f(x2)>f(x1) применим т. Лангранжа f(x) на [x1,x2] по этой теореме f(x2)-f(x1)=f’(c)(x2-x1)>0 => f(x2)>f(x1). Замечание: данные условия не являются необходимыми. Теорема: достаточный признак убывания функции. Если f’(x)<0 на (a,b), то f(x) убывает на [a,b]. Док-во 1: подобно предыдущему. Док-во 2: g(x)=-f(x),тогда g’(x)=-f’(x)>0 => g(x) - возрастает => f(x) – убывает. Несложно показать, что если функция возрастает (убывает) на [a,b], то ее произв. не отрицат.(положит.) на (a,b). f(x) возрастает: [a,b]=>f’(x)Ê0 (a,b). 18.4Достаточные условия существования экстремума. Если f’(x)>0 на интервале (x0-б,х0) и f’(x)<0 на интервале (х0,x0+б) т.е. меняет знак с плюса на минус при переходе на точку х0, т.е. х0 – точка максимума f(x), а если же меняет знак с минуса на плюс, то х0 – точка минимума. Доказательство: теорема: Второй достаточный признак максимума функции. Если f(x) имеет непрерывную вторую производную в окрестности точки х0, и: 1). f’(x0)=0 2). f’’(x0)<0 то х0 точка максимума (аналогично, если f’’(x0)<0, то х0 – точка минимума) Док-во: Возьмем окрестность, где вторая производная сохраняет знак и запишем формулу Тейлора 1-го порядка для х из данной окрестности.
Выпуклость графика функции. Опр. График функции y=f(x) называется выпуклым вниз (вверх) если он расположен выше (ниже) любой касательной проведенной к графику функции на данном интервале. Теорема: Достаточный признак выпуклости графика функции вниз. Если функция f(x) дважды дефференц. на нтервале (a,b) и ее вторая производн. f’’(x)>0 на интервале (a,b), то график функции y=f(x) выпуклый вниз на интервале (a,b). Уравнение касательной: Возьмем X=x.Из первого вычтем второе
Поэтому y>Y следовательно график функции расположен выше касательной Аналогично, если f’’(x)<0 на (a,b) то график функции y=f(x) - выпуклый вверх, на данном интервале. Производная ф-и задана и параметрически Пусть дана функция по определению производной имеем Производная параметрически заданной функции.
|
|||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-05; просмотров: 114; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.188.152.162 (0.006 с.) |