Условия проведения первой серии опытов в натуральных переменных представлены в табл. 15.4. Переход от натуральных значений факторов к кодированным значениям задается формулами:
__ — 30 __ ж2 — 4 __ х3— 30 __ —1,5
xi — 5 > х2 — —f-' ха— 10 - xi~ о,5 *
Еще один важный вопрос для обсуждения — выбор числа параллельных опытов. Они нужны для исключения грубых наблюдений, оценки дисперсии воспроизводимости. Заметим, что если не проводятся параллельные опыты, то возможное неверное установление значения параметра оптимизации хотя бы в одном опыте изменит оценки всех коэффициентов регрессии. Реализация хотя бы двух параллельных опытов позволяет избежать этой ошибки. В нашем случае предварительная оценка дисперсии воспроизводимости (s{j,}=l,0) казалось установленной достаточно надежно v поэтому было выбрано минимальное число параллельных опытов — два. Номера параллельных опытов приведены в табл. 15.4.
Последняя операция перед проведением эксперимента — рандомизация опытов, заключающаяся в выборе случайной последовательности при постановке опытов, для исключения влияния систематических ошибок, вызванных внешними условиями (гл. 8).
Общее число проводимых опытов — шестнадцать. С помощью таблицы случайных чисел получена последовательность: 15, 13, 10, 5, 14, 4, 6, 1, 7, 8, 3, 2, 9, 12, 11, 16. В табл. 15.5 приведены порядок выполнения, матрица планирования и результаты первой серии опытов (здесь у' и у" — результаты параллельных опытов, у — их среднее значение).
Таблица 15.5 Порядок проведения и результаты опытов, матрица планирования (первая серия)
|
|
|
15.4. Обработка результатов эксперимента
Обработку результатов проводим по схеме с равномерным дублированием опытов (гл. 10) в следующей последовательности.
1. Оценка дисперсий среднего арифметического в каждой строке матрицы.
2. Проверка однородности дисперсий с помощью критерия Кохрена.
3. Если дисперсии однородны, то проводится расчет оценки дисперсии воспроизводимости.
4. Определение коэффициентов регрессии.
5. Проверка адекватности модели.
6. Проверка значимости коэффициентов регрессии. Запишем формулы, по которым будем проводить расчеты
(по дисперсиям средних, а не по индивидуальным, как в гл. 8):
max_
„?
Г
N n
| 2) g = 4 2*? |
2 2 — у
| 3) «Ь |
i i
Nn (re — 1)
N N
2 y<xj< 2 yixuixji
4) h b.
N ' "J N
N
5) sl =2/ = ЛГ-(А+1). F = s*Js\9);
6) «Ь» = = ±**{»/)-
Значения дисперсий среднего арифметического каждого опыта приведены в табл. 15.6. Критерий Кохрена равен: 6=1,464/4,510= =0,324. Табличное значение критерия для восьми разных опытов и числа степеней свободы п—1=1 равно 0,679 (уровень значимости 0,05). Экспериментальная величина G-критерия не превышает табличного значения, гипотеза об однородности дисперсий
№
принимается. Дисперсия воспроизводимости равна = 2 =
»=i
= 0,564. Число степеней свободы этой дисперсии N (п — 1) = 8. Таблица 15.6
| 613= 0,6362; Ьи = 0,8837; s[11]{iy}= 0,564/8 = 0,0705. |
Дисперсии среднего арифметического (первая серия опытов)
| Номер опыта | _2 Si | Номер опыта | п | Номер опыта | п | Номер опыта | |
| 1 2 | 0,220 0,160 | 3 4, | 0,640 0,672 | 0,360 0,490 | 0,504 1,464 |
Составим расчетную матрицу (табл. 15.7). Оценки коэффициентов регрессии и дисперсий в их определении:
Ь0= 5,1762; 6в = 1,6712;
Ьг ±= 1,2062; 64 = 1,5337;
Ь2 = 1,7237; Ъ12 = 1,3687;
Результаты расчета остаточной суммы квадратов при проверке адекватности линейной модели приведены в табл. 15.8. В этой таблице у — средние из двух параллельных значений экспери-
Таблица 15.7
Расчетная матрица и результаты опытов (первая серия)
|
|
|
Таблица 15.8 Расчет остаточной суммы квадратов (первая серия опытов)
|
ментальных величин параметра оптимизации, у — рассчитанные по уравнению регрессии. Дисперсия адекватности sffl=24,46/3= =8,15. Число степеней свободы дисперсии адекватности /=8— -—(4+1)=3. Критерий для проверки гипотезы адекватности модели ^=8,15/0,564—-14,4. Табличное значение критерия Фишера (гл. 9) для числа степеней свободы числителя 3 и знаменателя 8 равно 4,1. Экспериментальная величина F-критерия превышает табличное значение, гипотеза об адекватности модели отвергается. Этот вывод мы могли сделать и принимая во внимание значимость эффектов взаимодействия факторов, что собственно является другим критерием неадекватности линейной модели.
Осталось оценить значимость коэффициентов регрессии. Величина ^-критерия для уровня значимости 0,05 и числа степеней свободы, с которыми определялась равна 2,306 (гл. 9). Доверительный интервал + 2,306-0,266=0,613. Абсолютные величины коэффициентов регрессии больше доверительного интервала, гипотеза о незначимости коэффициентов регрессии отвергается.
15.5. Интерпретация результатов.
Принятие решений
после построения модели (первая серия)
Начнем этот раздел с ишерпретации результатов, — перевода модели на язык экспериментатора. Так как линейная модель неадекватна, при интерпретации необходимо учитывать парные эффекты взаимодействия факторов. Здесь, конечно, следует помнить, что эффекты взаимодействия первого порядка попарно смешаны. Линейные коэффициенты регрессии примерно одинаково влияют на параметр оптимизации. Характер их влияния также одинаков: с увеличением значении факторов расте! и величина параметра оптимизации. Коли же еще учеаь, что коэффициенты эффектов взаимодействия положительны, то можно считать, что увеличение концентраций металла, кислоты ы peaiema, а также соотношения фаз приводят к росту коэффициента разделения. Это не противоречит литературным данным, предполагавшим существование наилучших значений коэффициента разделения циркония и гафния в области более высоких значений факторов. Величина коэффициента разделения, полученная в последнем опыте (см. табл. 15.7), близка к некоторым литературным данным.
Теперь займемся принятием решений. Условия наилучшего опыта (опыт № 8, табл. 15.7), по-видимому, лежат в области, близкой к ошимуму. В блок-схеме принятия решений в задаче определения оптимальных условий, линейная модель неадекватна, этой ситуации соответствуют два возможных решения: реализация плана второго порядка р окончание исследования. Принимать последнее решение у нас нет основании — мы еще не можем считать задачу решенной. Поэтому останавливаемся на другом решении — реализация плана второго порядка.
Здесь несколько слов следует сказагъ о различных возможностях перехода к планированию второго порядка. Наиболее распространенные на практике планы второго порядка для четырех факторов, ортогональные, ротатабельные, /^-оптимальные и некоторые другие, содержат от 24 до 31 опытов. «Ядро» таких планов составляет полный факторный эксперимент 21. Возможно выполнение сразу всех опытов или другой путь - последовательное композиционное «достраивание» плана. Сначала реализуется полуреплика от полного факторного эксперимента, проверяется гипотеза адекватности линейной модели. Если модель адекватна, то можно переходить к движению ио градиенту. При неадекватной модели следует «достраивать» полуреплику либо до плана второго порядка, либо до полного факторного эксперимента. В последнем случае снова проверяется гипотеза адекватности линейной модели ит. д.
|
|
Второй путь — последовательная реализация плана, кажется предпочтительным с точки зрения экономии опытов. И он действительно весьма распространен на практике.
17 Заказ J* 588
Таким образом, мы пришли к решению: перенос центра плана в условия наилучшего опыта первой серии и последовательное построение плана второго порядка. Теперь остается принять решение о выборе интервалов варьирования факторов во второй серии опытов. Снова обращаемся к блок-схеме принятия решений при средней точности фиксирования факторов (гл. 6). В отличие от процедуры принятия решений в первой серии опытов, сейчас появилась информация о нелинейности поверхности отклика. Широкий диапазон изменения параметра оптимизации вместе с -установленной характеристикой поверхности отклика приводит к единственному решению — узкому интервалу варьирования факторов.
15.6. Реализация плана (вторая серия)
Условия, матрица планирования и результаты второй серии опытов представлены в табл. 15.9. Интервалы варьирования факторов уменьшены в два раза по сравнению с первой серией опытов
Таблица 15.9 Условия, матрица планирования и результаты опытов (вторая серия)
|
| Опыты | Порядок проведения двух повторных опытов | Кодированные значения факторов | |||||||
| «о | х2 | X, | V' | у | У | ||||
| 4; И | +1 | —1 | -1 | —1 | —1 | 12,15 | 10,85 | 11,50 | |
| 8; 9 | +1 | +1 | -1 | +1 | —1 | 8,70 | 7,70 | 8,20 | |
| 3; 14 | 4-1 | —1 | —1 | +1 | +1 | 9,84 | 7,16 | 8,50 | |
| 10; 15 | +1 | —1 | +1 | —1 | +1 | 15,21 | 12,79 | 14,00 | |
| 2; 12 | +1 | +1 | +1 | —1 | —1 | 12,10 | 13,30 | 12,70 | |
| 1; 13 | +1 | +1 | —1 | —1 | +1 | 9,25 | 10,75 | 10,00 | |
| 5; 7 | +1 | —1 | +1 | +1 | —1 | 13,20 | 11,80 | 12,50 | |
| 6; 16 | +1 | +1 | +1 | +1 | +1 | 12,85 | 14,15 | 13,50 |
и составляют не более 10% от области определения факторов. В этой серии снова реализована полуреплика от полного факторного эксперимента 24 с генерирующим соотношением =х1хгх3
и двумя параллельными опытами. Кроме того, был добавлен еще один опыт в центре плана для оценки значимости суммы коэффициентов регрессии при квадратичных членах (2 (3^.). В этом опыте получены следующие значения параметра оптимизации: /=13,37; у" = 14,83; £=14,10.
|
|
| 64 = 0,1375; Ь12 = 0,1875; Ъ13 = 0,4375; Ь14 = 0,5125; |
| s\b.y = 0,0875; s{b) = 0,296. |
Обработку результатов проводим по той же схеме. Значения дисперсий среднего арифметического каждого опыта второй серии приведены в табл. 15.10. В этой серии учтена информация о параллельных опытах в центре плана. Критерий Кохрена G=1,795 /6,300= =0,28. Табличное значение критерия для девяти опытов и одной степени свободы равно 0,638; гипотеза об однородности дисперсий не отвергается. Дисперсия воспроизводимости равна 0,700, для нее число степеней свободы девять.
Таблица 15.10 Дисперсии среднего арифметического (вторая серия опытов)
|
Оценки коэффициентов регрессии и дисперсии в их определении:
60= 11,3625;
&! = —0,2625;
\ = 1,8125;
Ъ3 = —0,6875;
Результаты расчета остаточной суммы квадратов при проверке адекватности линейной модели во второй серии опытов представлены в табл. 15.11. Дисперсия адекватности и критерий Фишера равны я*=3,912/3=1,304; F=i,304/0,700=1,86. Табличное значение ^-критерия для трех и девяти степеней свободы равно 3,9 (гл. 8); нет оснований отбрасывать гипотезу адекватности линейной модели.
Величина доверительного интервала для коэффициентов регрессии Д6^.=0,296-2,26 =0,669. Оказалось, что два линейных коэффициента регрессии (Ьх и Ь4), а также все эффекты взаимодействия первого порядка незначимы, что могло быть результатом сужения интервалов варьирования.
Ранее отмечалось (гл. 9), что кроме величины Т^-критерия, формальными признаками, по которым можно установить неадекватность линейной модели, являются: 1) значимость хотя бы
Таблица 15.11 Расчет остаточной суммы квадратов (вторая серия опытов)
N 2Ду? = 3,913 fc=i |
одного из эффектов взаимодействий; 2) значимость суммы коэффициентов регрессии при квадратичных членах 2 ^. Первый признак подтвердил гипотезу адекватности. Оценкой суммы коэффициентов регрессии служит разность между bQ и значением зависимой переменной в центре плана у0. В нашем случае у0—Ъ0= = 14,10—11,36=2,74; эта величина значительно превосходит ошибку опыта ^{у}=0,84 и поэтому гипотеза о незначимости коэффициентов при квадратичных членах не может быть принята.
|
|
Еще во введении мы предупреждали, что даже простая процедура планирования эксперимента может оказаться весьма коварной. Этот пример — подтверждение тому. Наличие квадратичных эффектов указывает на кривизну поверхности отклика, что приводит к плану второго порядка. Сужение же интервалов варьирования факторов привело к тому, что гипотеза адекватности линейной модели не была отвергнута.
15.7. Интерпретация результатов.
Принятие решений после построения модели
(вторая серия)
Среднее значение Ь0 во второй серии опытов оказалось примерно в два раза выше, чем в первой серии. Это еще один аргумент в пользу гипотезы о близости области оптимума. В этой области факторного пространства влияние концентрации кислоты выше, чем влияние концентрации экстрагента. Обратим внимание на изменение знака коэффициента Ъ3 по сравнению с первой серией опытов. Изменение знака указывает, что область оптимальных значений по концентрации экстрагента «где-то рядом»,
№
Теперь приходится снова принимать решение. Перенос центра эксперимента в лучшую точку можно рассматривать как некоторый способ поиска оптимальных условий. И поскольку этот прием оказался эффективным, обратимся к блок-схеме принятия решений после крутого восхождения, крутое восхождение эффективно (гл. -12). Здесь, как и при принятии решений после первой серии опытов, те же два варианта при близости области оптимума: окончание исследования и план второго порядка для описания области оптимумя. Будем выполнять намеченный ранее план — достраивание полуреплики до плана второго порядка.
Это решение потребовало выполнения еще 16 опытов. Затем было рассчитано уравнение регрессии второго порядка. С его помощью найдены условия опытов, для которых величина параметра оптимизации оказалась близкой к 30. Однако описание этих опытов лежит за той чертой, которая отделяет нашу книгу от грочего мира.
Литература
1. Ю. В. Грановский. II. А. Чернова, Ю. П. Адлер и др. Математическая модель для процрсс? экстракционного разделения гафния и циркония трибутилфосфатом. — Заводская лаборатория, 1963. 29, № 1.
2. Металлургия циркония. Под ред. Г. А. Меерсона и ГО. В. Гагаринского. М.. ИЛ, 1959.
3. В. И. Спицьт, Ю. В. Грановский, Л. П. Комиссарова. Планирование экспериментов при изучении экстракции циркония и гафния. — В сб. «Планирование эксперимента». М., «Наука», 1966.
4. Л. А. Барский, И. Н. Ллаксин. Критерии оптимизации разделительных процессов. М., «Наука», 1967.
5. И. П. Алимарин, Ю. А. Золотое. Терминология экстракции. — Ж, анал. хим.. 1971, 26, № 5.
0. Ю..4, Золотое, Б. 3. Иофа. Л. К. Чучалип■ Экстракция галогенид- ных комплексов металлов. М., «Наука», 1973.
7. М. Ю. Медведев, В. Г. Майоров, А. Г. Бабкин и др. Изучение оптимальных условий экстракции и разделения ниобия и тантала. — В сб. «Планирование эксперимента». М.. «Наука», 1966.
8. Ю. Л. Адлер. Введение в планирование эксперимента. М.. «Металлургия», 1969.
9. Ю. 77. Адлер, И. Ф. Александрова, Ю. В■ Грановский и др. Об одном методе формализации априорной информации при планировании эксперимента. В сб. «Планирование эксперимента». М.. «Наука», 1966.
10. Ю. В. Грановский. 10. П. Адлер, В. В. Налимов и др. Отсеивающие эксперименты при изучении разделения циркония и гафния экстракцией трибутилфосфатом. — Заводская лаборатория. 1963, 29, № 10.
Глава шестнадцатая
О КЛАССИФИКАЦИИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ПЛАНОВ
На правилах покоится игра.
Г. Гессе. Игра е бисер
Итак, мы рассмотрели подробно одну из задач планирования эксперимента. В действительности экспериментатор сталкивается с огромным разнообразием постановок задач и, соответственно, экспериментальных планов. Поэтому мы решили написать эту главу, цель которой связать наше изложение со всем множеством задач, объединенных общим названием «математическая теория эксперимента».
В зависимости от задачи исследования, свойств объекта, выполнения математических предпосылок, наличия априорной информации и т. д. можно выбрать тот или иной класс планов для получения необходимой информации [1, 2].
Создание единой системы классификации экспериментальных планов представляет собой сложную задачу. Оно связано с выявлением и отбором признаков, позволяющих проводить однозначную классификацию всего множества известных планов. На данном этапе в качестве предварительной классификации можно предложить систему, которая включает в себя следующие классы планов: 1) планы дисперсионного анализа; 2) планы отсеивающего эксперимента; 3) планы многофакторного анализа; 4) планы для изучения поверхности отклика; 5) планы для динамических задач планирования; 6) планы для изучения механизма явлений; 7) планы для построения диаграмм состав—свойство, состав—состояние. Такая классификация создается в последнее время в литературе по планированию эксперимента при изложении различных разделов этой теории. Разбиение планов на указанные группы проведено в основном по задачам исследования и методам планирования эксперимента, используемых для их решения. Естественно, что такая классификация довольно условна, но тем не менее может быть использована в качестве предварительной, чтобы помочь экспериментатору ориентироваться в различных разделах планирования эксперимента.
Заметим, что по методу анализа и виду математической модели, используемым при представлении результатов многофакторного эксперимента,' все перечисленные" классы планов можно объединить в три группы: 1) планы дисперсионного анализа;
2) планы регрессионного анализа; 3) планы ковариационного анализа.
Следуя Г. Шеффе [3], основные предпосылки указанных методов анализа при представлении результатов многофакторного эксперимента из N опытов можно записать в следующей форме: вектор выхода y(Nxl~> имеет распределение
yNxlN (хт$р; о2/) — в случае дисперсионного
анализа;
xi —^ /у (zTxkxl, о2-/) —н случае регрессионного
анализа;
//Л'Х1 Л? (xT^l'xl zT-(kX1; а21) — в случае ковариационного
анализа.
Здесь хт — транспонированная матрица независимых переменных x.j, которые могут быть как количественными, так и качественными в задаче дисперсионного анализа; гт — транспонированная матрица количественных переменных z{j, пробегающих непрерывный ряд значений в задаче регрессионного анализа, а также матрица количественных и качественных неуправляемых переменных в задаче ковариационного анализа; (3(*>х1) — вектор эффектов (главные эффекты, эффекты взаимодействия, эффекты блоков и другие эффекты, например, эффекты порядка варьирования факторов, остаточные эффекты), подлежащих оценке по результатам эксперимента в задачах дисперсионного и ковариационного анализов; у'*^' — вектор коэффициентов регрессии в задачах регрессионного и ковариационного анализов; о2 — дисперсия ошибки эксперимента; I — единичная матрица; N — индекс нормального распределения.
В алгебраической форме уравнение модели, например для ковариационного анализа, имеет вид: р к
<=0 j=1
где е — случайная ошибка, относительно которой обычно постулируют М(г()= 0; М(е{е^) = 0, т. е. ошибки некоррелированы и однородны.
Задача любого вида анализа заключается в установлении существенности эффектов исследуемых переменных на фоне этой ошибки.
Следует отметить, что хотя границы между перечисленными видами анализа не являются очень точными и общепринятыми, тем не менее для общности рассмотрение всех классов планов в рамках этих видов анализа полезно и целесообразно. Ниже дается характеристика каждого класса планов с указанием назначения планов, методов их построения, а также сведений о математической модели представления результатов эксперимента и ее анализе.
16.1. Планы дисперсионного анализа
Дисперсионный анализ — это статистический метод, с помощью которого производится разложение суммарной дисперсии на составляющие. В зависимости от числа источников дисперсии различают однофакторный и многофакторный дисперсионные анализы.
Если при постановке опытов реализуются все возможные совокупности условий, задаваемые выбранной схемой эксперимента, говорят о полных классификациях дисперсионного анализа. Если же реализуются не все возможные совокупности условий, а некоторая их часть, т. е. производится сокращение перебора вариантов, — речь идет о неполных классификациях дисперсионного анализа.
Сокращение перебора вариантов может производиться случайным образом или в соответствии с некоторыми строгими правилами. В первом случае это неполные классификации дисперсионного анализа без ограничения на рандомизацию, во втором случае — с ограничением на рандомизацию.
Полные классификации дисперсионного анализа применяются для исследования сравнительно небольшого числа факторов (обычно не более пяти), так как полный перебор вариантов требует постановки большого числа опытов, например, при варьировании пяти факторов на трех уровнях необходимо поставить 243 опыта. Число уровней может быть одинаковым для всех факторов (эксперимент типа пт), но может быть и различным (эксперимент пткь...).
Модель, с помощью которой представляются экспериментальные данные, имеет вид
•••+аЛ-Г*:+ ••• +<4/*:.
где y(jk — результат эксперимента, полученный на г-м уровне первого фактора; у'-м уровне второго фактора и к-м уровне третьего фактора; р. — среднее по всему множеству опытов; а{ — эффект г-го уровня первого фактора; (Зу — эффект 7-го уровня второго фактора; fk — эффект к-то уровня третьего фактора;
— эффект взаимодействия г-го уровня первого фактора с у-м уровнем второго; atfk — эффект взаимодействия г-го уровня первого фактора с fc-м уровнем третьего и т. д.; sijk — остаточный член, с помощью которого оценивается ошибка эксперимента.
Среди неполных классификаций дисперсионного анализа с ограничением на рандомизацию наиболее популярными в планировании эксперимента являются неполноблочные планы (блок- схемы) и латинские планы. Различают полностью сбалансированные и частично сбалансированные блок-схемы.
Блок-схема, в которой пары элементов появляются определенное ппсло раз, носит название сбалансированной неполной блок- схемы (BIB-схемы) [12] со следующими параметрами: v — число элементов; b — число блоков; к — число единиц в блоке; г — число блоков, которым принадлежит один и тот же элемент; У. — число повторений каждой пары элементов. Чтобы блок-схема была сбалансированной, требуется выполнение следующих условий: 1) каждый блок В содержит одинаковое число к элементов; 2) каждый эле- мерт ai принадлежит одному и тому же числу г блоков; 3) для каждой неупорядоченной пары а., ау различных элементов число блоков, содержащих эту пару, равно >>.
Сбалансированное неполноблочное планирование может быть найдено для любого числа элементов v и любого размера блока к. Однако большинство В IB-схем не представляет интереса для планирования эксперимента, так как г велико. Обычно в планировании не применяются BIB-схемы с г > 10.
Частично сбалансированный план (частично сбалансированная блок-схема, сокращенно PBIB-схема) [13] это план, в котором каждый блок содержит одно и то же число элементов и каждый элемент принадлежит одному и тому же числу блоков, но некоторые пары элементов принадлежат одному числу блоков в то время как другие пары — другому числу блоков В общем \ и \ могут быть любыми различными целыми числами, включая нуль. РВIB- схемы с параметрами и \ имеют два ассоциативных класса и сокращенно обозначаются РВ1В(2)-схемы. В общем случае число классов равно т.
Цепные блок-схемы являются специальным впдом блок-схем. Простейшие цепные блок-схемы построены таким образом, что пара элементов в двух соседних блоках одинакова и является связующим звеном. Такое связывание блоков является основным свойством цепных блок-схем. Связывающие звенья образуются из элементов первой группы, которые повторяются в плане два или большее число раз. Элементы второй группы встречаются в плане только один раз. Цепные блок-схемы целесообразно применять и следующих ситуациях: 1) размер блока ограничен и число элементов значительно превышает этот объем; 2) сравнение элементов внутри блоков проводится с такой точностью, что достаточно одного или двух повторений; 3) все элементы можно разбить на две группы.
Элементы первой группы являются наиболее важными, и сравнение пар этих элементов желательно проводить достаточно точно. Поэтому они повторяются минимум два раза. Элементы второй группы считаются дополнительными п встречаются в плане по одному разу.
Цепные блок-схемы используются в экспериментальных исследованиях, проводимых с высокой точностью, например в физике.
Специфическим типом неполноблочных планов являются решетчатые планы. Они могут быть полностью или частично сбалансированы и иметь форму квадрата, прямоугольника или куба. Решетчатые планы различаются также по числу величин, которые балансируются. Так, например, план в форме квадрата может быть сбалансирован по одному фактору. В этом случае он имеет одно ограничение и носит название квадратной решетки. Но план в форме квадрата может быть сбалансирован и по двум факторам. Тогда он имеет два ограничения и называется решетчатым квадратом.
В m-мерных сбалансированных решетках, имеющих квадратную форму, число элементов равно Af, где к есть простое целое число. Параметры этих планов связаны следующими соотношениями:
v = А», г=к + 1, Ь = к {к + 1).
Модель, с помощью которой представляются экспериментальные данные для планов, не разбитых на реплики, имеет вид
а для планов, разбитых на реплики, —
У ijq = f* + «,' + ht + Т«+ *iJV
К латинским планам мы относим латинские и гипер-греко-ла- тинские квадраты, кубы, прямоугольники, параллелепипеды, а также сложные планы, построенные на базе латинских планов. Латинские прямоугольники, к одной из разновидностей которых относятся квадраты Юдена, имеют «двойное подчинение»: по методу построения они связаны с латинскими квадратами (их можно построить вычеркиванием определенных строк или столбцов латинских квадратов, поэтому они еще называются неполными латинскими квадратами), а по свойствам и по методам статистического анализа они близки к блок-схемам.
Латинским квадратом называется квадратная таблица из элементов (чисел или букв), такая, что каждый элемент встречается один и только один раз в каждой строке и в каждом столбце. При планировании эксперимента строчки^и столбцы квадрата употребляются для обозначения уровней двух факторов, образующих факторный эксперимент типа п2. На него накладывается п X п латинский квадрат. Латинский квадрат является частью плана, однако в планировании эксперимента весь план принято называть латинским квадратом (рис. 39).
Результаты эксперимента представляются в виде линейной модели
Уць = Р + «< +?/ + sijk-
Главными эффектами являют.ся at и f^-. Они «элиминируются» группировкой элементов квадрата (у^.).
Латинский квадрат не является обычной моделью с предположением нормальности, по которой ошибки независимы и их дисперсии равны. Статистический анализ существенно опирается на предположение аддитивности и может быть ошибочным, когда есть взаимодействия.
Два латинских квадрата называются ортогональными, если при наложении одного квадрата <tf на другой каждая пара одинаковых элементов встречается один йг и только один раз. Комбинация двух ортогональных квадратов аз носит название латинского квадрата второго порядка. Если эле- ai
менты первого квадрата обозна- _ олтт -, w
v Рис. 39. Латинскии квадрат 4X4
чить латинскими буквами, а
второго — греческими, то такой
квадрат называется греко-латинским. Модель эксперимента имеет вид
VtjM = f4 + а< + Ь + Т* + 8о + V
Три ортогональных латинских квадрата образуют латинский квадрат третьего порядка или гипер-греко-латинский квадрат. Модель эксперимента
У^кор = f* + ai + h + Г* + So + + £ijkoP-
Если имеется к ортогональных латинских квадратов, то они образуют латинский квадрат к-ro порядка. Пусть дано множество S из п элементов. Латинским прямоугольником, основанном на n-множестве S, называется такая прямоугольная г X s-таблица, в которой каждая строка является s-перестановкой элементов S, а каждый столбец — r-перестановкой элементов S при г ^ п,
Квадратами Юдена называются такие латинские прямоугольники, для которых выполняются следующие соотношения: и — Ь, к = г. Модель эксперимента
ijk-
Латинским кубом первого порядка размера п называют кубическую таблицу из п элементов, расположенных в п3 позициях, такую, что каждый элемент входит в таблицу п2 раз и встречается в каждой из п плоскостей, параллельных координатным плоскостям ХхОХ2, ХхОХз и Х2ОХ3 одинаковое для всех элементов число раз, равное п.
| о |
| e! ct г/ 0 |
| * c, ^ CJ |
Если некоторый 'латинский куб размера п первого порядка можно наложить на другой латинский куб размера п первого по
рядка так, что каждый элемент одного куба встретится точно п раз с каждым элементом другого куба, то такие два куба, называют ортогональными. Два ортогональных куба, наложенных друг на друга, образуют греко-латинский куб первого порядка.
