ТОП 10:

Обобщающий определяющий контраст



1 = Х^Х^Х^ == XiXsXi = Х2Х3ХЪ = X1X2XgX7 = x2xsxtxt — x1xaxixt == x3xix7 =


 

= xix2xbxt = «a®»»? = x\xt,x7 = = ZJS^jz, = =

—— ХдХт^ХцХу = X [ХоХуХ^Х^Х^Ху ,

Такой обобщающий определяющий контраст получен в результате по­парного перемножения ив ход них контрактов, затем — умножения по три н по четыре.


Если всеми коэффициентами взаимодействия, начиная с тройных, можно пренебречь, то коэффициенты будут совместными оценками:

^24 "Г Рз» + Й, -> (i, -f- j346 -)- р27,

&2 ~> Р2 + Pu + Рз. + р57, Р, -> Р, + Р2„ + Р« "f Pl7,

4 Рн + Р26 + Р«, *,->Рт+Рм + р25 + р1«-

*4->р4+РИ + РИ + Рз7.

Разрешающая способность такой реплики чрезвычайно мала, так как каждый линейный эффект определяется совместно с тремя парными взаимо­действиями. Такой репликой можно пользоваться только в том случае, если все парные взаимодействия равны нулю. В большинстве случаев, начиная исследование процесса, трудно априорно предсказать, будут эффекты взаимо­действия или нет. Поэтому акопериментатор должен наметить план дальней­ших опытов для случая, если парные эффекты значимы и поиск оптимальных условий будет неэффективным. В нашем примере нужно реализовать спе­циальным образом выбранную вторую реплику 27-4 (метод перевала).

Матрицу планирования для этой реплики можно получить из первой реплики, изменив в вей все знаки на обратные. Такая реплика задается генерирующими соотношениями

=—===== '—-f Z^Zg.

В обобщающем определяющем контрасте все тройные произведения ока­зываются со знаком минус, и поэтому в совместных оценках для линейных эффектов не будет парных взаимодействий со знаком плюс. Усредняя резуль­таты вычислений для таких двух реплик, можно получить раздельные оценки для всех линейных эффектов.

Мы последовательно рассмотрели реплики различной дроб­ности: 1/2-реплику от 28, 1/2-реплику от 24, 1/4-реплику от 25, 1/8-реплику от 2е и 1/16-реплику от 27. В первом случае необ­ходимы четыре опыта. Во всех прочих случаях экспериментатор ставит восемь опытов. С ростом-числа факторов увеличивается дробность реплик и усложняется система смешивания. Предель­ное число факторов для восьми опытов — семь. В этом случае оценивается восемь коэффициентов линейного уравнения г/=60+ -+- 63X3-4- 64x4-f- -(- & 6a;e -f- ; число степеней свободы

равно нулю. При числе факторов от 8 до 15 приходится ставить 16 опытов. С ростом числа факторов дробность реплик растет следующим образом: 1/32-реплика от 2е, 1/64-реплика от 210, 1/128-реплика от 211, 1/256-реплика от 212, 1/512-реплика от 213, 1 /1024-реплика от 214 и 1/2048-реплика от 215. Предельное число факторов для 16 опытов — пятнадцать. План с предельным чис­лом факторов для данного числа опытов и заданной модели на­зывается насыщенным. В этом случае число опытов равно числу оцениваемых коэффициентов. Все рекомендации для выбора си­стемы смешивания аналогичны приведенным выше. Можно, далее, рассматривать построение дробных цланов для числа факторов от 16 до 31 (при этом необходимо ставить 32 опыта), для числа


  Кодовые обозначения переменных   lOlO 1О1О1О in in in LO in in OO^t^CD^in CO l^-^l^l^rgi^OCDCNJO со't--" io" L-O" f-' v-f" GO*" СП)" io" со" io' со" со" LO v-f" чгчг-а'чгеочг-^чгаэоочгщаэсмаэ
  Л in.in^c-^^cM^cM in_o L-O^L-O о L-O^q oo' t>" oo" со" со" oo" erf of in см" of —* со" со" со чГчГчГчГСОчГчГчГОэаэО-^ЩОСМО
  г» cM_o_t-_cM_t-- in_cM^ in о о si^o m о о оз" oo" t--" о" oo" of oo" m" о" o" со" t--" in" сочрчр-з'^чрчгчраэ^чнююаэсмоо
1:1 0,5* 1:0,51:1,5 к OS +11 H-H 1 HI+!1++Y
oo ем о to н 1 1 H+++ 1 1 + 1 II 1 H-l- Y
t-- CO О к 1+1++1+1++I 1 + 1 + 1 £
CO О к 1 ++1 1++1+1 I-+ 1 1 +1
r-^co о чр" to'co" к CM 1++1+11 + 1 + 1 + 11++ s
irT^" г-Гчр" к Ю ++++1 II I II I ++++ 1 2-
in Щ 0,CO__ 00"Щ" «Г ++11 ++111 ++11++1 2-
CM О к ++ и и+-I-+II 1 1 +++
0_CD X т-i" cTCO £ +1 +1 + i +1 i i +1 +1 ++ £
О lO in in•rt о «о «г + i + ii -ы +++1i +1 +1 Ц
щ m CDCO о_со sf <3> + 1 1 ++ 1 1 ++1 ++1 1 + 1
СМ СО к И I I II 1 I ++++++++ 5" C<3
in m_ со"~ Щ СМ к II11++++111++++1 2
о о о о mm о оt- 00 t> к 11++11++I++1I++1 £
tDc4. •rt СМ «н к I + I + I + I + I I +1 +1 ++ s-
    m ++++++++++++++++ 3-
Основной уровень Интервал варьиро­вания Верхний уровень Нижний уровень Номер опыта  
s Я" a

a a> ч в1

 

факторов от 32 до 63 (здесь необходимы 64 опыта) и т. д. Однако для решения столь сложных задач рекомендуется применять методы отбора факторов, например метод случайного баланса [5].

Поэтому в «Ограничениях» мы и отметили, что будем рассмат­ривать задачи с числом факторов от 2 до 15.

В качестве последнего примера рассмотрим применение плана

215-11.

Пример 5. Изучалось влияние следующих 15 факторов на скорость хлорирования титановых шлаков в расплаве [6]. Пусть хг — расход хлора; х2 — температура; х3 — концентрация углерода в расплаве; х4 — концен­трация ТЮ2 в расплаве; хь—хп — компоненты, определяющие состав шлака; х12—х — компоненты расплава.

Столь большое число факторов было включено в программу исследова­ния потому, что процесс хлорирования плохо изучен. Планы такого типа применяются в планировании эксперимента довольно редко, так как число степеней свободы равно нулю и' невозможно провести последовательный статистический анализ. Здесь даже нет смысла выписывать совместные оценки, линейные эффекты смешаны со 105 парными взаимодействиями. Освободиться от них можно с помощью метода «перевала»: нужно дополнить первую реплику второй, изменив все знаки в матрице планирования на об­ратные. В табл. 7.10 представлены уровни факторов и интервал варьирова­ния, матрица планирования и результаты экспериментов. В последней строке помещены коэффициенты.

7.6. Резюме

Дробные реплики находят широкое применение при получе­нии линейных моделей. Целесообразность их применения воз­растает с ростом количества факторов. В табл. 7.10 показано, что при исследовании влияния 15 факторов можно в 2048 раз сокра­тить число опытов, применяя реплику большой дробности (16 опытов вместо 32768). Эффективность применения дробных реплик зависит от удачного выбора системы смешивания линейных эф­фектов с эффектами взаимодействия, а также от умелой стратегии экспериментирования в случае значимости некоторых взаимодей­ствий. Априорные сведения о взаимодействиях могут оказать большую услугу экспериментатору.

При построении дробных реплик используют следующее пра­вило: для того чтобы сократить число опытов при введении в плани­рование нового фактора, нужно поместить этот фактор в вектор- столбец матрицы, принадлежащий взаимодействию, которым можно пренебречь.

Реплики, которые используются для сокращения опытов в 2т раз, где т=1, 2, 3, 4, . . ., называются регулярными. Они пользуются большой популярностью, так как позволяют про­изводить расчет коэффициентов уравнения так же просто, как и в случае полного факторного эксперимента.

При применении дробных реплик линейные эффекты смеши­ваются с эффектами взаимодействий. Чтобы определить систему смешивания, нужно знать определяющие контрасты и генериру­ющие соотношения. Определяющим контрастом называемся сим­волическое обозначение произведения любых столбцов, равное +1.

Чтобы определить, какие взаимодействия смешаны с данным линейным эффектом, нужно умножить определяющий контраст на этот линейный эффект и получить генерирующие соотношения. Например, если имеются следующие генерирующие соотношения:

определяющий контраст будет

i-X^tXg.

Эффективность реплики зависит от системы смешивания. Реплики, у которых линейные эффекты смешаны с взаимодей­ствиями наивысшего порядка, являются наиболее эффективными, так как обладают наибольшей разрешающей способностью.

Для освобождения линейных эффектов от взаимодействий первого порядка можно использовать метод «перевала». Смысл метода в добавлении новой реплики, все знаки которой противо­положны исходной реплике.

С ростом числа факторов быстро увеличивается число реплик различной дробности. Эти реплики характеризуются обобщаю­щими определяющими контрастами, которые получаются пере­множением по два, по три и т. д. исходных определяющих кон­трастов.

Мы научились строить полные и дробные факторные экспери­менты. Давайте теперь посмотрим, как их реализовать.

Литература

1. W. S. Сопщг, S. Young.Fractional Factorial Designs for Experiments with Factors of two and, three Levels. National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series, 58, 1961.

2. 0. L. Dauies, W. A. Hay. The construction and uses of fractional factorial designs in industrial research. Biometrics, 6, 1950.

3. B. 3. Бродский. Многофакторные регулярные планы. М., изд-во МГУ, 1972.

4. Е. В. Маркова, П. Фарка, И. П. Борисова и др. Метод планирования эк­сперимента при поиске- оптимальных условий получения полимерного серусодержащего антиоксиданта. — Пластические массы, 1969, № 1.

5. F. Е. Satterthwaite. Random Balance Experimentation. — Technometrics, 1959, 1, N 2.

6. П. П. Хомяков, Ю. П. Адлер, В. В. Налимов. Выявление факторов, влияю­щих на скорость хлорирования титановых шлаков в расплаве. — Завод­ская лаборатория, 1963, 29, № 1.


Глава восьмая

ПРОВЕДЕНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА







Последнее изменение этой страницы: 2017-02-05; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.235.29.190 (0.009 с.)