Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Разложение определителя по строке.Стр 1 из 4Следующая ⇒
Определение2. 1. Минором элемента определителя называется определитель, полученный из данного путем вычеркивания строки и столбца, в которых стоит выбранный элемент.
Обозначение: выбранный элемент определителя, его минор.
Пример. Для
Определение2. 2. Алгебраическим дополнением элемента определителя называется его минор, если сумма индексов данного элемента i+j есть число четное, или число, противоположное минору, если i+j нечетно, т.е.
Рассмотрим еще один способ вычисления определителей третьего порядка – так называемое разложение по строке или столбцу. Для этого докажем следующую теорему:
Теорема 2.1. Определитель равен сумме произведений элементов любой его строки или столбца на их алгебраические дополнения, т.е. где i=1,2,3. Доказательство. Докажем теорему для первой строки определителя, так как для любой другой строки или столбца можно провести аналогичные рассуждения и получить тот же результат. Найдем алгебраические дополнения к элементам первой строки: Тогда
Таким образом, для вычисления определителя достаточно найти алгебраические дополнения к элементам какой-либо строки или столбца и вычислить сумму их произведений на соответствующие элементы определителя.
Пример. Вычислим определитель с помощью разложения по первому столбцу. Заметим, что при этом искать не требуется, так как, следовательно, и Найдем и Следовательно, =
Определители более высоких порядков.
Определение2. 3. Определитель n-го порядка есть сумма n! членов каждый из которых соответствует одному из n! упорядоченных множеств полученных r попарными перестановками элементов из множества 1,2,…,n.
Замечание 1. Свойства определителей 3-го порядка справедливы и для определителей n-го порядка.
Замечание 2. На практике определители высоких порядков вычисляют с помощью разложения по строке или столбцу. Это позволяет понизить порядок вычисляемых определителей и в конечном счете свести задачу к нахождению определителей 3-го порядка.
Пример. Вычислим определитель 4-го порядка с помощью разложения по 2-му столбцу. Для этого найдем и : Следовательно,
Обратная матрица.
Определение 2.4. Квадратная матрица А называется вырожденной, если , и невырожденной, если .
Определение 2.5. Квадратная матрица В называется обратной к квадратной матрице А того же порядка, если АВ = ВА = Е. При этом В обозначается . Рассмотрим условие существования матрицы, обратной к данной, и способ ее вычисления.
Теорема 2.2 (без доказательства). Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей.
Теорема 2.3. Для существования обратной матрицы необходимо и достаточно, чтобы исходная матрица была невырожденной.
Доказательство. 1) Необходимость: так как то (теорема 2.2), поэтому 2) Достаточность: зададим матрицу в следующем виде: . Тогда любой элемент произведения (или ), не лежащий на главной диагонали, равен сумме произведений элементов одного столбца матрицы А на алгебраические дополнения к элементам другого столбца и, следовательно, равен 0 (как определитель с двумя равными столбцами). Элементы, стоящие на главной диагонали, равны Таким образом, = . Теорема доказана.
Замечание. Сформулируем еще раз способ вычисления обратной матрицы: ее элементами являются алгебраические дополнения к элементам транспонированной матрицы А, деленные на ее определитель. Пример. Найдем матрицу, обратную к следовательно, матрица А невырожденная. Найдем алгебраические дополнения к ее элементам: Не забудем, что алгебраические дополнения к элементам строки матрицы А образуют в обратной матрице столбец с тем же номером. Итак, Можно убедиться, что найденная матрица действительно удовлетворяет определению Найдем Тот же результат получим и при перемножении в обратном порядке.
Системы линейных уравнений.
Определение 2.6. Линейными операциями над какими-либо объектами называются их сложение и умножение на число.
Определение 2.7. Линейной комбинацией переменных называется результат применения к ним линейных операций, т.е. где числа, переменные.
Определение 2.8. Линейным уравнением называется уравнение вида (2.1) где и b – числа, - неизвестные. Таким образом, в левой части линейного уравнения стоит линейная комбинация неизвестных, а в правой – число.
Определение 2.9. Линейное уравнение называется однородным, если b = 0. В противном случае уравнение называется неоднородным.
Определение 2.10. Системой линейных уравнений (линейной системой) называется система вида (2.2) где , - числа, - неизвестные, n – число неизвестных, m – число уравнений.
Определение 2.11. Решением линейной системы (2.2) называется набор чисел которые при подстановке вместо неизвестных обращают каждое уравнение системы в верное равенство.
Лекция 3. Системы линейных уравнений. Метод Гаусса. Правило Крамера. Матричная запись системы линейных уравнений. Решение матричных уравнений и линейных систем с помощью обратной матрицы.
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-05; просмотров: 160; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.94.99.173 (0.009 с.) |