Множество, подмножество. Универсальное множество, пустое множество.

 

Множество - это совокупность элементов одной природы, отобранных по какому-либо критерию

Множество А является подмножеством множества В, если любой элемент, принадлежащий А также принадлежит В

Универсальное множество (Ω) — множество, содержащее все объекты, указанные природой.

Пустое множество (Ø) - множество, не содержащее ни одного элемента.

23. Числовые множества - множества, элементами которого являются числа.

- множество натуральных чисел (показывает количество предметов)

1, 2, 3, 4,... n,... - ряд натуральных чисел

- множество целых чисел. N^- {0} N⁺

..., -2, -1, {0}, 1, 2,...

 

- множество рациональных чисел

q = m/n, где m Z, n N

 

- множество вещественных чисел (рациональных и иррациональных)

 

- множество комплексных чисел.

24. Отображение множеств - это упорядоченная тройка (A, B, f), где к каждому элементу из множества А ставится в соответствие единственный элемент из множества В по закону f.

Если уточнить определение

К каждому элементу из множества А ставится единственный элемент из множества В и все они разные, то все элементы разные. (B, A, f^-1)

25. Биекция

При биективном отображении каждому элементу одного множества соответствует ровно один элемент другого множества, при этом, определено обратное отображение, которое обладает тем же свойством.

Биективное отображение называют ещё взаимно-однозначным отображением.

 

26. Функция - это отображение (A,B,f), где множество В - числовое

(А - область определения (любая), В - область значения(числовая))

Пример

А - 28 студентов

В - N числа от 1 до 28

f - расположение студентов по алфавиту

(A, B, f) - биективная тройка

(A, B, f) где В - числовое множество - это функция

(A, B, f) где А и В числовые - числовая функция

 

27. Способы задания числовых функций

1) Аналитический способ - формула

2) Графический способ - геометрический образ

3) Таблица

(Аналит и граф способы содержат одинаковую информацию, а в таблице невозможно пересчитать все числа)

 

28. Аналитические способы задания функции (функция одной переменной)

1) Явное задание

y = f(x)

2) Неявное задание

f(x;y)=0

x²+y²=1

(x-a)²+(y-b)²=R²

x²/a² + y²/b²=1

 

29. Таблица элементарных функций

Алгебраические функции	Тригонометрические функции	Обратные тригонометрические
Линейная y = kx + b	y = sinx	y = arcsinx
Степенная y = x^n	y = cosx	y = arccosx
Показательная y = a^x	y = tgx	y = arctgx
Логарифмическая y = log­a­x	y = ctgx	y = arcctgx

 

30. Размерность области определения, области значения, геометрического образа:

Для функции одной переменной

(A,B,f)

A ⊂ R

B ⊂ R

Геом. образ ⊂ R²

Для функции двух переменных (z = 2x - y²)

(A,B,f)

A ⊂ R²

B ⊂ R

Геом. образ ⊂ R³

 

Для функции трех переменных

(A,B,f)

A ⊂ R³

B ⊂ R

Геом. образ ⊂ R⁴

 

Для функции n переменной

(A,B,f)

A ⊂ Rⁿ

B ⊂ R

Геом. образ ⊂ Rⁿ⁺¹

 

31. Линейная функция - функция вида у = kx + b.

Аналитические задания линейной функции: явное/неявное

Исследование общего урия:

Ax+by+cz+d=0

Свободный член равен 0, то прямая проходит через начало координат.

Если в аналитич. Задании отсутствует одна из координат, то у геометрического образа есть параллель оси с именем отсутствующей координаты.

 

32. Степенная функция (y=x^n)

• Парабола y=x^2; зт. (1;1)
• Гипербола y=1/x; зт (1;1) x=0 и у=0 – асимптоты
• У=х^3 зт (1;1)
• У=1/х^2 зт(1;1) х=0 у=0 – асимптоты
• У=корень из х. зт (1;1)
• У=куб. корень из х. зт 11

33. Показательная ф-я y=a^x

 

 

Логарифмическая функция

34. Функция y=sinx y=cosx

 

T= 2

35. Функции y=tgx y=ctgx