Пространство состояний системы

Пространством состояния системы называется пространство, в каждой точке которого однозначно соответствует определенное состояние рассматриваемой динамической системы, а каждому процессу изменения состояния системы соответствует определенная траектория перемещения изображающей точки в пространстве.

Для описания движений динамических систем широко используется метод основанный на используемый, так называемого, фазового пространства (n мерного эвклидова пространства), по осям которого откладываются значения всех n обобщенных координат, рассматриваемой динамической системы. При этом однозначное соответствие между состоянии системы и точками фазового пространства достигается выбором числа измерений, равного числу обобщенных координат рассматриваемой динамической системы.

Обозначим параметрами некоторой системы символами z1, z2…zn, который можно рассматривать, как координаты вектора z, n мерного пространства. Такой вектор есть совокупность действительных чисел z=(z1,z2..zn). Параметры z1, z2…zn будут называться фазовыми координатами системы, а состояния (фазу системы) изобразим точкой z в фазовом пространстве. Размерность этого пространства определяется числом фазовых координат, то есть числом отобранных нами для описания системы, её существенных параметров.

В том случае, когда состояния системы можно охарактеризовать только одним параметром z1 (например, расстояния от пункта отправления поезда движущегося по некоторому заданному маршруту), то фазное пространство будет одномерным и отображаться в виде участка оси z.

Если состояние системы характеризуется 2умя параметрами z1 и z2 (например, движения автомобиля, выраженное углом относительно некоторого заданного направления и скоростью его движения), то фазовое пространство будет двухмерным.

В тех случаях, когда состояние системы описывается 3ьомя параметрами (например, управления скорость и ускорение), оно будет изображаться точкой в трьохмерном пространстве, а траектория движения системы будет пространственно кривой в этом пространства.

В общем случае, когда число параметров, характеризующую систему произвольно и как в большинстве сложных экономических систем значительно больше 3, геометрическая интерпретация теряет наглядность. Однако геометрическая терминология и в этих случая остается удобной для описания состояния и движения систем, в так называемом n мерном или многомерном фазовом пространстве (гипер пространстве).

Число независимых параметров системы называют числом степеней свободы или вариантностью систем.

В реальных условиях работы системы и её параметров (фазовые координаты), как правило, могут изменятся лишь в некоторых ограниченных приделах. Так скорость автомобиля ограничена приделами от 0 до 200 км в час, температура человека – от 35 градусов до 42 и т.д.

Область фазового пространства за пределы, которого не может выходить изображающая точка, называют областью допустимых состояний системы. При исследования и проектирования систем всегда исходит из того, что система находится в пределах в области её допустимых состояний.

Если изображающая точка выйдет за пределы этой области, то это грозит разрушением целостности системы, возможностью её распада на элементы, нарушением существующих связей, то есть полным прекращением её функционирование как данная система.

Область допустимых состояний, которую можно назвать полем системы, включает в себя всевозможные фазовые траектории, то есть линии поведения систем. Совокупность фазовых траекторий называют фазовым портретом рассматриваемой динамической системы. Во всех случаях, когда параметры системы могут принимать в определенном интервале любые значения, то есть изменяется плавно изображающая точка, которая может располагаться в любой точке внутри области допустимых состояний, при этом мы имеем дело с так называемым непрерывным пространством состояний. Однако существует большое количество технических, биологических и экономических систем, в которых ряд параметров – координат могут принимать лишь дискретные значения.

Только дискретно можно измерить количество станков в цехе, количество тех или иных органов и клеток в живом организме и т.д.

Пространство состояний таких систем должно рассматриваться как дискретное, поэтому их точка, изображающая состояние такой системы, не может находится в любом месте, области допустимых состояний, а только в определенных фиксированных точках этой области. Изменение состояния таких систем, то есть их движения, будет интерпретироваться скачками изображающей точки из одного состояния в другое, в третье и т.д. Соответственно и траектория движения изображающей точки будет иметь при этом дискретный, прерывистый характер.

 

Пространство состояний и классификация (опознание объектов)

Концепция представление объектов изображающими точками в многомерном пространстве нашла широкое применение в так называемой теории распознавания образов. Она представляет раздел кибернетики, в котором разрабатываются вопросы, теории и принципы построения систем, разделяющие сложные объекты и ситуации на заданные классы.

Задачами распознавания образов, то есть отнесения их к различным классам – классификации является, например, определение букв алфавита и звуков человеческой речи, узнавание людей и предметов, определение минералов, запахов и растений, диагностика заболеваний. Во всех этих случаях распознавание объекта состоит сличением его признаков с признаками некоторого эталона, хранящегося в мозгу человека или в памяти распознающего автомата.

Если приставить каждый признак объекта, подлежащего к опознанию в виде которого численного показателя (размер, вес, угол, насыщенность цвета, количество элементов и т.п.), то описание объектов будет сводится к некоторому конечному набору чисел, соответствующих количественных значением существенных признаков. Если принять каждое из этих чисел в качестве координаты в многомерном пространстве признаков, то объект будет представлен в этом пространстве точкой.

Учитывая некоторую вариабельность численных значений признака приходим к представления объекта в виде более или менее компактного множества точек в гиперпространстве соответствующего множества объектов 1 класса несущественно отличающихся друг от друга. Дальнейшая процедура распознавания сводится к проблеме разделения множеств соответствующих объектам разных классов, то есть классификация объектов. Геометрически это можно приставить в виде построения в пространстве признаков гиперплоскостей отделяющих эти множества друг от друга.

 

Движения систем

Преобразования системы

В соответствии с положениями диалектики развития материального общества, под движением принимается все происходящие в природе и обществе процессы.

Следовательно, можно говорить о химическом движении (синтезе и разложении химических соединений), органическом движении (жизненных процессов растений и животных), движение экономических систем и т.п.

Движение любой системы представляет некоторую последовательность изменение его состояния. Характеризуется состояние системы в некоторый времени U, вектором Zj, а состояние его в последующий момент времени T_i+1 вектором Zi и можно считать что произошел переход вектора Zj в вектор Z_i+1 .

Правило, согласно которому каждому элементу этого множества ставится в соответствие элемент другого множества называется оператором. Говоря о переходе в систему новое состояние, оператором будем называть правило в соответствие, с которым происходит этот переход. Значение переменной или величина, над которой совершается операция, вызывающая переход в новое состояние, называется операндом.

Новое значение переменной, то есть новое состояние, возникшая под действием оператора на операнд, носит название образа.

Под воздействия некоторого оператора происходит переходы для некоторого множества операндом. Множество переходов для множества операндов будет называться преобразованием.

Любую систему, в которой происходят те или иные изменения (преобразования), в результате которых множества реакций системы некоторым образом зависит от множества входящих воздействий, можно рассматривать как преобразователь реализующей некоторую заданную зависимость Y=f(x), где Y – множество реакций системы, а х – множество входящих воздействий.