Метод Якоби (метод простой итерации)

8.3

Часто возникает необходимость исследовать явление, не имеющее математического описания. В этом случае перечень и структуру чисел подобия можно выявить на основе анализа размерностей. Сущность метода состоит в том, что составляется перечень размерных величин, которые могут влиять на протекание изучаемого явления, и из этих величин формируются безразмерные комплексы.

Число безразмерных комплексов определяется на основе π ― теоремы, согласно которой если общее число физических параметров, характеризующих явление, составляет m, а число первичных размерностей n, то число независимых безразмерных комплексов z, которое можно образовать из m параметров, определяется равенством:

Z = m-n.

Для получения чисел подобия на основе анализа размерностей, используют различные методы, наиболее простой из них ― метод Рэлея. Согласно ему, искомая величина выражается через влияющие на неё параметры с помощью степенного комплекса, включающего безразмерный коэффициент и все используемые в анализе параметры в различных степенях. Например, для коэффициента теплоотдачи α можно записать

 

8.4

Планирование эксперимента — комплекс мероприятий, направленных на эффективную постановку опытов. Основная цель планирования эксперимента — достижение максимальной точности измерений при минимальном количестве проведенных опытов и сохранении статистической достоверности результатов.

Планирование эксперимента применяется при поиске оптимальных условий, построении интерполяционных формул, выборе значимых факторов, оценке и уточнении констант теоретических моделей и др.

Методы планирования эксперимента позволяют минимизировать число необходимых испытаний, установить рациональный порядок и условия проведения исследований в зависимости от их вида и требуемой точности результатов.

Планирование эксперимента включает ряд этапов:

1. Установление цели эксперимента (определение характеристик, свойств) и его вида (определительные, контрольные, сравнительные, исследовательские).

2. Уточнение условий проведения эксперимента (имеющееся или доступное оборудование, сроки работ, финансовые ресурсы, численность и кадровый состав работников и т. п.). Выбор вида испытаний (нормальные, ускоренные, сокращенные в условиях лаборатории, на стенде, полигонные, натурные или эксплуатационные).

3. Выявление и выбор входных и выходных параметров на основе сбора и анализа предварительной (априорной) информации.

4. Установление потребной точности результатов измерений (выходных параметров), области возможного изменения входных параметров, уточнение видов воздействий.

5. Составление плана и проведение эксперимента — количество и порядок испытаний, способ сбора, хранения и документирования данных.

6. Статистическая обработка результатов эксперимента, построение математической модели поведения исследуемых характеристик.

7. Объяснение полученных результатов и формулирование рекомендаций по их использованию, уточнению методики проведения эксперимента.

 

8.5

Итерационный метод заключается в выполнении некоторого итерационного процесса до тех пор, пока решение системы уравнений не будет найдено с необходимой точностью. В свою очередь итерационный процесс на каждом своем шаге строит некоторое приближение искомого решения.

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений следующего вида:

Или она же в матричной форме:

При рассмотрении методов будем полагать, что элементы матрицы и вектора свободных членов обозначаются так же, как и на приведенных выше изображениях.

Метод Зейделя

Итерационный процесс в этом методе имеет вид:

где - номер неизвестной, а - номер итерации алгоритма.

Итерационный процесс метода Зейделя отличается от итерационного процесса метода простой итерации тем, что на -ой итерации вычисления -ой неизвестной мы уже можем использовать только что посчитанные значения переменных при . Приближением на -ой итерации удобно выбрать нулевой вектор .

При записи формул этого метода уже никак нельзя избежать разбиения суммы на две части, так как в них используются приближенные значения неизвестных, вычисленные на разных итерациях.

 

8.6

Тепловой расчет

Гидравлический расчет

8.7

8.8

Воз­можны два вида конденсации: капельная и пленочная.

Капельная: конденсат осаждается в виде отдельных капель, которые занимают лишь часть поверхности теплообмена (остальная часть при этом покрыта тон­чайшим слоем жидкости).

Пленочная: на охлаждаемой поверхности об­разуется сплошная пленка конденсата. Эта пленка стекает вниз под дейст­вием силы тяжести или увлекается в ту или другую сторону потоком пара.

При капельной конденсации наблюдаются очень высокие значения коэф­фициентов теплоотдачи, однако искусственно ее трудно поддерживать в течение длительного времени.

При пленочной конденсации, пленка конденсации представляет собой значительное термическое сопротивление, и чем она толще, тем меньше теплоотдача.

Конденсация пара на наружной поверхности горизонтальных труб.

Формула для среднего коэффициента теплоотдачи при конденсации пара на наружной поверхности горизонтальной трубы:

;

- диаметр трубы; - температура насыщения; - плотность жидкости; - коэф. кинематическая вязкость; - температура стенки; - теплота парообразования; - коэф. теплопроводности. - ускорение свободного падения.

;

Физические свойства жидкости, входящие в формулу, рекомендуется относить к .

при капельной теплоотдачи в 15-20 раз больше, чем при пленочной, т.к. конденсирующийся пар находится в непосредственном соприкосновении с охлаждающей поверхностью.

 

 

8.3

Часто возникает необходимость исследовать явление, не имеющее математического описания. В этом случае перечень и структуру чисел подобия можно выявить на основе анализа размерностей. Сущность метода состоит в том, что составляется перечень размерных величин, которые могут влиять на протекание изучаемого явления, и из этих величин формируются безразмерные комплексы.

Число безразмерных комплексов определяется на основе π ― теоремы, согласно которой если общее число физических параметров, характеризующих явление, составляет m, а число первичных размерностей n, то число независимых безразмерных комплексов z, которое можно образовать из m параметров, определяется равенством:

Z = m-n.

Для получения чисел подобия на основе анализа размерностей, используют различные методы, наиболее простой из них ― метод Рэлея. Согласно ему, искомая величина выражается через влияющие на неё параметры с помощью степенного комплекса, включающего безразмерный коэффициент и все используемые в анализе параметры в различных степенях. Например, для коэффициента теплоотдачи α можно записать

 

8.4

Планирование эксперимента — комплекс мероприятий, направленных на эффективную постановку опытов. Основная цель планирования эксперимента — достижение максимальной точности измерений при минимальном количестве проведенных опытов и сохранении статистической достоверности результатов.

Планирование эксперимента применяется при поиске оптимальных условий, построении интерполяционных формул, выборе значимых факторов, оценке и уточнении констант теоретических моделей и др.

Методы планирования эксперимента позволяют минимизировать число необходимых испытаний, установить рациональный порядок и условия проведения исследований в зависимости от их вида и требуемой точности результатов.

Планирование эксперимента включает ряд этапов:

1. Установление цели эксперимента (определение характеристик, свойств) и его вида (определительные, контрольные, сравнительные, исследовательские).

2. Уточнение условий проведения эксперимента (имеющееся или доступное оборудование, сроки работ, финансовые ресурсы, численность и кадровый состав работников и т. п.). Выбор вида испытаний (нормальные, ускоренные, сокращенные в условиях лаборатории, на стенде, полигонные, натурные или эксплуатационные).

3. Выявление и выбор входных и выходных параметров на основе сбора и анализа предварительной (априорной) информации.

4. Установление потребной точности результатов измерений (выходных параметров), области возможного изменения входных параметров, уточнение видов воздействий.

5. Составление плана и проведение эксперимента — количество и порядок испытаний, способ сбора, хранения и документирования данных.

6. Статистическая обработка результатов эксперимента, построение математической модели поведения исследуемых характеристик.

7. Объяснение полученных результатов и формулирование рекомендаций по их использованию, уточнению методики проведения эксперимента.

 

8.5

Итерационный метод заключается в выполнении некоторого итерационного процесса до тех пор, пока решение системы уравнений не будет найдено с необходимой точностью. В свою очередь итерационный процесс на каждом своем шаге строит некоторое приближение искомого решения.

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений следующего вида:

Или она же в матричной форме:

При рассмотрении методов будем полагать, что элементы матрицы и вектора свободных членов обозначаются так же, как и на приведенных выше изображениях.

Метод Якоби (метод простой итерации)

Итерационный процесс в этом методе имеет вид:

где - номер неизвестной, а - номер итерации алгоритма.

Если рассмотреть систему, приведенную выше, то легко заметить, что формулу итерационного процесса можно получить переносом в -ой строке -ой переменной влево, а всех остальных слагаемых вправо. Из формулы видно, что значение -ой неизвестной на -ой итерации вычисляется через значения всех остальных переменных на итерации с номером с помощью столбца свободных членов и элементов матрицы . Приближением на -ой итерации удобно выбрать нулевой вектор .

Очевидно в формуле итерационного процесса необязательно разбивать правую часть на 2 суммы, а именно можно просто производить суммирование по всем . Тем не менее, такая запись оказывается удобной при записи формул итерационного процесса для метода Зейделя.

Реализации алгоритма на различных языках программирования с комментариями можно найти по ссылкам ниже:

Метод Зейделя

Итерационный процесс в этом методе имеет вид:

где - номер неизвестной, а - номер итерации алгоритма.

Итерационный процесс метода Зейделя отличается от итерационного процесса метода простой итерации тем, что на -ой итерации вычисления -ой неизвестной мы уже можем использовать только что посчитанные значения переменных при . Приближением на -ой итерации удобно выбрать нулевой вектор .

При записи формул этого метода уже никак нельзя избежать разбиения суммы на две части, так как в них используются приближенные значения неизвестных, вычисленные на разных итерациях.

 

8.6

Тепловой расчет