Раздел II. Векторная алгебра.

21.Понятие геометрического вектора. Равенство векторов. Противоположный вектор. Орт вектора. Графические правила сложения, вычитания, умножения вектора на число. Проекция вектора на вектор и её свойства.

Геометрическим вектором называется направленный отрезок, который можно перемещать параллельно ему самому.

Направленный отрезок с началом в точке A и концом в точке B обозначается AB. Векторы обозначаются строчными латинскими буквами со стрелками: → a, → r, → x, ….

Таким образом, два направленных отрезка AB и CD, имеющие одинаковые длины и направления, изображают один и тот же вектор → a, и именно в этом смысле мы будем писать равенства между векторами и направленными отрезками,

Вектора a и b называются равными, если они имеют одинаковую длину, лежат на параллельных прямых или на одной прямой, и направлены в одном направлении. (рис. 1).

То есть, два вектора равны, если они коллинеарные, сонаправленые и имеют равные длины:

a = b, если a↑↑b и |a| = |b|.

Два вектора, имеющие равные модули и противоположно направленные, называются противоположными.

Вектор, противоположный вектору а, обозначается –а.

В математике, орт произвольного ненулевого вектора c — единичный вектор, коллинеарный c и имеющий одинаковое с c направление.

Вектор, длина которого равна 1, называется единичным.
Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора AB, называется ортом вектора AB и обозначается ABe.

Правило параллелограмма. Чтобы сложить векторы и , помещаем начала обоих в одну точку. Достраиваем до параллелограмма и из той же точки проводим диагональ параллелограмма. Это и будет сумма векторов и . Вектор направлен противоположно вектору . Длины векторов и равны. Теперь понятно, что такое вычитание векторов. Разность векторов и — это сумма вектора и вектора . При умножении вектора на число k получается вектор, длина которого в k раз отличается от длины . Он сонаправлен с вектором , если k больше нуля, и направлен противоположно , если k меньше нуля

22. Коллинеарность и компланарность векторов. Базис и канонический базис плоскости ; базисом и канонический базис пространства . Координаты вектора

Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Определение. Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.

Коллинеарные векторы всегда компланарны, но не все компланарные векторы коллинеарны.

Определение. Векторы называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые модули.

Всякие векторы можно привести к общему началу, т.е. построить векторы, соответственно равные данным и имеющие общее начало. Из определения равенства векторов следует, что любой вектор имеет бесконечно много векторов, равных ему.

23. Понятие декартовой системы координат в . Радиус-вектор, координаты точки. Вычисление длины вектора; направляющих косинусов вектора; координат вектора, заданного двумя точками; расстояния между точками.

Если в качестве координатных осей берутся прямые, перпендикулярные друг другу, то система координат называется прямоугольной (или ортогональной). Прямоугольная система координат, в которой единицы измерения по всем осям равны друг другу, называется ортонормированной (декартовой) системой координат. Как определить координаты точки в декартовой системе координат? Проведем через точку A прямые (в трехмерном случае – плоскости), перпендикулярные осям. Расстояния от точек пересечения построенных прямых (плоскостей) с осями абсцисс, ординат (аппликат) до начала координат, взятые со знаком «+», если точки лежат на положительных полуосях, и со знаком «–», если они лежат на отрицательных полуосях, и будут координатами точки A. Координаты точки записываются в скобках: например, A (–3; 2) или B (x ₀; y ₀). В трехмерном пространстве координаты точки в декартовой системе координат записываются тремя числами, например, C (5; 0,2; –6).

24. Скалярное произведение векторов и его свойства. Выражение скалярного произведения через координаты векторов. Вычисление угла между векторами. Условие ортогональности векторов

Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, обозначаемое символом (, ) и равное произведению длин векторов на косинус угла между ними: (, ) = cos( ^ ). Если один из векторов или оба нулевые, то скалярное произведение полагается равным нулю. Реальным прообразом скалярного произведения является работа А постоянной силы , действующей на тело под углом α к направлению движения при перемещении на прямолинейном участке пути, характеризуемом вектором : А= = (, ).

Выражение скалярного произведения в декартовых координатах Теор. Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их одноименных декартовых координат относительно одного и того же базиса.

Док-во.: Пусть векторы и заданы в одном и том же декартовом базисе (): = (x₁,y₁,z₁)= , = (x₂,y₂,z₂)= . Тогда

(, )=x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂

25. Векторное произведение векторов, его геометрический смысл и свойства. Выражение векторного произведения через координаты векторов. Условие коллинеарности векторов.

• Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c, длина которого численно равна площади параллелограмма построенного на векторах a и b, перпендикулярный к плоскости этих векторов и направленный так, чтоб наименьшее вращение от a к b вокруг вектора c осуществлялось против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора c (рис. 1). Геометрический смысл векторного произведения.

Модуль векторного произведения двух векторов a и bравен площади параллелограмма построенного на этих векторах:

S_парал = a × b]

• Геометрический смысл векторного произведения.

Площадь треугольника построенного на векторах a иb равна половине модуля векторного произведения этих векторов:

SΔ =		|a × b|

Упорядоченная тройка векторов , , называется правой, если наблюдателю, находящемуся на конце вектора , кратчайший поворот от к кажется происходящим против часовой стрелки. В противном случае тройка векторов левая.

Тройки компланарных векторов не относятся ни к правым, ни к левым.

Определение. Векторным произведением вектора на вектор называется третий вектор

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Нулевой вектор считается коллинеарным любому другому вектору.

1. 26. Смешанное произведение векторов, его геометрический смысл и свойства. Выражение смешанного произведения через координаты векторов. Условие компланарности векторов.

• Смешанное произведение векторов — скалярное произведение вектора a на векторное произведение векторов b и c. Геометрический смысл смешанного произведения.

Модуль смешанного произведения трех векторов a, bи с равен объёму параллелепипеда, образованного этими векторами:

V_парал = a · [b × c]

• Геометрический смысл смешанного произведения.

Объем пирамиды образованной тремя векторами a, bи с равен одной шестой части от модуля смешанного произведения этих векторов: