Алгоритм нахождения базиса системы векторов

Для того, чтобы найти базис системы векторов A₁,A₂,...,A_n необходимо:

§ Составить соответствующую системе векторов однородную систему уравнений A₁x₁+A₂x₂+...+A_nx_n =Θ

§ Привести эту систему

--------------------------------------------------------------------------------------------
Ранг системы векторов - это количество линейно - независимых векторов в ней
Как находить:
Найдём: домножим сперва 1-ю строку на 20, 2-ю на 15, 3-ю на 12:
60, 40, -80
60, 15, -30
60, 24, - 36
Вычитаем из 2-й и 3-й строки первую, получаем:
60, 40, -80
0, -25, 50
0, -16, -6
Сокращаем 1-ю строку на 20, 2-ю на 25, 3-ю на 2
3, 2, -4
0, -1, 2
0, -8, -3.
Из 3-й строки вычитаем 8 вторых строк, получаем:
3, 2,-4
0,-1, 2
0, 0, -19.
То есть, все строки в треугольной матрице - ненулевые, это означает, что вектора - линейно-независимые (то есть ни один из векторов нельзя выразить как линейную комбинацию двух других), а это означает, что ранг системы
данных векторов равен 3.

19. Понятие векторного пространства ,евклидова пространства . Разложение вектора в по векторам его базиса. Теорема о единственности разложения вектора в данном базисе.

n-мерным евклидовым векторным пространством называется векторное пространство в котором заданы операции сложения векторов, умножение вектора на число и скалярного умножения векторов, удовлетворяющие аксиомам групп I, II, III и группы IV.

Векторным (или линейным) пространством называется множество R, состоящее из элементов любой природы (называемых векторами), в котором определены операции сложения элементов и умножения элементов на действительные числа, удовлетворяющие условиям А (условия 1—3 выражают, что операция сложения, определённая в В. п., превращает его в коммутативную группу).

Теорема. (О разложении вектора по базису.)

Любой вектор векторного пространства можно разложить по его базису и притом единственным способом.

Доказательство. 1) Пусть L произвольная прямая (или ось) и –базис . Возьмем произвольный вектор . Так как оба вектора и коллинеарные одной и той же прямой L, то . Воспользуемся теоремой о коллинеарности двух векторов. Так как , то найдется (существует) такое число , что и тем самым мы получили разложение вектора по базису векторного пространства .

Теперь докажем единственность такого разложения. Допустим противное. Пусть имеется два разложения вектора по базису векторного пространства :

и , где . Тогда и используя закон дистрибутивности, получаем:

.

Так как , то из последнего равенства следует, что , ч.т.д.

20. Понятие ортогональной системы векторов, ортогонального базиса. Нахождение координат вектора в ортогональном базисе.

Базис евклидова пространства называется ортогональным, если все образующие его векторы попарно ортогональны, т.е.

 

при

Базис евклидова пространства называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и длина каждого из них равна единице:
Теорема 8.5. В конечномерном евклидовом пространстве любую систему ортогональных (ортонормированных) векторов можно дополнить до ортогонального (ортонормированного) базиса.

В самом деле, по теореме 8.2 любую систему линейно независимых векторов, в частности, ортогональную (ортонормированную), можно дополнить до базиса. Применяя к этому базису процесс ортогонализации, получаем ортогональный базис. Нормируя векторы этого базиса (см. пункт 4 замечаний 8.11), получаем ортонормированный базис.

Если длина вектора равна единице, он называется нормированным вектором: (x, x) = 1, |x| = 1.

Если все векторы системы векторов нормированы, то система векторов называется нормированной системой.

Если векторы системы векторов e ₁, e ₂, ..., e _n попарно ортогональны и нормированы, то система векторов называется ортонормированной системой: (e _i, e _j) = 0, если i ≠ j, (e _i, e _i) = 1.

Если e ₁, e ₂, ..., e _n — ортонормированная система и x = x ₁ e₁ + x ₂ e₂ +... + x_n e _n — разложение вектора x по этой системе, то x _i =(x, e _i).