Линейная комбинация векторов

 

Линейной комбинацией векторов называют вектор

где - коэффициенты линейной комбинации. Если комбинация называется тривиальной, если - нетривиальной.

16. Скалярное произведение арифметических векторов. Длина вектора и угол между векторами. Понятие ортогональности векторов.

Скалярным произведением векторов а и в называется число,

Скалярное произведение используется для вычисления:1)нахождения угла между ними;2)нахождение проекции векторов;3)вычисление длины вектора;4)условия перпендикулярности векторов.

Длиной отрезка АВ называют расстоянием между точками А иВ. Угол между векторами А и В называют угол α=(а,в),0≤ α ≤П. На который необходимо повернуть 1 вектор,чтоб его направления совпало с другим вектором. При условии,что их начала совпадут.

Ортом а называется вектор а имеющий единичную длину и направления а.

17)
Теорема. (Необходимое и достаточное условие линейной зависимости системы векторов.)

Система векторов векторного пространства является линейно зависимой тогда и только тогда, когда один из векторов системы линейно выражается через другие вектора этой системы.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Система векторов a1,a2,...,an называется линейно зависимой, если существуют числа λ1,λ2,...,λn такие, что хотя бы одно из них отлично от нуля и λ1a1+λ2a2+...+λnan=0. В противном случае система называется линейно независимой.

Два вектора a1 и a2 называются коллинеарными если их направления совпадают или противоположны.

Три вектора a1,a2 и a3 называются компланарными если они параллельны некоторой плоскости.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Лине́йная комбина́ция — выражение, построенное на множестве элементов путём умножения каждого элемента на коэффициенты с последующим сложением результатов (например, линейной комбинацией x и y будет выражение вида ax + by, где a и b — коэффициенты)
Линейной комбинацией векторов называют вектор

где - коэффициенты линейной комбинации. Если комбинация называется тривиальной, если - нетривиальной.

 

18)
Определение. Система векторов x ₁, x ₂, …, x _n Î X называется линейно зависимой, если существуют числа α₁, α₂, …, α _n Î R, не все равные нулю (т.е. α₁² + α₂²+ … + α _n ² ≠ 0), такие, что

α₁ x ₁ + α₂ x ₂ + … + α _nx_n = θ.

Если это равенство выполняется только при α₁ = α₂ = … = α _n = 0, то система векторов называется линейно независимой.

Вместо "линейно зависимая (или независимая) система векторов" можно говорить просто "линейно зависимые (или независимые) векторы".

Теорема Чтобы векторы x ₁, x ₂, …, x _n Î X были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из них являлся линейной комбинацией
------------------------------------------------------------------------------------------------
Базисом системы векторов A₁, A₂,..., A_n называется такая подсистема B₁, B₂,...,B_r (каждый из векторов B₁,B₂,...,B_r является одним из векторов A₁, A₂,..., A_n)_, которая удовлетворяет следующим условиям:
1. B₁,B₂,...,B_r линейно независимая система векторов;
2. любой вектор A_j системы A₁, A₂,..., A_n линейно выражается через векторы B₁,B₂,...,B_r

r — число векторов входящих в базис.