Тема 3. Характеристики ряда распределения

Показатели вариации (колеблемости) признака

Основные понятия

Размах колебаний или размах вариации .

Среднее линейное отклонение – это отклонение индивидуальных значений признака от их средней величины, взятое по абсолютному значению ():

для несгруппированных данных ,

где n – число единиц совокупности;

для сгруппированных данных ,

где f – частота появления данного значения признака.

Дисперсия () – это средняя от квадратов отклонений вариантов значений признака от их средней величины:

для несгруппированных данных ;

для сгруппированных данных .

Среднее квадратическое отклонение () – это корень квадратный из дисперсии:

для несгруппированных данных ;

для вариационного ряда .

Относительные показатели колеблемости:

· коэффициент осцилляции ;

· относительное линейное отклонение ;

· коэффициент вариации .

 

ЗАДАЧИ

Решение типовой задачи. Распределение колхозных хозяйств представлено в таблице. Рассчитать средний размер земельных угодий, показатели вариации, моду и медиану.

Размер земельных угодий, га	Число хозяйств, единиц
До 4
4-8
8-12
12-16
16-20
20-24
24-28
28 и выше

Решение. От интервального ряда необходимо перейти к дискретному, что осуществляется путем расчета серединного значения интервала, как полусуммы верхней и нижней его границ (столбец № 3 нижеприведенной таблицы): .

Расчет показателей легче выполнять в таблице.

Размер угодий, га	Число хозяйств (f)	Середина инте-рвала				Накопленная частота
До 4				13*10 =130	169*10 = 1690
4-8				9*15 = 135		10+15=25
8-12
12-16
16-20
20-24
24-28
Более 28
Итого

 

Средний размер земельных угодий находим с помощью средней арифметической взвешенной:

га,

где Х – серединное значение интервала; f – частота, с которой встречается данное значение. Средний размер угодий 15 га (15614/105).

К показателям вариации относятся:

а) размах вариации – это разница между наибольшим и наименьшим значением признака: R=30-2=28 га;

б) среднее линейное отклонение (данные для его расчета приведены в таблице – столбцы 5) ;

в) среднее квадратическое отклонение – это корень квадратный из дисперсии (данные для расчета дисперсии представлены в таблице – столбцы 6)

;

г) коэффициент вариации

(по рассчитанному коэффициенту вариации можно сказать, что хозяйства неоднородны по размеру угодий);

д) мода рассчитывается по формуле

.

Мода – наиболее часто встречающееся значение признака. По нашим данным наибольшая чатота наблюдается в интервале 16– 20 га, тогда сама мода равна

Mo=16 + 4 * (20-14) / [(20-14)+(20-15)] = 18,2 га.

Следовательно, наиболее часто встречаемый размер земельных угодий 18,2 га.

Для расчета медианы определяется ее место N = (105+1) / 2 = 53.

Медиана рассчитывается по формуле

;

для определения медианного интервала рассчитывается накопленная частота (столбец 7). Хозяйство под номером 53 находится в интервале 16-20

Me=16+4 * [(53 – 52) / 20] = 16,2 га.

Следовательно, 50% крестьянских хозяйств имеют размер земельных угодий меньше 16,2 га, а остальные – больше.

 

Задачи для самостоятельного решения

3.1.Имеется распределение населения района области по размеру среднедушевого дохода (тыс. чел.).

Среднедушевой доход в месяц, руб.	1996 г.	1997 г.
До 300	1,6	1,5
300-500
500-700
700-900
900-1100
1100-1300
1300-1500
Более 1500	1,4	2,5
Итого

Рассчитать средний размер среднедушевого дохода, показатели вариации, моду и медиану за 1996 и 1997 гг. Сравнить полученные результаты, сделать выводы.

3.2.Имеется распределение вкладчиков районного сбербанка по размеру вклада (тыс. чел.).

Группы вкладчиков по размеру вклада, тыс. руб.	1997 г.	1998 г.
До 50
50-100
100-150
150-200	1,5
200-250
250-300
300-350
Более 250	5,5
Итого

Рассчитать средний размер вклада, показатели вариации, моду и медиану за 1997 и 1998 гг. Сравнить полученные результаты, сделать выводы.

3.3.По данным о выпуске продукции по заводам отрасли исчислите показатели вариации, моду, медиану:

№ завода
Продукция, т

3.4.Время простоя токарных станков за смену характеризуется следующими данными (мин.):

№ станка	Простои
Из-за отсутствия материалов	Из-за отсутствия электроэнергии

Исчислить по каждому виду причин показатели вариации, моду, медиану.

3.5.По результатам выборочного обследования населения города N-ска получены следующие данные о величине среднедушевого дохода за месяц (тыс. руб.):

Среднедушевой доход, тыс. руб.	Число жителей, % к итогу
До 0,5	0,9
0,5 – 1,0	16,5
1,0 – 1,5	24,6
1,5 – 2,0	18,8
2,0 – 2,5	15,4
2,5 – 3,0	12,5
3,0 и более	11,3

Рассчитайте показатели вариации, моду и медиану среднедушевого дохода жителей города N-ска.

3.6.Дисперсия признака равна 360 000, коэффициент вариации равен 50%. Чему равна средняя величина признака?

3.7.Определить дисперсию признака, если средняя величина признака равна 2600 ед., а коэффициент вариации равен 30%.

3.8. Средняя урожайность зерновых культур в районах следующая:

1-ый район
2-ой район

Определить все показатели вариации.

3.9. Имеются результаты исследований. Определить все показатели вариации и сделать выводы.

Затраты времени на дорогу до университета, ч	Число студентов, % к итогу
До 0,5
0,5-1,0
1,0-1,5
1,5-2,0
Свыше 2,0
ИТОГО

3.10. Предприятия города распределяются следующим образом по среднесписочной численности:

Группы по численности	До 400	400-600	600-800	800-1000	Свыше 1000
Количество предприятий

Рассчитать все показатели вариации, сделать выводы.

 

Правило сложения дисперсий

Правило сложения – общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповой дисперсий

,

где – средняя из внутригрупповых дисперсий; – межгрупповая дисперсия.

Средняя из внутригрупповых дисперсий ,

где – внутригрупповая дисперсия j-ой группы, рассчитывается по обычной формуле для несгруппированных данных;

– численность j-ой группы.

Межгрупповая дисперсия ,

где – значение признака; – среднее значение признака в j-ой группе.

ЗАДАЧИ

Решение типовой задачи. Определить групповые дисперсии, среднюю из групповых дисперсий, межгрупповую и общую дисперсию по следующим данным:

1-ая бригада			2-ая бригада
№ п/п рабочего бригады	Изготовлено деталей, шт./ч	№ п/п рабочего бригады	Изготовлено деталей, шт./ч
ИТОГО		ИТОГО

 

Решение. Для расчета дисперсий необходимо рассчитать среднее число изготовленных деталей рабочими каждой бригады

шт., шт.

Расчет дисперсий по группам

,

.

Средняя из групповых дисперсий .

Для расчета межгрупповой дисперсии необходимо рассчитать общую среднюю шт.

Межгрупповая дисперсия .

Общая дисперсия равна .

Проверить полученный результат можно, рассчитав общую дисперсию обычным образом.

 

Задачи для самостоятельного решения

3.11.Имеются следующие данные о размере заработной платы рабочих цеха за апрель:

Профессия	Число рабочих	Средняя заработная плата, руб.	Внутригрупповая дисперсия заработной платы
Наладчики
Токари
Слесари

Требуется: 1) определить общую дисперсию заработной платы рабочих цеха; 2) оценить однородность совокупности рабочих цеха по уровню месячной заработной платы; 3) определить, на сколько процентов дисперсия в размере заработной платы обусловлена различием в профессии рабочих и влиянием прочих причин.

3.12.По группе промышленных предприятий имеются следующие данные:

Группы предприятий по стоимости основного капитала, млн. руб.	Число предприятий	Средний объем продукции в группе, млн. руб.	Внутригрупповая дисперсия объема продукции
40 – 50			90,7
50 – 60			115,8
60 – 70			84,0

Определить общую дисперсию объема продукции.

3.13.Распределение семей сотрудников финансовой корпорации по количеству детей характеризуется следующими данными:

Количество детей в семье	Число семей сотрудников по подразделениям
1-е	2-е	3-е
			-

Определите: а) внутригрупповые дисперсии; б) среднюю из внутригрупповых дисперсий; в) межгрупповую дисперсию; г) общую дисперсию. Проверьте правильность произведенных расчетов с помощью правила сложения дисперсий и рассчитайте эмпирическое корреляционное отношение.

3.14. Вычислить среднюю из внутригрупповых, межгрупповую и общую дисперсию по следующим данным.

Цех	Стоимость произведенной продукции, тыс. руб.	В том числе стоимость экспортной продукции, тыс. руб.
ИТОГО