Напряжение в точке. Полное, нормальное, касательное напряжения. Размерности напряжения.

Основные гипотезы о деформируемом теле. Примеры использования гипотез в расчётах напряжений, деформаций, перемещений.

= Гипотеза сплошности и непрерывности материала.

Материал сплошной (непрерывный).

= Гипотеза однородности свойств материала по всему объёму (макроскопическая гипотеза).

= Гипотеза изотропности.

Во всех направлениях свойства одинаковы.

= Гипотеза естественного состояния материала.

Основные принципы, упрощающие расчёт моделей объектов. Примеры применения этих принципов в прочностных расчётах.

= Принцип мгновенного отвердевания (принцип неизменности начальных размеров деформированной системы).

При определении опорных реакций или каких-либо неизвестных сил из условий равновесия, считается, что под действием приложенных усилий, размеры конструкции не изменяются.

= Принцип освобождаемости (от связей, наложенных на систему).

Усилия, действующие на конструкцию со стороны других систем через связи в виде опор, учитываются в уравнение равновесия без конструктивных особенностей этих других систем (все системы, действующие на данную систему, заменяются соответствующими усилиями, действующими по месту приложения).

= Принцип независимости действия сил.

Последовательность приложения (порядок приложения) сил (усилий) к данной конструкции даёт один и тот же результат, как и другой порядок приложения к той же самой системе сил.

= Принцип суперпозиции (наложения).

Результат действия системы сил на конструкцию равен сумме результатов действий каждого из этих сил на конструкцию.

= Принцип Сен-Венана.

Для однородного стержня вынужденные силы распределены по сечению равномерно, так как из рассмотрения исключаются особенности конкретно взятого стержня в условиях его закрепления на концах.

3. Классификация сил (нагрузок) и объектов, изучаемых в курсе сопротивления материалов. Размерности нагрузок.

Силы: Усилия, приложенные к данному телу, сила распределённой нагрузки, моменты, сила гравитации, сила инерции.

Объекты: Тонкий стержень, оболочка, массив, тонкостенный стержень.

Основные понятия о деформируемом теле: линейные и угловые перемещения и деформации; упругость, пластичность, хрупкость; изотропия и анизотропия.

- линейная деформация (или просто деформация) в точке А по направлению АВ.

- Среднее удлинение отрезка АВ.

- угловая деформация (или угол сдвига) в точке О в плоскости COD.

Совокупность линейных и угловых деформаций по различным направлениям и плоскостям для одной точки образует деформированное состояние в точке.

Упругость – свойство тела восстанавливать свои первоначальные размеры.

Пластичность – способность материала получать большие остаточные деформации.

Хрупкость – способность материала разрушаться без образования заметных остаточных перемещений.

Изотропность – свойства любого тела, выделенного из сплошной среды не зависят от его исходной ориентации в пределах этой среды. (Изотр.: металлы, анизотр.: дерево, бумага).

5. Метод сечений для определения внутренних усилий. Примеры использования метода сечений.

- Мысленно рассекаем объект по интересующему сечению.

- Определяем часть объекта по одну из сторон сечения.

- Заменяем действия отброшенной части неизвестными усилиями.

- Составляем уравнения равновесия (6 штук: проекции сил и моментов на оси).

Закон Гука для одноосного напряжённого состояния в точке и закон Гука для чистого сдвига. Модули упругости первого и второго рода, их физический смысл, математический смысл и графическая интерпретация. Коэффициент Пуассона.

- закон Гука для одноосного напряжённого состояния в точке.

Е – коэффициент пропорциональности (модуль упругости I рода). Модуль упругости является физической константой материала и определяется экспериментально. Величина Е измеряется в тех же единицах, что и σ, т.е. в кГ/см².

- закон Гука для сдвига.

G – модуль сдвига (модуль упругости II рода). Размерность модуля G такая же, как и у модуля Е, т.е. кГ/см². .

μ – коэффициент Пуассона (коэффициент пропорциональности). . Безразмерная величина, характеризующая свойства материала и определяющаяся экспериментально и лежит в интервале от 0,25 до 0,35 и не могут превышают 0,5 (для изотропного материала).

8. Центральное растяжение (сжатие) прямого бруса. Определение внутренних продольных сил методом сечений. Правило знаков для внутренних продольных сил. Привести примеры расчёта внутренних продольных сил.

Брус испытывает состояние центрального растяжения (сжатия) в том случае, если в его поперечных сечениях возникают центральные продольные силы N_z (т.е. внутренняя сила, линия действия которой направлена по оси z), а остальные 5 силовых факторов равны нулю (Q_x=Q_y=M_x=M_y=M_z=0).

Правило знаков для N_z: истинная растягивающая сила – «+», истинная сжимающая сила – «-».

Опытное изучение механических свойств материалов при растяжении (сжатии). Принцип Сен-Венана. Диаграмма растяжения образца. Разгрузка и повторное нагружение. Наклёп. Основные механические, прочностные и деформационные характеристики материала.

Механические свойства материалов вычисляют с помощью испытательных машин, которые бывают рычажными и гидравлическими. В рычажной машине усилие создаётся при помощи груза, действующего на образец через систему рычагов, а в гидравлической – с помощью гидравлического давления.

Принцип Сен-Венана: Характер распределения напряжения в поперечных сечениях достаточно удалённых (практически на расстояния, равные характерному поперечному размеру стержня) от места приложения нагрузок, продольных сил не зависит от способа приложения этих сил, если они имеют один и тот же статический эквивалент. Однако в зоне приложения нагрузок закон распределения напряжения может заметно отличаться от закона распределения в достаточно удалённых сечениях.

Если испытуемый образец, не доводя до разрушения, разгрузить, то в процессе разгрузки зависимость между силой Р и удлинением Δl образец получит остаточное удлинение.

Если образец был нагружен на участке, на котором соблюдается закон Гука, а затем разгружен, то удлинение будет чисто упругим. При повторном нагружении пропадёт промежуточная разгрузка.

Наклёп (нагартовка) – явление повышения упругих свойств материала в результате предварительного пластического деформирования.

Предел пропорциональности – наибольшее напряжение, до которого материал следует закону Гука.

Предел упругости – наибольшее напряжение, до которого материал не получает остаточных деформаций.

Предел текучести – напряжение, при котором происходит рост деформации без заметного увеличения нагрузки.

Предел прочности – максимальное напряжение, которое может выдержать образец, не разрушаясь.

13. Физический и условный пределы текучести материалов при испытании образцов на растяжение, предел прочности. Допускаемые напряжения при расчёте на прочность центрально растянутого (сжатого) бруса. Нормативный и фактический коэффициенты запаса прочности. Привести числовые примеры.

В тех случаях, когда на диаграмме отсутствует явно выраженная площадка текучести, за предел текучести принимается условно величина напряжения, при котором остаточная деформация ε_ост=0,002 или 0,2%. В некоторых случаях устанавливается предел ε_ост=0,5%.

max|σ_z|=[σ]. , n>1(!) – нормативный коэффициент запаса прочности.

- фактический коэффициент запаса прочности. n>1(!).

max|σ_z|_растяж≤[σ]_растяж; max|σ_z|_сжатия≤[σ]_сжатия.

Определение внутренних усилий, возникающих в поперечных сечениях стержневых элементов плоской статически определимой рамы, нагруженной системой внешних усилий, действующих в плоскости рамы. Правила знаков для внутренних усилий.

- Найти реакции связей, наложенных на раму.

- Методом сечений определить внутренние усилия.

Если сумма продольных сил, действующих на отсечённую часть рамы, положительная, то ордината силы N_z в сечении откладывается вверх. Если же сумма продольных сил, действующих на отсечённую часть рамы, отрицательная, то ордината силы N_z в сечении откладывается вниз.

Если сумма поперечных сил, действующих на отсечённую часть рамы, положительная, то ордината силы Q_y в сечении откладывается вверх. Если же равнодействующая поперечная сила слева от сечения даёт отрицательный результат, то ордината силы Q_y откладывается вниз.

Если сумма моментов сил, действующих на левую часть рамы, даёт равнодействующий момент, направленный по часовой стрелке, то ордината изгибающего момента в сечении откладывается вверх. Если же равнодействующий внешний момент слева от сечения направлен против хода часовой стрелки, то ордината изгибающего момента откладывается вниз.

Геометрические характеристики плоских фигур (статический момент площади, осевые моменты инерции, центробежный момент инерции, полярный момент инерции, радиус инерции). Их интегральные выражения. Статические моменты площади относительно центральных и нецентральных осей плоской фигуры.

- статический момент площади фигуры относительно оси х.

- статический момент площади фигуры относительно оси у.

- осевой момент инерции относительно оси х.

- осевой момент инерции относительно оси у.

- центробежный момент инерции площади плоской фигуры относительно осей х, у.

- полярный момент инерции сечения.

, .

- статический момент площади относительно нецентральной оси х₁ плоской фигуры.

- статический момент площади относительно нецентральной оси у₁ плоской фигуры.

- центробежный момент инерции площади плоской фигуры относительно осей х₁ и у₁.

В случае центральных осей: , , .

24. Вывод формул для определения осевых моментов инерции прямоугольника, треугольника, круга, кольца.

Прямоугольник:

,

Треугольник:

Круг:

, , ,

.

Кольцо:

.

25. Преобразование моментов инерции плоской фигуры при параллельном переносе осей координат.

- статический момент площади относительно нецентральной оси х₁ плоской фигуры.

- статический момент площади относительно нецентральной оси у₁ плоской фигуры.

- центробежный момент инерции площади плоской фигуры относительно осей х₁ и у₁.

В случае центральных осей: , , .

26. Преобразование моментов инерции плоской фигуры при повороте осей координат. Главные моменты инерции. Главные центральные оси плоской фигуры. Моменты инерции плоских симметричных фигур.

- главные моменты инерции, а оси, относительно которых они достигаются, называются главными осями (среди всех осей, проходящих через фиксируемую точку плоскости).

Для плоских симметричных фигур:

Прямой чистый изгиб прямого бруса. Постановка и решение задачи об определении напряжений, возникающих в поперечных сечениях бруса, обладающих, по крайней мере, одной осью симметрии, с которой совпадает силовая линия. Три стороны задачи.

Чистым изгибом называется такой изгиб, при котором в поперечных сечениях прямого бруса возникает только изгибающий момент, а остальные факторы (поперечные и продольные силы) равны нулю.

Изгиб называется прямым, если силовая линия совпадает с одной из главных центральных осей поперечных сечений балки (главная центральная ось – это главная ось, проходящая через центр сечения).

Закон Гука: ,

, , - кривизна балки равна отношению внутреннего изгибающего момента к жёсткости балки (внутренний изгибающий момент равен отношению жесткости балки к радиусу инерции).

. Закон распределения напряжения по силовой линии – линейный.

Плоское напряжённое состояние в точке. Аналитическое исследование нормальных и касательных напряжений, возникающих в произвольно задаваемых площадках, перпендикулярных плоскости действия заданных напряжений.

Выделяем из сплошной линейно-упругой среды бесконечно малый объём тремя парами ортогональных площадок (в частности - взаимно перпендикулярных плоскостейыделяем из сплошной линейно-упругой среды бесконечно малый объём тремя парами ортогональных площадок ()Д.И.()вается прямым.

).

39. Исследование частных случаев плоского напряжённого состояния в точке. Привести примеры.

, , .

Максимальное касательное напряжение (τ_max) возникает в площадках, расположенных под углом ±45° к главным площадкам. , .

40. Графическое исследование плоского напряжённого состояния в точке. Круговая диаграмма напряжений (круг Мора). Привести примеры.

Свободное кручение бруса круглого поперечного сечения. Постановка и решение задачи об определении напряжений, возникающих в поперечных сечениях бруса, деформаций и перемещений поперечных сечений бруса. Жёсткость бруса при кручении. Три стороны задачи.

Кручение – см. вопрос 49.

- закон Гука для сдвига, θ – относительный угол закручивания, ρ – радиус.

- жёсткость бруса при кручении.

- относительный угол закручивания.

- угол взаимного поворота сечений.

- касательные напряжения.

Основные гипотезы о деформируемом теле. Примеры использования гипотез в расчётах напряжений, деформаций, перемещений.

= Гипотеза сплошности и непрерывности материала.

Материал сплошной (непрерывный).

= Гипотеза однородности свойств материала по всему объёму (макроскопическая гипотеза).

= Гипотеза изотропности.

Во всех направлениях свойства одинаковы.

= Гипотеза естественного состояния материала.

Основные принципы, упрощающие расчёт моделей объектов. Примеры применения этих принципов в прочностных расчётах.

= Принцип мгновенного отвердевания (принцип неизменности начальных размеров деформированной системы).

При определении опорных реакций или каких-либо неизвестных сил из условий равновесия, считается, что под действием приложенных усилий, размеры конструкции не изменяются.

= Принцип освобождаемости (от связей, наложенных на систему).

Усилия, действующие на конструкцию со стороны других систем через связи в виде опор, учитываются в уравнение равновесия без конструктивных особенностей этих других систем (все системы, действующие на данную систему, заменяются соответствующими усилиями, действующими по месту приложения).

= Принцип независимости действия сил.

Последовательность приложения (порядок приложения) сил (усилий) к данной конструкции даёт один и тот же результат, как и другой порядок приложения к той же самой системе сил.

= Принцип суперпозиции (наложения).

Результат действия системы сил на конструкцию равен сумме результатов действий каждого из этих сил на конструкцию.

= Принцип Сен-Венана.

Для однородного стержня вынужденные силы распределены по сечению равномерно, так как из рассмотрения исключаются особенности конкретно взятого стержня в условиях его закрепления на концах.

3. Классификация сил (нагрузок) и объектов, изучаемых в курсе сопротивления материалов. Размерности нагрузок.

Силы: Усилия, приложенные к данному телу, сила распределённой нагрузки, моменты, сила гравитации, сила инерции.

Объекты: Тонкий стержень, оболочка, массив, тонкостенный стержень.

Основные понятия о деформируемом теле: линейные и угловые перемещения и деформации; упругость, пластичность, хрупкость; изотропия и анизотропия.

- линейная деформация (или просто деформация) в точке А по направлению АВ.

- Среднее удлинение отрезка АВ.

- угловая деформация (или угол сдвига) в точке О в плоскости COD.

Совокупность линейных и угловых деформаций по различным направлениям и плоскостям для одной точки образует деформированное состояние в точке.

Упругость – свойство тела восстанавливать свои первоначальные размеры.

Пластичность – способность материала получать большие остаточные деформации.

Хрупкость – способность материала разрушаться без образования заметных остаточных перемещений.

Изотропность – свойства любого тела, выделенного из сплошной среды не зависят от его исходной ориентации в пределах этой среды. (Изотр.: металлы, анизотр.: дерево, бумага).

5. Метод сечений для определения внутренних усилий. Примеры использования метода сечений.

- Мысленно рассекаем объект по интересующему сечению.

- Определяем часть объекта по одну из сторон сечения.

- Заменяем действия отброшенной части неизвестными усилиями.

- Составляем уравнения равновесия (6 штук: проекции сил и моментов на оси).

Напряжение в точке. Полное, нормальное, касательное напряжения. Размерности напряжения.

Напряжение – мера распределения внутренних сил по сечению.

, где - внутренняя сила, выявленная на площадке .

Полное напряжение .

Нормальное напряжение – проекция вектора полного напряжения на нормаль обозначается через σ. , где Е – модуль упругости I рода, ε – линейная деформация. Нормальное напряжения вызывается только изменением длин волокон, направлением их действий, а угол поперечных и продольных волокон не искажается.

Касательное напряжение – составляющие напряжения в плоскости сечения. , где (для изотропного материала) – модуль сдвига (модуль упругости II рода), μ – коэффициент Пуассона (=0,3), γ – угол сдвига.

Закон Гука для одноосного напряжённого состояния в точке и закон Гука для чистого сдвига. Модули упругости первого и второго рода, их физический смысл, математический смысл и графическая интерпретация. Коэффициент Пуассона.

- закон Гука для одноосного напряжённого состояния в точке.

Е – коэффициент пропорциональности (модуль упругости I рода). Модуль упругости является физической константой материала и определяется экспериментально. Величина Е измеряется в тех же единицах, что и σ, т.е. в кГ/см².

- закон Гука для сдвига.

G – модуль сдвига (модуль упругости II рода). Размерность модуля G такая же, как и у модуля Е, т.е. кГ/см². .

μ – коэффициент Пуассона (коэффициент пропорциональности). . Безразмерная величина, характеризующая свойства материала и определяющаяся экспериментально и лежит в интервале от 0,25 до 0,35 и не могут превышают 0,5 (для изотропного материала).

8. Центральное растяжение (сжатие) прямого бруса. Определение внутренних продольных сил методом сечений. Правило знаков для внутренних продольных сил. Привести примеры расчёта внутренних продольных сил.

Брус испытывает состояние центрального растяжения (сжатия) в том случае, если в его поперечных сечениях возникают центральные продольные силы N_z (т.е. внутренняя сила, линия действия которой направлена по оси z), а остальные 5 силовых факторов равны нулю (Q_x=Q_y=M_x=M_y=M_z=0).

Правило знаков для N_z: истинная растягивающая сила – «+», истинная сжимающая сила – «-».