Раздел IV. Электромагнетизм.

Основные формулы

1. Связь магнитной индукции В с напряженностью Н магнитно­го поля:

где m — магнитная проницаемость изотропной среды; m₀ —магнитная постоянная, (m₀ =4×p×10^-7 Гн/м). В вакууме m =l и тогда магнитная индукция в вакууме:

2. Закон Био -Савара -Лапласа: или

где dB — магнитная индукция поля, создаваемого элементом проводника длиной dl с током I; `r — радиус-вектор, направленный от элемента проводника к точке, в которой магнитная индукция вы­числяется; a — угол между радиусом-вектором и направлением тока в элементе проводника.

3. Магнитная индукция в центре кругового тока:

где R -радиус кругового витка.

4. Магнитная индукция на оси кругового тока:

где h — расстояние от центра витка до точки, в которой вычисля­ется магнитная индукция.

5. Магнитная индукция поля прямого тока:

где r ₀ — расстояние от оси проводника до точки, в которой вычис­ляется магнитная индукция.

6. Магнитная индукция поля, создаваемого отрезком провода с током (рис. 4.1, а):

Обозначения ясны из рисунка. Направление вектора магнитной ин­дукции В обозначено точкой — это значит, что В направлен перпен­дикулярно плоскости чертежа к нам. При симметричном расположении конца провода относительно точки, в которой определяется магнитная индукция (рис. 4.1,б): cos a ₁=cos a ₂=cos a, тогда .

7. Магнитная индукция в центре дуги окружности длиной L, обтекаемой током I:

, где R -радиус окружности.

8. Магнитная индукция поля соленоида: , где п — число витков соленоида приходящееся на единицу длины.

9. Сила, действующая на проводник с током в магнитном поле, закон Ампера:

или

где l — длина проводника; a — угол между направлением тока в проводнике и вектором магнитной индукции В. Это выражение справедливо для однородного магнитного поля и прямого отрезка про­водника. Если поле неоднородно и проводник не является прямым, то закон Ампера можно применять к каждому элементу проводника в отдельности:

10. Сила взаимодействия параллельных проводов с током:

где d — расстояние между проводами.

11. Магнитный момент контура с током: ,

где I — сила тока, протекающего по контуру; S — площадь конту­ра; вектор `S численно равен площади S контура и совпадает по на­правлению с вектором нормали к плоскости контура.

12. Механический (вращательный) момент, действующий на контур с током, помещенный в однородное магнитное поле: или

где a — угол между векторами ` р<sub>т</sub> и ` В.

13. Потенциальная энергия; контура с током в магнитном поле:

или

За нулевое значение потенциальной энергии контура с током в маг­нитном поле принято расположение контура, когда вектор ` р<sub>т</sub> перпендикулярен вектору ` В.

14. Отношение магнитного момента ` р_т к механическому L (моменту импульса) заряженной частицы, движущейся по круговой орбите:

где Q — заряд частицы; т — масса частицы.

15. Сила Лоренца: или

где ` V -скорость заряженной частицы; a — угол между векторами ` V и ` В.

(Если частица находится одновременно в электрическом и в магнитном полях, то под силой Лоренца понимают выражение )

16. Магнитный поток:

а) в случае однородного магнитного поля и плоской поверхно­сти

Ф = B × S cos a, или Ф = В × S,

где S — площадь контура; a — угол между нормалью к плоскости контура и вектором магнитной индукции;

б) в случае неоднородного поля и произвольной поверхности:

интегрирование ведется по всей поверхности.

17. Потокосцепление (полный поток): Y = N×Ф

Эта формула верна для соленоида и тороида с равномерной намоткой плотно прилегающих друг к другу N витков.

18. Работа по перемещению замкнутого контура в магнитной поле: А = I× D Ф.

19. Э.д.с. индукции (Закон Фарадея): e_i = .

20. Разность потенциалов на концах проводника, движущегося со скоростью V в магнитном поле: U = B×l×V× sin a,

где l -длина проводника; a – угол между векторами V и В.

21. Заряд, протекающий по замкнутому контуру при изменении магнитного потока, пронизывающего этот контур: , или

где r — сопротивление контура.

22. Индуктивность контура:

23. Э.д.с. самоиндукции: e_s = .

24. Индуктивность соленоида: L= = m×m₀×n²×V,

где п= -число витков, приходящееся на единицу длины соленоида; S- площадь, а V — объем соленоида.

25. Мгновенное значение силы тока в цепи, обладающей сопро­тивлением r и индуктивностью L: а) при замыкании цепи: ,

где e -э.д.с. источника тока; t -время, прошедшее после замы­кания цепи;

б) при размыкании цепи: ,

где I ₀ — значение силы тока в цепи при t =0; t –время, прошедшее с момента размыкания цепи.

26. Энергия магнитного поля: .

27. Объемная плотность энергии магнитного поля (энергия, заключенная в единице объема): , или , или ,

где В — магнитная индукция; Н — напряженность магнитного поля.

 

Методические указания.

1. Основной характеристикой магнитного поля служит вектор магнитной индукции ` В. Задачи на расчет магнитной индукции ` В при заданном распределении токов, создающих магнитное поле, решают с помощью закона Био-Савара-Лапласа и принципа суперпозиции полей. В силу этого принципа магнитная индукция ` В в любой точке магнитного поля проводника с током равна векторной сумме магнитных индукций `dB, созданных в этой точке всеми элементами dl проводника с током: , где интегрирование проводится по всей длине проводника.

Если магнитное поле создано несколькими проводниками с током, то вектор ` В в какой- либо точке поля равен векторной сумме магнитных индукций, созданных в этой точке каждым током в отдельности, т.е.: , где n - число проводников с током.

2. Если требуется определить силу, с которой заданное магнитное поле действует на проводник с током, то сначала находят силу d`F, действующую на произвольный элемент dl длины проводника (силу Ампера), а затем интегрируют полученное выражение по всей длине проводника, учитывая направление складываемых векторов d`F.

3. В явлениях электромагнитной индукции магнитный поток сквозь контур может изменяться как при движении контура или отдельных его участков, так и при изменении во времени магнитного поля. В обоих случаях для определения э.д.с. индукции пользуются законом Фарадея.

4. Если в задаче требуется найти разность потенциалов на концах проводника, движущегося в магнитном поле, то надо иметь в виду, что искомая разность потенциалов численно равна э.д.с., индуцируемой в проводнике.

5. Задачи на движение заряженных частиц в электрическом и магнитном полях по существу решаются методами рассмотренными в механике. Различие лишь в природе сил, действующих на частицу: заряженные частицы движутся лишь под действием силы ` F, состоящей из двух частей: электрической силы и магнитной (лоренцовой силы) .

Для решения таких задач, как правило, необходимо записать уравнение движения частицы- второй закон Ньютона. Чтобы перейти от векторной записи второго закона к скалярной, надо определить направления векторов ` F <sub>эл</sub> и ` F _м. Магнитная сила всегда перпендикулярна векторам ` V и ` В, поэтому она сообщает движущейся заряженной частице только нормальное ускорение, не изменяя её скорости, и следовательно, не совершая работы. Наоборот, сила ` F <sub>эл</sub> при перемещении частицы всегда (за исключением случаев, когда `V ^` E) совершает работу, равную изменению кинетической энергии частицы

Примеры решения задач.

Пример 1. В вершинах квадрата расположены равные положи­тельные заряды- Q = +2×10^-7 Кл (рис. 1). В центре квадрата поме­щен отрицательный заряд. Определить числовое значение этого заряда, если он уравновешивает силы взаимного отталкивания зарядов, расположенных в вершинах квадрата.

Дано: q ₁= q ₂= q ₃= q ₄=2×10^-7 Кл.

Найти: q ₅.

Решение. Для вычисления q ₅ используем закон Кулона и принцип суперпозиции. Заря­ды q ₁, q ₂, q ₃, и q ₄ одинаковы и расположены симметрично. Поэтому рассуждение прово­дим для одного из четырех за­рядов. Определим условие, при котором один из зарядов, на­пример q ₁, находился бы в рав­новесии с зарядом q ₅.

Силы, которые действуют на заряд q ₁ со стороны зарядов q ₂, q ₃, q ₄ и q ₅, обозначим F ₁₂, F ₁₃, F ₁₄, и F ₁₅ соответственно. Для равновесия заряда q ₁ надо, чтобы векторная сумма этих сил была бы равна нулю:

` F <sub>l2</sub> +` F _l3 + ` F <sub>14</sub> + ` F ₁₅ = 0. (1)

Переходим от векторного выражения к скалярному, проектируя все силы на направление диагонали квадрата, проходящей через заряды q ₁:

F _l2×cos a + F _l3 + F ₁₄×cos a - F ₁₅ = 0. (2)

где a =45°. Подставляем в уравнение (2) выражение каждой силы из закона Кулона. С учетом того, что q ₁= q ₂= q ₃= q ₄= q, r _l2 = r _l4 = r ₂₃ = r ₃₄= r, F _l2 = F ₁₄, можно записать:

0 (3)

По условию: . (4)

Подставляя выражение (4) в (3), получим окончательно: . (5).

Подставляя в формулу (5) значения входящих величин, опреде­ляем искомый заряд:

Кл.

Пример 2. По тонкой нити, изогнутой по дуге окружности, равномерно распределен заряд с линейной плотностью t = 10 нКл/м. Определить напряженность Е и потенциал j электрического поля, создаваемого таким распределенным зарядом в точке, совпадающей с центром кривизны дуги. Длина нити составляет одну треть длины окружности и равна l =15 см.

Дано: t = 10 нКл/м, l =15 см.

Найти: E, j

Решение. Выберем оси координат так, чтобы начало координат совпадало с центром кри­визны дуги, а ось у была бы симметрично расположена относитель­но концов дуги (рис 2). На нити выделим элемент длины dl. Заряд dQ = t×dl, находящийся на выделенном участке, можно счи­тать точечным.

Определим напряженность электрического поля в точке 0. Для этого найдем сначала напряженность dE поля, создаваемого зарядом dQ:

где ` r — радиус-вектор, направленный от выделенного элемента dl к точке, в которой вычисляется напряженность

Выразим вектор dE через проекции dE _x и dE _y на оси координат:

где `i и ` j -единичные векторы направлений (орты). Напряженность ` Е найдем интегрированием:

Интегрирование ведется вдоль дуги длины l. В силу симметрии интеграл равен пулю. Тогда , где dE _y = dE ×cos j=

 

Так как r = R =const, dl = R × dj то dE _y = (1)

Подставим найденное значение dE_y в выражение (1) и, приняв во внимание симметричное расположение дуги относительно оси у, пре­делы интегрирования возьмем от 0 до p/3, а результат удвоим:

 

Подставив указанные пределы и выразив R через длину дуги (3 l = 2p R), получим

Из этой формулы видно, что вектор ` Е совпадает с положительным направлением оси у.

Подставим значения t и l в полученную формулу и произведем вычисления:

2.18 кВ/м.

Найдем потенциал электрического поля в точке 0. Сначала найдем потенциал dj, создаваемый точечным зарядом dQ в точке 0:

Заменим r на R и произведем интегрирование:

Так как l = 2p× R /3, то . Произведем вычисления: B.

Пример 3. Тонкий стержень длиной l = 20 см несет равномерно распределенный заряд. На продолжении оси стержня на расстоянии a = 10 см от ближайшего конца находится точечный заряд Q ₁ =40 нКл, который взаимодействует со стержнем с силой F =6 мкН. Определить линейную плотность t заряда на стержне.

Дано: l = 20 см =0,2 м; Q ₁ =40 нКл =40×10^-9 Кл, F =6 мкН=6×10^-6 Н.

Найти: t.

Решение. Сила взаимодействия F заряженного стержня с то­чечным зарядом Q ₁ зависит от линейной плотности t заряда на стержне. Зная эту зависимость, можно определить t. При вычисле­нии силы F следует иметь в виду, что заряд на стержне не является точечным, поэтому закон Кулона непосредственно применить нельзя. В этом случае можно поступить следующим образом. Выделим на стержне (рис. 3) малый участок dr с зарядом dQ = r×dr. Этот заряд можно рассматривать как точечный. Тогда, согласно закону Кулона:

Интегрируя это выражение в пределах от а до а + l, получим:

откуда интересующая нас линейная плотность заряда:

Подставим числовые значения величин в полученную формулу и произведем вычисления: Кл/м=2,5 нКл/м.

Пример 4. Точечный заряд Q =25 мКл находит в поле созданном прямым бесконечным цилиндром радиуса R =1 см равномерно заряженным с поверхностной плотностью s =0,2 нКл/см². Определить силу F, действующую на заряд, если его расстояние от оси цилиндра r= 10 см.

Дано: s =0.2 нКл/см²=2×10^-6 Кл/м²; Q =25 мКл =2,5×10^-8 Кл; R =1 см= 0,01 м; r =10 см=0,1 м.

Найти: F.

Решение. Численное значение силы F, действующей на точеч­ный заряд Q, находящийся в поле, определяется по формуле: F=Q×E (1),

где E –напряженность поля.

Как известно, напряженность поля бесконечно длинного равномерно заряженного цилиндра (2)

где t -линейная плотность заряда.

Выразим линейную плотность t через поверхностную плотность s. Для этого выделим элемент цилиндра длиной l и выразим нахо­дящийся на нем заряд Q двумя способами: Q = s×S = s× 2×p× R × l и Q = t×l.

Приравняв правые части этих равенств и сократив на l, получим: t = 2×p× R×s

С учетом этого формула (2) примет вид:

Подставив это выражение в (1), получим искомую силу F: (3)

Подставим в (3) числовые значения величин: 565 мкН.

Направление силы ` F совпадает с направлением напряженно­сти `E, а последняя в силу сим­метрии (цилиндр бесконечно длинный) направлена перпенди­кулярно поверхности цилиндра.

Пример 5. Точечный заряд q =10^-8 Кл находится на расстоянии r ₁=0,5 м от бесконечно протяженной плоскости, равномерно заряженной с поверхностной плотностью заряда s =4×10^-6 Кл/м². Какую работу надо совершить, чтобы сблизить их до расстояния r ₂=0,2 м.

Дано: s =4×10^-6 Кл/м²; q =10^-8 Кл; r ₁ = 0,5 м; r ₂=0,2 м.

Найти: А.

Решение. Предположим, что плоскость неподвижна, а точечный заряд q перемещается в электростатическом поле, созданном равно­мерно заряженной плоскостью.

Работа сил электрического поля определяется формулой А = q (j ₂ - j ₁), где j ₁ и j ₂ - соответственно потенциалы электрическо­го поля, созданного бесконечно протяженной заряженной плоскостью в точках 1 и 2.

В нашем случае поле плоскости однородное. Потенциал одно­родного электрического поля с напряженностью Е определяется по формуле j = - Е × r. Здесь r -расстояние от рассматриваемой точки поля до плоскости; Е = s /(2 e _о× e), где s - поверхностная плотность заряда на плоскости; e _о=8,85×10^-12 Ф/м, тогда:

(1)

Подставляя в формулу (1) значения входящих величин, опреде­ляем искомую величину:

мДж.

Пример 6. На пластинах плоского конденсатора находится заряд Q = 10 нКл. Площадь S каждой пластины конденсатора равна 100 см², диэлектрик—воздух. Определить силу F, с которой притягиваются пластины. Поле между пластинами считать однородным.

Дано: S =100 cм²=10^{-4 м2}; Q =10 нКл =10^-8 Кл;

Найти: F.

Решение. Заряд Q одной пласти­ны находится в поле напряженностью Е, созданном зарядом другой пластин конденсатора. Следовательно, на первый заряд действует сила

(рис 4): F=Q×E ₁. (1)

Так как (2)

где s -поверхностная плотность заряда пластины, то формула (1) с учетом выражения (2) примет вид: (3)

Подставив числовые значения величин в формулу (3), получим:

мкН.

Пример 7. Внутри плоского конденсатора с площадью пластин S= 400 см² и расстоянием между ними d ₁ = 5 мм находится пластинка из стекла, целиком заполняющая пространство между пластинами. Конденсатор зарядили до разности потенциалов U= 200 В и отключили от источника напряжения. Какую работу надо совершить, чтобы раздвинуть пластины конденсатора до расстояния d =1,5 см?

Дано: S =400 см²=4×10^{-2 м2}; d ₁=5 мм=5×10^{-3 м;} U =200 В; d =l,5 см= 0,015 м.

Найти: А.

Решение. Работа, необходимая для раздвижения пластин, равна изменению энергии конденсатора: A=W ₂ – W ₁, где W ₁ и W ₂ - энер­гия электрического поля конденсатора до и после раздвижения плас­тин соответственно.

Энергия заряженного конден­сатора до раздвижения пластин .

Здесь U ₁- разность потенциалов на обкладках конденсатора; С ₁= - емкость конденсатора, где d ₁- расстояние между пластинами конденсатора, заполненного стеклом с диэлектрической проницаемостью e ₁=5 (рис 5, а). Тогда .

Энергия поля конден­сатора после раздвижения пластин .

Определим С ₂ и U ₂. После раздвижения пластин (рис 5,б) на расстояние d получился слоистый конденсатор. Одна часть пространства заполнена стеклом, а другая воздухом (e ₂=1). Толщина воздушной прослойки d ₂= d –d ₁. Емкость такого конденсатора можно определить по формуле двух последовательно соединенных конденсаторов: , где С ₁= , а С ₂= .

Тогда . (1)

Напряжение U ₂ найдем из условия постоянства заряда на конденсаторе (q ₁= q ₂): U ₁× C ₁= U ₂× C ₂. Следовательно: . (2)

Подставив в формулу для W ₂ выражения (1) и (2), получим:

.

Работа по раздвижению пластин равна:

A=W ₂ – W ₁= .

Тогда A=W ₂ – W ₁= Дж.

Пример 8. Сила тока в проводнике сопротивлением r = 20 Ом нарастает в течение времени D t =2 с по линейному закону от I ₀=0 до I= 6 A. Определить теплоту Q ₁, выделившуюся в этом проводнике за первую секунду, и Q ₂ — за вторую, а также найти отношение Q ₂/ Q ₁.

Дано: r = 20 Ом, D t =2 с, I ₀=0, I= 6 A.

Найти: Q ₁, Q ₂, Q ₂/ Q ₁.

Решение. Закон Джоуля-Ленца в виде Q = I ²× r×t справедлив для случая постоянного тока (I = const). Если же сила тока в про­воднике изменяется, то указанный закон справедлив для бесконечно малого промежутка времени и записывается в виде:

dQ = I ²× r×dt

Здесь сила тока I является некоторой функцией времени. В на­шем случае I = k×t, (2)

где k — коэффициент пропорциональности, численно равный прира­щению силы тока в единицу времени, т. е. A/c.

С учетом (2) формула (1) примет вид: dQ = k ²× r×t ²× dt (3)

Для определения теплоты, выделившейся за конечный промежу­ток времени D t, выражение (3) надо проинтегрировать в пределах от t ₁ до t ₂:

.

При определении теплоты, выделившейся за первую секунду, пределы интегрирования t ₁= 0, t ₂= 1 с и, следовательно, Дж.

При определении теплоты Q ₂ пределы интегрирования t ₁ = 1 с, t ₂ = 2 с, тогда

Дж.

Следовательно, Q ₂/ Q ₁ = 420/60 = 7, т. е. за вторую секунду вы­делится теплоты в 7 раз больше, чем за первую.

Пример 9. Электрическая цепь состоит из двух гальванических элементов, трех сопротивлений и гальванометра (рис. 6). В этой цепи r ₁=100 Ом, r ₂ = 50 Ом, r ₃ = 20 Ом, э.д.с. элемента e ₁ = 2 В. Гальванометр регистрирует ток I ₃ = 50 мA, идущий в направлении, указанном стрелкой. Определить э.д.с. e ₂ второго элемента. Сопротивлением гальванометра и внутренним сопротивлением элементов пре­небречь.

Дано: r ₁=100 Ом, r ₂ = 50 Ом, r ₃ = 20 Ом, e ₁ = 2 В, I ₃ = 50 мA.

Найти: e ₂.

Решение. Выберем направления токов, как они показаны на рис. 7, и условимся обходить контуры по часовой стрелке.

По первому закону Кирхгофа для узла F имеем

I ₁ – I ₂ – I ₃ = 0. (1)

По второму закону Кирхгофа имеем для контура ABCDFA: -I ₁× r ₁ – I ₂ × r ₂ = - e ₁, или после умножения обеих частей равенства на –1:

I ₁× r ₁ + I ₂ × r ₂ = e ₁ (2)

Соответственно, для контура AFGHA:

I ₁× r ₁ + I ₃ × r ₃ = e ₂ (3)

После подстановки числовых значений в формулы (1), (2) и (3) числовых значений получим:

Перенеся в этих уравнениях неизвестные величины в левые части, а известные — в правые, получим следующую систему уравнений:

Эту систему с тремя неизвестными можно решить обычными при­ёмами алгебры, но так как по условию задачи требуется определить только одно неизвестное e ₂ из трех, то воспользуемся методом оп­ределителей.

Составим и вычислим определитель D системы:

Составим и вычислим определитель D e ₂:

Разделив определитель D e ₂ на определитель D, найдем числовое значение э.д.с. e ₂:

e ₂ = -300/-75 = 4 В.

Пример 10. Два параллельных бесконечно длинных провода D и С, по которым текут в одном направлении электрические токи силой I =60 А, расположены на расстоянии d =10 см друг от друга. Оп­ределить магнитную индукцию` В поля, создаваемого проводниками с током в точке А (рис. 7), отстоящей от оси одного проводника на расстоянии r ₁=5 см, от другого - r ₂= 12см.

Дано: I =60 А, d =10 см=0,1 м, r ₁=5 см=0,05 м, r ₂= 12см=0,12 м.

Найти: `В.

Решение. Для нахождения магнитной индукции` В в точке А воспользуемся принципом суперпозиции магнитных полей; Для этого определим направления магнитной индукции ` В ₁ и ` В ₂ полей, создава­емых каждым проводником с током в отдельности, и сложим их гео­метрически:

Абсолютное значение магнитной индукции В может быть найдено по теореме косинусов: , (1)

где a -угол между векторами ` В <sub>1</sub> и ` В ₂.

Значения магнитных индукций В ₁ и B ₂ выражаются соответст­венно через силу тока I и расстояния r ₁ и r ₂ от проводов до точки А: и .

Подставляя выражения В ₁ и B ₂ в формулу (1) и вынося m ₀× I /2p за знак корня, получим

. (2)

Вычислим cos a. Заметив, что a =ÐDAC (как углы с соответст­венно перпендикулярными сторонами), по теореме косинусов запи­шем d ²= , где d -расстояние между проводами. Отсюда: .

После подстановки числовых значений получим: .

Подставляя в формулу (2) значения входящих величин, опреде­ляем искомую индукцию:

 

3,08×10^-4 Тл = 308 мкТл.

Пример 11. По проводу, согнутому в виде квадрата со стороной а =10 см, течет ток силой I =100 А. Найти магнитную индукцию` В в точке О пересечения диагоналей квадрата.

Дано: I =100 А, а =10 см=0,1 м.

Найти: `В.

Решение. Расположим квадратный виток в плоскости чертежа (рис. 8). Согласно принципу суперпозиции магнитных полей, магнитная индукция` В поля квадратного витка будет равна геометри­ческой сумме магнитных индукций полей, создаваемых каждой сто­роной квадрата в отдельности: (1)

В точке О пересечения диагоналей квадрата все векторы индукции будут направлены перпендикулярно плоскости витка «к нам».

Кроме того, из соображений симметрии, следует, что абсолютные значения этих векторов одинаковы: В ₁= В ₂= В ₃= В ₄. Это позволяет векторное равенство (1) заменить скалярным равенством: В =4 B ₁. (2)

Магнитная индукция В ₁ поля, создаваемого отрезком прямоли­нейного провода с током, выражается формулой: (3)

Учитывая, что a ₂=p - a ₁ и cos a ₂= -cos a ₁ (рис. 4.3), формулу (3) можно переписать в виде

Подставив это выражение В ₁ в формулу (2), найдем:

Заметив, что r ₀= а /2 и cos a ₁= /2 (так как a ₁=p/4), получим: .

Подставим в эту формулу числовые значения физических величин и произведем вычисления: Тл= 1,13мТл.

Пример 12. Плоский квадратный контур со стороной а = 10 см, по которому течет ток силой I =100 А, свободно установился в однородном магнитном поле (В =1Тл). Определить работу A, совершаемую внешними силами при повороте контура относительно оси, проходящей через середину его противоположных сторон, на угол: 1) j= 90°; 2) j= 3°. При повороте контура сила тока в нем поддерживается неизменной.

Дано: I =100 А, а =10 см=0,1 м, В= 1 Тл, 1) j= 90°; 2) j= 3°..

Найти: А

Решение. Как известно, на контур с током в магнитном поле действует момент сил (рис. 9): (1)

где p_т - магнитный момент контура; B -магнитная индукция; j -угол между вектором ` p<sub>т</sub>, направленным по нормали к контуру, и вектором ` В.

По условию задачи в начальном положении контур свободно установился в магнитном поле. При этом момент сил равен нулю (M =0), а значит, j =0, т. е. вектора ` p<sub>т</sub> и` В совпадают по направ­лению. Если внешние силы выведут контур из положения равновесия, то возникший момент сил, определяемый формулой (1), бу­дет стремиться возвратить контур в исходное положение. Против этого момента и будет совершаться работа внешними силами. Так как момент сил переменный (зависит от угла поворота j), то для подсчета работы применим формулу работы в дифференциальной форме: dA=Mdj. Подставив сюда выражение М по формуле (1) и учтя, что p _m= I×S = I×a ², где I - сила тока в контуре; S = а ² -пло­щадь контура, получим dA = I × В × а ²×sin j × dj. Взяв интеграл от этого выражения, найдем работу при повороте на конечный угол:

(2)

Работа при повороте на угол j ₁=90°: . (3)

Выразим числовые значения величин в единицах СИ и подставим в (3):

A ₁ = 100×1×(0.1)²=1 Дж.

Работа при повороте на угол j ₂=3°. В этом случае, учитывая, что угол j ₂ мал, заменим в выражении (2) sinj₂ »j₂: (4)

Выразим угол j ₂ в радианах. После подстановки числовых значе­ний величин в (4) найдем: A= = 1,37×10^-3 Дж = 1,37 мДж.

Задачу можно решить и другим способом. Работа внешних сил по перемещению контура с током в магнитном поле равна произве­дению силы тока в контуре на изменение магнитного потока через контур: A=-I× D Ф = I× (Ф ₁ – Ф ₂).

где Ф ₁ -магнитный поток, пронизывающий контур до перемещения; Ф ₂ -то же, после перемещения.Если j ₁=90°, то Ф ₁= B×S, Ф ₂=0, Следовательно A = I×B×S = I×B×a ², что совпадает с полученным выше результатом {3).

Пример 13. В однородном магнитном поле (В =0,1 Тл) равно­мерно с частотой п =10 с^-1 вращается рамка, содержащая N =1000 витков, плотно прилегающих друг к другу. Площадь рамки S =150 см². Определить мгновенное значение э.д.с. индукции e_i, соответствующее углу поворота рамки в 30°.

Дано: В =0,1 Тл, п =10 с^-1, N =1000, S =150 см²=0,15 м², j=30°.

Найти: e_i

Решение. Мгновенное значение э.д.с. индукции e_i опреде­ляется основным уравнением электромагнитной индукции Фарадея— Максвелла: e_i = (1)

где Y -потокосцепление.

Потокосцепление Y связано с магнитным потоком Ф и числом N витков, плотно прилегающих друг к другу, соотношением Y=N×Ф.

Подставляя выражения Y в формулу (1), получим e_i = (2)

При вращении рамки (рис. 10) магнитный поток Ф, пронизы­вающий рамку в момент времени t, определяется соотношением Ф = B×S ×cos wt,

где В -магнитная индукция; S -площадь рамки; w -круговая (или циклическая) частота.

Подставив в формулу (2) выражение Ф и продифференцировав по времени, найдем мгновенное значение э.д.с. индукции: e_i = N×B×S×w× sin wt. (3)

Круговая частота w связана с частотой вращения п соотноше­нием: w= 2 p×n.

Подставляя значение w в формулу (3), получим e_i =2× p×n×N×B×S×w× sin wt. (4)

Выразив значения величии, входящих в эту формулу, в едини­цах СИ, и подставив их в формулу (4), произведем вычисления: e_i =2×3.14 × 10×10³ × 0.1×1.5×10^-2×0.5=47.1 B.

Пример 14. Соленоид с сердечником из немагнитного материа­ла содержит N =1200 витков провода, плотно прилегающих друг к другу. При силе тока I =4 А магнитный поток Ф =6 мкВб. Опре­делить индуктивность L соленоида и энергию W магнитного поля со­леноида.

Дано: I =4 А, Ф =6 мкВб, N =1200.

Найти: L, W