ТОП 10:

Положение и перемещение материальной точки



ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Кинематика

1.1. Основные понятия раздела “Кинематика”

Кинематика - это раздел механики, в котором изучаются способы математического описания движения без выяснения его физических причин.

В механике рассматривается не движение реальных объектов, а их моделей.

Материальная точка -тело, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь.

Абсолютно твердое тело, или, короче, твердое тело- это система материальных точек, расстояния между которыми не меняются в процессе движения.

Системой отсчета называется тело отсчета вместе с приборами для измерения расстояний и промежутков времени. С телом отсчета часто связывается система координат.

Траекторией называется линия, по которой материальная точка движется в пространстве.

Все возможные движения твердого тела можно делятся на пять видов: 1) поступательное, 2) вращение вокруг неподвижной оси, 3) плоское движение, 4) движение вокруг неподвижной точки и 5) свободное движение. Первые два движения являются основными, т.к. остальные виды можно свести к совокупности основных движений.

Поступательное движение твердого тела- это такое движение, при котором любая прямая, связанная с телом, все время остается параллельной своему начальному положению. При поступательном движении все точки твердого тела за один и тот же промежуток времени совершают одинаковые перемещения и поэтому скорости и ускорения всех точек тела в один и тот же момент времени одинаковы.

При вращательном движениивсе точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, которая называется осью вращения.

Существуют три способа описания движения: векторный, координатный и “естественный”. Приведем определения кинематических величин для каждого способа описания.

Определения кинематических величин

Положение и перемещение материальной точки

При векторном способе описания положение материальной точки определяется радиусом-вектором r(t), проведенным от некоторой неподвижной точки О выбранной системы отсчета к рассматриваемой точке. При координатном способе описания положение материальной точки определяется ее координатами x(t), y(t), z(t). При естественном способе описания положение точки задается с помощью криволинейной координаты s(t). Для этого на траектории указывается начало координат и положительное направление отсчета координаты s.

 

 

 


Вектор перемещения Dr= r(t+Dt)-r(t).Перемещения по осямкоординат Dx= x(t+Dt) - x(t),Dy= y(t+Dt) - y(t),могут быть как положительными (точка перемещается по оси координат), так и отрицательными (точка перемещается против оси координат). При естественном способе описания рассматривается изменение криволинейной координаты Ds = s(t+Dt) - s(t).

Скорость

Средней скоростью перемещения называется отношение вектора перемещения к тому промежутку времени, за который это перемещение произошло: . При координатном способе описания вводятся средние значения проекций скорости , , . Средней путевой скоростью называется отношение пути s к тому промежутку времени t, за который этот путь пройден: .

Мгновенная скорость - это скорость в данный момент времени. Устремив Dt ® 0, получаем:

,

т.е. вектор скорости точки в данный момент времени равен производной от радиуса-вектора r по времени t. Аналогично определяются проекции вектора скорости:

, .

Модуль вектора мгновенной скорости легко находится по теореме Пифагора. При двумерном движении . При естественном способе описаниямгновенная скорость равна производной от криволинейной координаты по времени:

.

Мгновенная скорость всегда направлена по касательной к траектории.

Ускорение

Ускорение характеризует быстроту изменения скорости.

При векторном способе описания среднее ускорение равно отношению изменения скорости к тому промежутку времени, за который это произошло это изменение:

При координатном способе описания средние значения проекций ускорения определяются следующими выражениями:

, .

Чтобы перейти к мгновенным значениям ускорения, следует устремить Dt ® 0.

,

т.е. ускорение равно производной вектора скорости по времени. Аналогичными выражениями определяются проекции вектора ускорения:

, .

Модуль вектора мгновенного ускорения легко находится по теореме Пифагора. При двумерном движении .

Перейдем к естественному способу описания движения. Поскольку скорость может изменяться как по величине, так и по направлению, с каждым из этих изменений связана составляющая вектора полного ускорения.

Составляющая ускорения, характеризующая быстроту изменения скорости по величине, называется тангенциальным ускорением. Она связана с приращением вектора скорости, направленным по касательной к траектории, как и сама скорость. При ускоренном движении тангенциальная составляющая совпадает с вектором скорости, при замедленном - противоположна. Величина тангенциального ускорения равна производной от модуля вектора скорости по времени:

.

Составляющая ускорения, характеризующая быстроту изменения скорости по направлению, называется нормальным ускорением. Она связана с приращением вектора скорости, направленным перпендикулярно касательной к траектории и равна

,

где R - радиус кривизны траектории. Нормальное ускорение всегда направлено к центру кривизны траектории:

Вектор полного ускорения

Его модуль легко найти по теореме Пифагора:

.

Угловая скорость

Угловая скорость характеризует быстроту вращения. Средняя угловая скорость равна отношению угла поворота к тому промежутку времени, за который произошел этот поворот:

.

Мгновенная угловая скорость равна производной угловой координаты по времени:

.

Это псевдовектор, его направление связано с направлением вращения правилом буравчика.

Нередко вместо угловой скорости вводится частота вращения n, т.е. число оборотов за единицу времени, а также (в случае равномерного вращения) период T, т.е. время одного оборота.

.

Угловое ускорение

Угловое ускорение характеризует быстроту изменения угловой скорости. Среднее угловое ускорение равно отношению изменения угловой скорости к тому промежутку времени, за который произошло это изменение:

.

Мгновенное угловое ускорение равно производной от угловой скорости по времени:

.

Угловое ускорение - тоже псевдовектор; его направление совпадает с вектором угловой скорости при ускоренном вращении и противоположно ему - при замедленном вращении.

Законы динамики

2.1. Основные определения

Законы сил

Силы тяготения

Сила гравитационного притяжения действует между двумя материальными точками. В соответствии с законом всемирного тяготения эта сила пропорциональна произведению масс этих точек m1 и m2, обратно пропорциональна квадрату расстояния r между ними и направлена вдоль прямой, соединяющей эти точки:

,

где G - гравитационная постоянная.

Гравитационным взаимодействием тела и космического объекта, в частности Земли, обусловлена сила тяжести mg. Гравитационную природу имеет и сила Архимеда.

Силы упругости.

Под действием внешних сил возникают деформации (т.е. изменения размеров и формы) тел. Если после прекращения действия внешних сил прежние формы и размеры тела восстанавливаются, то такая деформация называется упругой. В деформированном теле возникают упругие силы, которые уравновешивают внешние силы, вызвавшие деформацию. Установленный экспериментально закон Гука утверждает, что при упругой деформации величина деформации пропорциональна внешнему воздействию. Рассмотрим, как закон Гука можно записать для различных деформаций.

Деформации сдвига

Рассмотрим прямоугольный брусок, закрепленный неподвижно нижней гранью. Под действием касательной (тангенциальной) силы Ft, приложенной к верхней грани, брусок получает деформацию, называемую сдвигом.

Величина, равная тангенсу угла сдвига , называется относительным сдвигом. При упругих деформациях угол g бывает очень мал, поэтому относительный сдвиг определяется формулой: .

Деформация сдвига приводит к возникновению в каждой точке бруска тангенциального напряжения st, которое определяется как модуль силы, действующей на единицу площади поверхности:

Закон Гука для сдвиговых деформаций имеет вид:

,

где G зависит только от свойств материала и называется модулем сдвига. Для большинства однородных изотропных тел . Модуль Юнга и модуль сдвига измеряются в Паскалях.

Деформации кручения

Рассмотрим стержень в виде прямого кругового цилиндра радиуса r, верхнее основание которого закреплено, а в некотором произвольном сечении, расположенном на расстоянии L от закрепленного, приложена пара касательных сил Ft, момент которых по величине равен и направлен вдоль оси цилиндра.

Под действием вращающего момента все сечения цилиндра поворачиваются на угол j тем больший, чем дальше эти сечения расположены от закрепленного основания. При упругих деформациях угол кручения пропорционален вращающему моменту:

Деформации кручения являются частным случаем сдвиговых деформаций, поскольку любое нижнее сечение испытывает сдвиг относительно верхнего. Поэтому модуль кручения можно выразить через модуль сдвига. Детальный расчет приводит к следующему выражению:

Силы трения

Трение, возникающее при относительном перемещении сухих поверхностей твердого тела, называется сухим трением. Различают три вида сухого

трения: трение покоя, скольжения и качения..

Если на тело действует сила , но тело сохраняет состояние покоя (неподвижно относительно поверхности, на которой оно находится), то это означает, что на тело одновременно действует сила, равная по величине и противоположная по направлению, - сила трения покоя. При увеличении силы , если тело сохраняет состояние покоя, то увеличивается и сила трения покоя. Сила трения покоя всегда равна по величине и противоположна по направлению внешней действующей силе.

Сила трения скольжения возникает при скольжении данного тела по поверхности другого тела. Чаще всего силу трения скольжения принимают равной максимальной силе трения покоя:

,

где m - коэффициент трения скольжения, зависящий от природы и состояния соприкасающихся поверхностей (в частности, от их шероховатости), N - сила нормального давления, прижимающая трущиеся поверхности друг к другу.

Сила трения качения мала по сравнению силой трения скольжения.

При движении твердого тела в жидкости или газе на него действует сила, препятствующая движению. При малых скоростях сила сопротивления пропорциональна первой степени скорости тела:

,

при больших скоростях - приблизительно пропорциональна квадрату скорости:

.

Коэффициенты сопротивления k1 и k2, а также область скоростей, в которой осуществляется переход от линейного закона к квадратичному, в сильной степени зависят от формы и размеров тела, направления его движения, состояния поверхности тела и от свойств окружающей среды.

Краткие сведения о законах, описывающих разные виды взаимодействий, приведены в таблице 4.

Информация о силахТаблица 4

Происхождение сил Законы сил
Гравитационное притяжение материальных точек с массами m1 и m2, находящихся на расстоянии r Закон всемирного тяготения (G - гравитационная постоянная)
Действие Земли с точки зрения наблюдателя, находящегося на Земле Сила тяжести
Действие растянутой или сжатой пружины жесткостью k Закон Гука (x - смещение от положения равновесия)
Взаимодействие при контакте поверхностей твердых тел Сила нормального давления N
  Сила трения покоя или
  сила трения скольжения
Сопротивление движению твердого тела относительно жидкости или газа Сила вязкого трения при малых скоростях
  Сила вязкого трения при больших скоростях
Выталкивающая сила, действующая на твердое тело, находящееся в жидкости или газе Закон Архимеда (m - масса вытесненной жидкости или газа)
Действие электрического поля на заряд q (E -напряженность поля)
Действие магнитного поля на движущийся заряд q Сила Лоренца (B - вектор магнитной индукции)

Законы динамики

Законы Ньютона

Прежде всего напомним законы Ньютона. Они применяются при описании движения материальной точки или поступательного движения твердого тела.

В первом законе Ньютона утверждается, что существуют такие системы отсчета, относительно которых тело находится в состоянии покоя или прямолинейного равномерного движения, если на него не действуют силы или равнодействующая всех сил равна нулю. Такие системы отсчета называются инерциальными(ИСО).Любая система отсчета, движущаяся с постоянной скоростью относительно ИСО, также является инерциальной.

Во втором законе Ньютона устанавливается связь между воздействием на тело - силой и реакцией на воздействие, которая проявляется в изменении скорости, т.е. в ускорении:

,

т.е. в инерциальных системах отсчета произведение массы тела на его ускорение равно силе, действующей на это тело. Если сил несколько, то под Fпонимается равнодействующая сила.

Втретьем законе Ньютона утверждается, что действие равно противодействию, а именно, два тела взаимодействуют с силами, равными по величине, и противоположными по направлению:

Отметим, что эти силы приложены к разным телам и никогда не компенсируют друг друга.

Силы инерции

Системы отсчета, движущиеся с ускорением относительно инерциальных систем, называются неинерциальными (НИСО), и в них не выполняются рассмотренные выше законы динамики: второй закон Ньютона, уравнение движения центра масс, уравнение динамики вращательного движения. Однако их можно сохранить и для неинерциальных систем, если кроме обычных сил взаимодействия F ввести еще “силы” особой природы Fин, называемые силами инерции. Их введение обусловлено ускорением движения неинерциальной системы отсчета относительно инерциальной.

Законы динамики Таблица 5

Физическая ситуация Применяемые законы
Прямолинейное движение материальной точки, поступательное движение твердого тела Второй закон Ньютона
Движение материальной точки по окружности или другой криволинейной траектории Второй закон Ньютона
Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси Основной закон динамики вращательного движения
Сложное движение твердого тела Уравнение движения центра масс и уравнение динамики вращательного движения

 

В НИСО законы динамики примут вид:

второй закон Ньютона + ;

уравнение движения центра масс + ;

уравнение динамики вращательного движения + .

Существует два основных типа неинерциальных систем. Обозначим символом К инерциальную систему отсчета, а - неинерциальную.

1. движется относительно К с постоянным ускорением .В этом случае в уравнениях динамики следует ввести силу инерции, равную = -mac.Точкой приложения этой силы считать центр масс.

2. вращается относительно К с постоянной угловой скоростью w. В уравнения динамики следует ввести центробежную силу инерции, равную . Если тело движется относительно со скоростью , то кроме центробежной, требуется учесть кориолисову силу инерции:

.

Систему отсчета, связанную с Землей, приближенно можно считать инерциальной при решении большинства задач.

Законы сохранения

Основные понятия

Несколько тел (частиц) называют системой тел. В систему может быть включено по нашему желанию любое число тел (два, три и т. д.). Твердое тело иногда рассматривают как систему большого числа материальных точек. Закономерности, установленные для системы частиц, можно применять и для отдельной частицы, полагая число частиц системы равным единице.

Состояние системы характеризуется одновременным заданием положений (координат) и скоростей всех ее частиц.

При движении системы ее состояние с течением времени изменяется. Тем не менее существуют такие величины, которые обладают весьма важным и замечательным свойством сохраняться во времени. В механике такими величинами являются энергия, импульс и момент импульса. Однако законы сохранения механической энергии, импульса и момента импульса применимы не для любых механических систем и не при всех видах взаимодействий.

Система тел, на которую не действуют никакие посторонние тела (или их воздействие пренебрежимо мало), называется замкнутой или изолированной.

Силы взаимодействия между частицами (телами) системы называют внутренними, а силы, обусловленные действием других тел, не входящими в данную систему, - внешними. В неинерциальных системах отсчета к внешним относят и силы инерции.

Потенциальными или консервативными называют силы, зависящие при данном характере взаимодействия только от конфигурации механической системы. К непотенциальным относят силы, не удовлетворяющие приведенному здесь определению потенциальных сил. Непотенциальными являются, в частности, диссипативные силы - силы трения и сопротивления. Суммарная работа внутренних непотенциальных сил рассматриваемой системы отрицательна.

 

 


Определения физических величин

Работа

Пусть частица под действием силы F совершает перемещение по некоторой траектории 1-2. В общем случае сила F в процессе движения может изменяться как по величине, так и по направлению. Рассмотрим элементарное (бесконечно малое) перемещение dr, в пределах которого силу F можно считать постоянной.

Действие силы F на перемещении dr характеризуется величиной

,

которую называют элементарной работой силы F на перемещении dr. Здесь a - угол между направлениями силы и перемещением, Fs - проекция силы на направление перемещения.

Работу силы на всем пути от точки 1 до точки 2 найдем, интегрируя (суммируя) элементарные работы вдоль траектории от точки 1 до точки 2:

.

В случае постоянной силы последнее выражение примет вид:

.

Эти выражения применимы как для материальной точки, так и поступательного движения твердого тела.

Энергия

Энергия - мера способности тела совершить работу. Движущиеся тела обладают кинетической энергией. Поскольку существуют два основных вида движения - поступательное и вращательное, то кинетическая энергия представлена двумя формулами - для каждого вида движения. Потенциальная энергия - энергия взаимодействия. Убыль потенциальной энергии системы происходит вследствие работы потенциальных сил. Выражения для потенциальной энергии сил тяготения, тяжести и упругости, а также для кинетической энергии поступательного и вращательного движений приведены на схеме. Полная механическая энергия является суммой кинетической и потенциальной.

 

 


Импульс и момент импульса

Импульсом частицы p называется произведение массы частицы и ее скорости:

.

Моментом импульса L относительно точки О называется векторное произведение радиус-вектора r, определяющего положение частицы, и ее импульса p:

.

Модуль этого вектора равен:

.

Пусть твердое тело имеет неподвижную ось вращения z, вдоль которой направлен псевдовектор угловой скорости w.

 

 


Таблица 6

Формулировки законов

Закон изменения импульса

Приращение импульса системы тел равно импульсу равнодействующей всех внешних сил, действующих на систему, за соответствующий промежуток времени:

. (4)

Если внешние силы не зависят от времени, выражение (4) принимает вид:

.

Закон сохранения импульса

Если правая часть в выражении (4) обращается в нуль, то закон изменения импульса превращается в закон сохранения, а именно:

. (5)

Чаще всего он применяется для двух взаимодействующих тел и записывается в векторном виде:

Здесь v1 и v2 - скорости тел в состоянии I, u1 и u2 - скорости тел в состоянии II.

Сформулируем те условия, при выполнении которых можно применять закон сохранения импульса.

1) Система замкнута, т.е. , следовательно,

2) Система замкнута в некотором направлении, которое можно связать с осью x, т.е. ; , . В этом случае, учитывая векторный характер величин, имеем:

.

3) Промежуток времени между состояниями I и II настолько мал (удар, взрыв), что внешние силы не могут заметно повлиять на скорости тел, т.е. при t ® 0

.

Удар

Абсолютно упругий удар.

Абсолютно упругим называется такой удар, при котором механическая энергия тел не переходит в другие немеханические, виды энергии.

При абсолютно упругом ударе выполняются законы сохранения энергии, импульса и момента импульса. Потенциальная энергия каждого тела в состояниях до и после удара одинакова, перераспределяется только кинетическая энергия. Поэтому закон сохранения энергии можно записать в виде:

Типичным примером абсолютно упругого удара является удар шаров при игре в бильярд.

Абсолютно неупругий удар.

При абсолютно неупругом ударе кинетическая энергия полностью или частично переходит во внутреннюю энергию, после удара тела движутся с одинаковой скоростью или покоятся.

Законы сохранения импульса и момента импульса принимают вид:

Количество тепла, выделившегося при ударе, или работа, затраченная на неупругую деформацию тел, равна уменьшению кинетической энергии системы.

В частности, при взаимодействии материальных точек или поступательно движущихся твердых тел

.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Кинематика

1.1. Основные понятия раздела “Кинематика”

Кинематика - это раздел механики, в котором изучаются способы математического описания движения без выяснения его физических причин.

В механике рассматривается не движение реальных объектов, а их моделей.

Материальная точка -тело, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь.

Абсолютно твердое тело, или, короче, твердое тело- это система материальных точек, расстояния между которыми не меняются в процессе движения.

Системой отсчета называется тело отсчета вместе с приборами для измерения расстояний и промежутков времени. С телом отсчета часто связывается система координат.

Траекторией называется линия, по которой материальная точка движется в пространстве.

Все возможные движения твердого тела можно делятся на пять видов: 1) поступательное, 2) вращение вокруг неподвижной оси, 3) плоское движение, 4) движение вокруг неподвижной точки и 5) свободное движение. Первые два движения являются основными, т.к. остальные виды можно свести к совокупности основных движений.

Поступательное движение твердого тела- это такое движение, при котором любая прямая, связанная с телом, все время остается параллельной своему начальному положению. При поступательном движении все точки твердого тела за один и тот же промежуток времени совершают одинаковые перемещения и поэтому скорости и ускорения всех точек тела в один и тот же момент времени одинаковы.

При вращательном движениивсе точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, которая называется осью вращения.

Существуют три способа описания движения: векторный, координатный и “естественный”. Приведем определения кинематических величин для каждого способа описания.

Определения кинематических величин

Положение и перемещение материальной точки

При векторном способе описания положение материальной точки определяется радиусом-вектором r(t), проведенным от некоторой неподвижной точки О выбранной системы отсчета к рассматриваемой точке. При координатном способе описания положение материальной точки определяется ее координатами x(t), y(t), z(t). При естественном способе описания положение точки задается с помощью криволинейной координаты s(t). Для этого на траектории указывается начало координат и положительное направление отсчета координаты s.

 

 

 


Вектор перемещения Dr= r(t+Dt)-r(t).Перемещения по осямкоординат Dx= x(t+Dt) - x(t),Dy= y(t+Dt) - y(t),могут быть как положительными (точка перемещается по оси координат), так и отрицательными (точка перемещается против оси координат). При естественном способе описания рассматривается изменение криволинейной координаты Ds = s(t+Dt) - s(t).

Скорость

Средней скоростью перемещения называется отношение вектора перемещения к тому промежутку времени, за который это перемещение произошло: . При координатном способе описания вводятся средние значения проекций скорости , , . Средней путевой скоростью называется отношение пути s к тому промежутку времени t, за который этот путь пройден: .

Мгновенная скорость - это скорость в данный момент времени. Устремив Dt ® 0, получаем:

,

т.е. вектор скорости точки в данный момент времени равен производной от радиуса-вектора r по времени t. Аналогично определяются проекции вектора скорости:

, .

Модуль вектора мгновенной скорости легко находится по теореме Пифагора. При двумерном движении . При естественном способе описаниямгновенная скорость равна производной от криволинейной координаты по времени:

.

Мгновенная скорость всегда направлена по касательной к траектории.

Ускорение

Ускорение характеризует быстроту изменения скорости.

При векторном способе описания среднее ускорение равно отношению изменения скорости к тому промежутку времени, за который это произошло это изменение:

При координатном способе описания средние значения проекций ускорения определяются следующими выражениями:

, .

Чтобы перейти к мгновенным значениям ускорения, следует устремить Dt ® 0.

,

т.е. ускорение равно производной вектора скорости по времени. Аналогичными выражениями определяются проекции вектора ускорения:

, .

Модуль вектора мгновенного ускорения легко находится по теореме Пифагора. При двумерном движении .

Перейдем к естественному способу описания движения. Поскольку скорость может изменяться как по величине, так и по направлению, с каждым из этих изменений связана составляющая вектора полного ускорения.

Составляющая ускорения, характеризующая быстроту изменения скорости по величине, называется тангенциальным ускорением. Она связана с приращением вектора скорости, направленным по касательной к траектории, как и сама скорость. При ускоренном движении тангенциальная составляющая совпадает с вектором скорости, при замедленном - противоположна. Величина тангенциального ускорения равна производной от модуля вектора скорости по времени:

.

Составляющая ускорения, характеризующая быстроту изменения скорости по направлению, называется нормальным ускорением. Она связана с приращением вектора скорости, направленным перпендикулярно касательной к траектории и равна

,

где R - радиус кривизны траектории. Нормальное ускорение всегда направлено к центру кривизны траектории:

Вектор полного ускорения

Его модуль легко найти по теореме Пифагора:

.







Последнее изменение этой страницы: 2017-01-27; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.236.15.142 (0.04 с.)