Раздел 2. Кинематический анализ плоских механизмов с низшими парами

Кинематический анализ Механизмов имеет своей целью изучение теории строения механизмов, исследование движения звеньев с геомет­рической точки зрения, независимо от сил, вызывающих движение этих тел.

Кинематическое исследование состоит в решении следующих за­дач:

1. Определение класса механизма, т. е. выяснение, из каких структурных групп состоит механизм, и в какой последовательности эти группы присоединяются к исходному механизму 1 класса.

2. Определение перемещений звеньев и траекторий, описываемых точками звеньев.

3. Определение скоростей отдельных точек звеньев и угловых ско­ростей звеньев.

4.Определение ускорений отдельных точек звеньев и угловых ус­корений звеньев.

Пример: Дана схема (рис. 2.1), длины звеньев l _O1A = 0,1 м, l _AВ = 0,28 м, l _ВО3 = 0,24 м, l _СО3 = 0,18 м, l _СD = 0,28 м, n = 400 об/мин. Исследова­ние механизма производится в 10-м положении.

По рядок расчета:

1. Выбираем масштаб для построения кинематической схемы, определяемый по формуле

где l _{O1A =} 0,1— истинная длина звена;

О₁А = 50 мм — длина звена на чертеже.

2. В этом масштабе вычерчиваем планы механизма (рис. 2.1, а) в 12 равноотстоящих положениях кривошипа. За нулевое следует принять одно из крайних положений механизма. Для этого необходимо найти длины от­резков всех остальных

звеньев механизма, которые будут изображать их на чертеже:

и так далее.

Для того, чтобы найти правое крайнее положение механизма, нужно из точки О₁; отрезком длиной 0₁А+АВ сделать засечку на дуге ра­диуса О₃В. Получим точку В₀ для нулевого положения. Затем найдем все остальные положения звеньев механизма. С помощью засечки длиной АВ—0₁А на дуге радиуса О₃В определим левое крайнее положение точки В и обозначим ее через В₃.

3. Производим структурный анализ. Так как заданный механизм плоский и относится к третьему семейству, то степень свободы меха­низма определяется по формуле Чебышева

где n — число подвижных звеньев, равное в данном механизме 5;

p₅—число кинематических пар 5-го класса (низшие кинематиче­ские пары). В данном механизме их 7 (0—1, 1—2, 2—3, 3—4, 3—0, 4—5, 5—0);

р₄—число кинематических пар 4-го класса (высшие кинематиче­ские пары), их в механизме нет. Тогда:

 

Рис. 2.1. Кинематическое исследование рычажного механизма методом планов:

а —кинематическая схема; б — группы Ассура; в — план скоро­стей; г — план ускорений

 

В данном механизме нет лишних степеней свободы и пассивных связей.

Проведем разложение механизма на структурные группы Ассура. Разложение следует начинать с отделения группы, наиболее отдаленной от ведущего звена. Разложение будет правильным, если после отделения каж­дой группы оставшаяся часть представляет собой кинематическую цепь с тем же числом степеней свободы, что и исходный механизм. По­этому раз­ложение необходимо начать с попытки отделения групп 2-го класса (двух-поводковых). В случае неудачи следует отделить группу 3-го класса или 4-го класса.

На рис. 3.1,б показано разложение механизма на структурные группы. Формула строения механизма имеет вид 1(0,1)®2₂₁ (2,3)®2₂₂ (4,5), т. е. к исходному механизму

1-го класса (звенья 0,1) присоединя­ются группы Ассура 2-го класса, состоящие из звеньев 2 — 3 (2-го по­рядка, 1-го вида) и 4— 5 (2-го порядка, 2-го вида). По классификации Ассура-Арт­обо­левского данный механизм является механизмом 2-го класса. Струк­турный анализ механизма всегда предшествует кинематическому исследо­ванию.

Кинематическое исследование механизма необходимо начинать с механизма 1-го класса, т. е. с ведущего звена. Задачи кинематического и силового исследования механизма в каждом положении его ведущего звена решаются для каждой группы Ассура отдельно, согласно формуле строе­ния.

Рассмотрим построение кинематических диаграмм. По найденным на пла­нах механизма (рис. 2.1,а) положениям ведомого звена 5 вычерчиваем гра­фик перемещения ползуна D (рис. 2.2,а), начиная от крайнего правого по­ложения. Так как по условию w₁=const, то ось абсцисс является не только осью углов (j поворота кривошипа, но и осью времени t).

Время оборота ведущего звена (кривошипа O₁A) в секундах, най­дем по формуле

Это время рекомендуется изображать на оси абсцисс отрезком

x = 0—12 = 120...180 мм; тогда масштаб времени, с/мм

Масштаб перемещений, откладываемых по оси ординат, берем та­ким же, что и масштаб длины на схеме механизма, или изменяем.

Дифференцируя график перемещений, получим график изменения скорости ведомого звена. Дифференцирование проводим графически мето­дом хорд.

Последовательность построения графика V_D = V_D (t) (рис.2.2,б):

1. Проводим секущие (хорды) 0a, аb, bс, сd, df и т. д.

2. Выбираем полюс р_v на расстоянии H_v, которое рекомендуется брать порядка 20...40 мм, и проводим из него лучи 1, 2, 3, 4 и т. д., параллель­ные секущим 0a, аb, bс, сd, df и т.д., до пересечения с осью ординат.

3. Из точек пересечения 1, 2, 3 и т. д. проводим горизонтали до пере­сечения с вертикальными прямыми, проведенными из середин 0—1, 1—2 и т. д. отрезков времени Dt.

4. Точки пересечения 1', 2', 3', 4' и т. д. соединяем плавной кривой. Это будет кривая изменения скорости ведомого звена.

5. Вычисляем масштаб скорости, мс^-1/мм,

где w₁ - угловая скорость звена 1,

m_s — масштаб перемещений;

m_t — масштаб времени;

H_v—полюсное расстояние, мм.

Масштаб графика скорости зависит от выбора полюсного рас­стояния. Чем больше полюсное расстояние, тем меньше численный мас­штаб и тем большие ординаты имеет график скорости. Начальная и ко­нечная точки графика за период цикла движения механизма должны иметь одинаковые ординаты (в данном случае они равны нулю).

Аналогичным способом получим кривую ускорения (рис.2.2,в), дифференцируя график скорости. График ускорения, постро­енный путем графического дифференцирования кривой графика скоро­сти, изображает закон изменения лишь касательного ускорения. Только в случае прямолинейного движения точки, когда нормальное ускорение равно нулю, построенный график отобразит (как в нашем примере) закон изменения полного ускорения. Начальная и конечная точки графика ус­корения за время цикла движения механизма должны иметь одинаковые ординаты.

Масштаб графика ускорений, мс^-1/мм, определяется по формуле

Рис. 2.2. Кинематические диаграммы

Рассмотрим построение плана скоростей для 10-го положения (рис. 2.1,в).

Величина скорости точки A, м/с, перпендикулярной кривошипу 0₁A, определяется по формуле

(2.1)

.

Для построения плана скоростей выбираем на плоскости произ­вольную точку р — полюс плана скоростей, который является началом плана скоростей. Из полюса откладываем отрезок рa, изображающий на плане скоростей вектор скорости V_A. Он перпендикулярен звену 0₁А.

Тогда масштаб плана скоростей, мс^-1/мм

(2.2)

Рассмотрим первую группу звеньев (звенья 2 и 3).

Для определения скорости точки В напишем два векторных урав­нения согласно теореме о сложении скоростей при плоско­параллельном движении:

(2.3)

(2.4)

 

Векторы относительных скоростей V_ВA и V_BO3 известны только по направлению. Вектор относительной ско­рости V_ВA перпендикулярен звену AВ, а вектор V_ВОЗ — звену О₃В.

Точка О₃ неподвижна, поэтому V₀₃=0. Таким образом, рассматри­ваемая группа присоединена к двум точкам, скорости которых известны и по направлению, и по величине.

В соответствии с векторным уравнением (2.3) на плане скоростей прово­дим через точку (а) прямую, перпендикулярную звену AВ. Это есть ли­ния вектора V_BA. В соответствии с векторным равенством (2.4) про­водим через точку О₃ на плане скоростей прямую, перпендикулярную звену O₃B. Это будет линия вектора V_ВОЗ. Точка (в) пересечения этих двух пря­мых и будет определять конец вектора, изображающего на плане скоро­стей вектор Vв. Чтобы определить истинную величину любого из векто­ров в м/с, надо его длину умножить на масштаб плана скоростей.

Напри­мер,

Для определения скорости точки С воспользуемся тем, что кар­тина относительных скоростей образует на плане скоростей фигуру, по­добную фигуре звена и повернутую относительно ее на 90° в сторону вращения звена. В соответствии с этим отрезок рb плана скоростей раз­делим в отно­ше­нии О₃В: O₃C, т. е.

Откуда

Величина скорости точки С, м/с

Перейдем к группе (звенья 4 и 5).

Для определения скорости точки D напишем векторные уравнения

 

(2.5)

(2.6)

 

Вектор относительной скорости V_DC и вектор абсолютной скорости V_D не известны по величине, но известны по направлению. В соответствии с векторным уравнением через точку С на плане скоростей проводим пря­мую, перпендикулярную звену CD. Это будет линия относительной скоро­сти, где далее проводим линию параллельно направляющей

Х-Х. Точка d, пе­ресечения этих прямых и есть искомая точка. Истинная величина скорости точки D, м/с

Определим угловые скорости. Угловая скорость звена 2, рад/с, оп­ределяется по формуле

(2.6)

Чтобы определить направление угловой скорости w₂, следует век­тор относительной скорости V_BA перенести в точку В механизма, а точку A мысленно закрепить. Тогда вектор V_BA будет стремиться вращать звено 2 по ходу часовой стрелки. Это и будет направление угловой ско­рости w₂

Остальные угловые скорости:

(2.7)

(2.8)

Угловая скоростьw₃ направлена по часовой стрелке, w₄ — против.

Рассмотрим построение плана ускорений.

Для первой группы звеньев (звенья 2, 3), ускорение точки A, м/с² можно определить по величине и направлению.

Так как w₁=const, то

(2.9)

Точка О₃ неподвижна, следовательно, ускорение ее равно нулю.

Таким образом, группа присоединена к точкам, ускорения кото­рых известны.

Для построения плана ускорений выбираем на плоскости произ­вольную точку p — полюс плана ускорений (рис.3.1,г). Из полюса откла­дываем отрезок pа, изображающий на плане ускорений вектор ускорений точки A - a _A. Ускорение a _A направлено вдоль звена O₁A от точки A к точке O₁ (к центру вращения звена I). Тогда масштаб плана ускорений, мс^-1/мм,

(2.10)

Для определения ускорения точки В напишем два векторных

уравнения, рассмотрев движение точки В относительно точек A и О₃:

(2.11)

(2.12)

Нормальные ускорения можно определить по величине и направ­ле­нию. Величина вектора

(2.13)

Вектор a ⁿ_BA направлен вдоль звена AВ от точки В к точке A (к цен­тру относительного вращения).

Величина вектора W_BO3определяется по формуле

(2.14)

Вектор a ⁿ_BA направлен вдоль звена ВA от точки В к точке A как к центру вращения. Тангенциальные ускорения не известны по величине, но известны по направлению. Из конца вектора a _A, ускорения точки A про­водим прямую, параллельную звену AВ — вектор нормального ускорения точки В относительно точки A(a ⁿ_BA), масштабная величина которого an₂ = a ⁿ_BA /m_W, измеряется в миллиметрах.

Через точку n₂ проводим направление вектора W^t_BA перпендикулярно звену ВA. Затем строим сумму векторов правой части векторного уравне­ния (2.11). Для этого проводим из полюса параллельно звену О₃В вектор a ⁿ_BO3. Его масштабная величина на плане ускорений pn₃ = a ⁿ_ВОЗ/m_W. Затем через точку n₃ перпендикулярно звену О₃В проводим вектор тангенци­аль­ного ускорения a ^t_BO3. Пересечение векторов a ^t_BO3 и a ^t_BA определит точку b. Вектор n₂b выражает ускорение a _BA, а вектор n₃b выражает уско­рение a ^t_BO3 Если соединить точку а с точкой b на плане ускорений, то вектор аb выра­зит полное относительное ускорение a _BA, так как является геометрической суммой векторов a ⁿ_BA и a ^t_BA. Подобно этому вектор o₃b на плане ускорений представляет масштабное выражение вектора пол­ного относительного ус­корения a _BO3. И, наконец, вектор pb выражает на плане ускорений вектор абсолютного ускорения точки В.

Для определения ускорения точки С воспользуемся свойством по­добия. На основании теоремы подобия имеем

Тогда

Для определения ускорения точки D напишем векторное уравне­ние

(2.15)

Рассмотрим векторы, входящие в данное уравнение. Вектор W_C мы определили ранее. Величина вектора Wⁿ_DC, м/с², определяется по формуле

(2.16)

а остальные векторы известны только по направлению.

Достраиваем план ускорений. Из точки с параллельно звену DC проводим вектор a ⁿ_DC, масштабная величина которого, мм, на плане ус­ко­рений равна cn₄ = a ⁿ_DC /m_W

Через точку перпендикулярно звену CD проводим вектор a ^t_DC, а через точку p параллельно направляющей — вектор a _D. На пересечении векторов a ^t_DC и a _D получим точку d, которая определит их ве­личины. По­лученный вектор n₄d на плане ускорений выражает в масштабе ускорение a ^t_DC, а вектор pd является изображением вектора ускорения a _D. Если соединить точку (с) с точкой (d), то вектор сd будет изображать пол­ное от­носительное ускорение a _DC.

Определим угловые ускорения. Ведущее звено 7 вращается с по­стоянной угловой скоростью, поэтому его угловое ускорение e₁=0.

Угловое ускорение звена 2, с^-2, равно величине тангенциального (касательного) ускорения a ^t_BA, деленной на длину звена AB, т.е.

___

a ^t_ВА n ₂ b m _a

e ₂ = ^¾¾¾¾ = ^¾¾¾¾¾. (2.17)

l _ВА l _ВА

Чтобы определить направление углового ускорения e₂, вектор от­но­сительного ускорения a ^t_BA следует перенести с плана ускорений в точку В механизма, а точку A мысленно закрепить. Тогда вектор a ^t_BA бу­дет стре­миться вращать звено 2 против хода часовой стрелки. Это и бу­дет направ­ление e₂.

Подобным образом находим угловые ускорения остальных звеньев;

___

a ^t_ВОЗ n ₃ b ·m _a

e₃ = ^¾¾¾¾ = ^¾¾¾¾¾; (2.18)

l _ВОЗ l _ВОЗ

___

a ^t_DC n ₄ b ·m _a

e₄ = ^¾¾¾¾ = ^¾¾¾¾¾; (2.19)

l _DC l _DC

e₃ и e₄ направлены против хода часовой стрелки.