Представление вещественных чисел в компьютере.

Более сложное представление существует для вещественных (не целых) чисел, и обработка таких чисел значительно сложнее для компьютера.

В ЭВМ используются три вида чисел: с фиксированной точкой (запятой), с плавающей точкой (запятой) и двоично-десятичное представление. Точка (запятая) - это подразумеваемая граница целой и дробной частей числа.

У чисел с фиксированной точкой в двоичном формате предполагается строго определенное место точки (запятой). Обычно это место определяется или перед первой значащей цифрой числа, или после последней значащей цифрой числа. Если точка фиксируется перед первой значащей цифрой, то это означает, что число по модулю меньше единицы. Диапазон изменения значений чисел определяется неравенством

Если точка фиксируется после последней значащей цифры, то это означает, что n- разрядные двоичные числа являются целыми. Диапазон изменения их значений составляет:

Перед самым старшим из возможных разрядов двоичного числа фиксируется его знак. Положительные числа имеют нулевое значение знакового разряда, отрицательные - единичные.

Другой формой представления чисел является представление их в виде чисел с плавающей точкой (запятой). Числа с плавающей точкой представляются в виде мантиссы т_a и порядка р_a, иногда это представление называют полулогарифмической формой числа. Например, число A10= 373 можно представить в виде 0.373 • 10³, при этом т = 0.373, р = 3, основание системы счисления подразумевается фиксированным и равным десяти. Для двоичных чисел А₂ в этом представлении также формируется т_a и порядок р_a при основании системы счисления равным двум.

что соответствует записи

Порядок числа р_a определяет положение точки (запятой) в двоичном числе. Значение порядка лежит в диапазоне -р_a^max <=р_a<=р_a^max, где величина p_a^mах определяется числом разрядов к, отведенных для представления порядка

Положительные и отрицательные значения порядка значительно усложняют обработку вещественных чисел. Поэтому во многих современных ЭВМ используют не прямое значение р_a, а модифицированное р'_a приведенное к интервалу

Значение р'_a носит название «характеристика числа». Обычно под порядок (модифицированный порядок - характеристику) выделяют один байт. Старший разряд характеристики отводится под знак числа, а семь оставшихся разрядов обеспечивают изменение порядка в диапазоне

Модифицированный порядок р^'_a вычисляется по зависимости

Этим самым значения р^'_a формируются в диапазоне положительных чисел

Мантисса числа m_a представляется двоичным числом, у которого точка фиксируется перед старшим разрядом, т. е.

где k - число разрядов, отведенных для представления мантиссы.

Если

,

то старший значащий разряд мантиссы в системе счисления с основанием N отличен от нуля. Такое число называется нормализованным. Например, A2 =(100;0.101101)₂ -нормализованное число А₂= 1011.01 или А₁₀= 11.25, а то же самое число А₂ = (101;0.0101101) - число ненормализованное, так как старший разряд мантиссы равен нулю.

Диапазон представления нормализованных чисел с плавающей точкой определяется

где r и k - соответственно количество разрядов, используемых для представления порядка и мантиссы.

 

Двоичная арифметика.

Сложение двоичных чисел.

То есть, сложение выполняется поразрядно, начиная с младшей цифры. Если при сложении двух цифр получается СУММА больше девяти, то записывается цифра=СУММА- 10, а ЦЕЛАЯ ЧАСТЬ (СУММА /10), добавляется в старшему разряду. Так и с двоичным числом. Складываем поразрядно, начиная с младшей цифры. Если получается больше 1, то записывается 0 и 1 добавляется к старшему разряду. Сумму можно описать логической таблицей (см. таблицу 2)

 

Таблица 2:
+

 

 

Выполним пример: 10011 + 10001.

 

010011=19

010001=17

-------------

100100=36

 

Вычитание двух чисел.

Вычитание двух чисел заменяется сложением уменьшаемого и вычитаемого, представленного в дополнительном коде.