Интегралы с бесконечными пределами

Пусть функция f (x) определена и непрерывна на промежутке [ a;+¥) или (–¥; a ] или (–¥;+¥).

Определение 1. Если существует конечный предел , то этот предел называется несобственным интегралом от функции f (x) на бесконечном промежутке [ a;+¥) первого рода, обозначается и в этом случае считается, что интеграл сходится. Если не существует или равен ¥, то считается, что интеграл расходится.

Аналогично определяются интегралы:

Если пределы конечные, то соответствующий интеграл считают сходящимся, а если хотя бы один из пределов не существует или бесконечный, то интеграл считают расходящимся.

 

Интегралы от разрывных функций

1) Пусть функция y = f (x) определена и непрерывна на отрезке [ a; b ], а в точке x = b либо не определена, либо имеет разрыв. Такую точку x = b

будем называть особой точкой функции f (x).

Определение 2. Если существует конечный предел , то он называется несобственным интегралом второго рода от функции f (x) на отрезке [ a; b ] и обозначается символом . При этом говорят, что несобственный интеграл сходится и записывается равенство:

.

Если конечный предел не существует или он бесконечный, то говорят, что несобственный интеграл расходится.

2) Пусть функция y = f (x) определена и непрерывна на отрезке [ a; b ], а в точке x = a либо не определена, либо имеет разрыв. Такую точку x = a называют особой точкой функции f (x).

Определение 3. Если существует конечный предел , то он называется несобственным интегралом второго рода от функции f (x) на отрезке [ a; b ] и обозначается символом .

При этом говорят, что несобственный интеграл сходится и записывается равенство:

.

Если конечный предел не существует или бесконечен, то говорят, что несобственный интеграл расходится.

Замечание. Если функция f (x) имеет разрыв в некоторой точке x = c внутри отрезка [ a; b ], то по определению полагают:

при условии, что оба предела в правой части существуют, и e иd не зависят друг от друга. Этот интеграл также называют несобственным интегралом второго рода от функции f (x) на отрезке [ a; b ] и обозначается символом:

.

Сходимость или расходимость такого интеграла зависит от существования или не существования конечного предела.

 

Примеры с решениями

Пример 1. Исследовать на сходимость несобственный интеграл

Решение.

Так как получили конечное число, то интеграл сходится и равен .

Ответ: .

Пример 2. Исследовать на сходимость

Решение.

Так как получили конечное число, то сходится и равен –1.

Ответ:

Пример 3. Исследовать на сходимость

Решение.

Так как получили конечное число, то сходится и равен .

Ответ: .

Пример 4. Исследовать на сходимость

Решение.

Так как получили бесконечность, то расходится.

Ответ: расходится.

 

Примеры для самостоятельного решения

1. 7.

2. 8.

3. 9.

4. 10.

5. 11.

6. 12.

Ответы

1. ; 2. расходится; 3. ; 4. расходится; 5. расходится; 6. 6; 7. 1; 8. расходится; 9. ; 10. расходится; 11. 1; 12. .

 

Учебное издание

 

 

РУДАКОВСКАЯ Елена Георгиевна

АВЕРИНА Ольга Валентиновна

ВОРОНОВ Сергей Мирзоевич

СТАРШОВА Татьяна Николаевна

ХЛЫНОВА Татьяна Вячеславовна

РИГЕР Татьяна Викторовна