Интегрирование тригонометрических выражений

1) Интеграл вида

а) Если n – чётное число и m – чётное, то подынтегральное выражение преобразуют с помощью формул:

 

,

б) Если одно из чисел m или n – нечётное, то выполняют замену:

t = sin x, если n – нечётное;

t = cos x, если m – нечётное.

Эта замена приводит к интегрированию степенных интегралов или рациональных дробей.

в) Если оба числа m и n – нечётные, то интеграл берется как в случае замены:

t = sin x, так и t = cos x.

2) Интегралы вида:

; ;

где

Такие интегралы находят после предварительного применения формул:

3) Интеграл вида: ,

где f (u;v) – рациональная функция двух переменных.

Такие интегралы приводятся к интегралам от рациональной дроби с помощью замены:

;

;

; .

4) Интегралы вида: ,

где f (u;v) – рациональная функция двух переменных.

Такие интегралы находят сведением к интегралу от рациональной дроби с помощью замены:

;

5) Интегралы вида: ; , где .

Такие интегралы находят после предварительного применения формул:

;

или с помощью замены:

;

или .

Примеры с решениями

Пример 1. Вычислить интеграл

Решение.

Ответ:

Пример 2. Вычислить интеграл

Решение.

Ответ:

Пример 3. Вычислить интеграл

Решение.

Ответ:

 

Пример 4. Вычислить интеграл

Решение.

.

Ответ: .

Пример 5. Вычислить интеграл

Решение.

Ответ:

Пример 6. Вычислить интеграл

Решение.

Ответ:

Примеры для самостоятельного решения

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

 

 

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

Ответы

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. ; 9. ; 10. ; 11. ; 12. ; 13. ; 14. ; 15. ; 16. ; 17. ; 18. ; 19. ; 20. ; 21. ; 22. ; 23. ; 24. ; 25. ; 26. ; 27. ; 28. ; 29. ; 30. .

 

Интегрирование некоторых видов иррациональных выражений

1) Интеграл вида

находят с помощью преобразований и замены, аналогичных преобразованиям и замене для нахождения интеграла от простой рациональной дроби III типа (см. § 5).

2) К интегралам от функций, рационально зависимых от тригонометрических функций, сводятся интегралы:

– подстановкой,

– подстановкой

– подстановкой

3) Если подынтегральная функция содержит , то надо выполнить замену .

4) Интеграл вида можно найти подстановкой

Примеры с решениями

Пример 1. Вычислить интеграл:

Ответ:

Пример 2. Вычислить интеграл:

Ответ:

Пример 3. Вычислить интеграл:

Ответ:

Пример 4. Вычислить интеграл:

Ответ:

Пример 5. Вычислить интеграл:

Ответ:

Пример 6. Вычислить интеграл:

Ответ:

Примеры для самостоятельного решения

1. 11.

2. 12.

3. 13.

4. 14.

5. 15.

6. 16.

7. 17.

8. 18.

9. 19.

10. 20.

Ответы

Определённый интеграл

Пусть на отрезке [ a;b ] задана непрерывная неотрицательная функция y = f (x) (рисунок).

Определение 1. Сумма называется интегральной суммой функции f (x) на отрезке [ a;b ].

Определение 2. Предел интегральных сумм функции f (x) на отрезке [ a;b ] при n ® ¥ и max Dx_k ® 0 называется определённым интегралом функции f (x) на отрезке [ a;b ], если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения отрезка [ a;b ] на части, ни от выбора точек M_k (k = 1,…, n) на каждой из частей. Следовательно, можно записать:

.

При этом отрезок [ a;b ] называют отрезком интегрирования, «a»–нижним пределом интегрирования,«b»–верхним пределом.

Достаточное условие интегрируемости функции на отрезке [ a;b ]. Если функция f (x) на отрезке [ a;b ] непрерывна, то определённый интеграл существует, т.е. функция f (x) на отрезке [ a;b ] интегрируема.