Интегрирование посредством разложения подынтегральной функции на слагаемые 


Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Интегрирование посредством разложения подынтегральной функции на слагаемые



Метод интегрирования разложением функции на слагаемые базируется на линейных свойствах неопределенного интеграла (4 и 5). Если подынтегральная функция представляет алгебраическую сумму нескольких слагаемых, то согласно свойству (5) можно интегрировать каждое слагаемое отдельно. Это позволяет многие интегралы свести к сумме более простых интегралов.

 

Примеры с решениями

Пример 1. Найти интеграл

Решение.

Ответ:

Пример 2. Найти интеграл

Решение. Разлагаем подынтегральную функцию на слагаемые, деля числитель почленно на знаменатель.

Ответ:

Пример 3. Найти интеграл

Решение. Возводим в куб и интегрируем каждое слагаемое.

Ответ:

Пример 4. Найти интеграл

Решение. Разлагаем подынтегральную дробь на две слагаемых дроби, деля числитель почленно на знаменатель.

Ответ:

Пример 5. Найти интеграл

Решение. Выделим в неправильной дроби целую часть и правильную дробь.

Ответ:

Примеры для самостоятельного решения


 

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

 

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

 


Ответы

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

7. ; 8. ; 9. ; 10. ; 11. ; 12. ; 13. ; 14. ; 15. ; 16. ; 17. ; 18. ; 19. ; 20. .

 

Интегрирование подстановкой

Если не удаётся найти интеграл непосредственно, то можно выбрать функцию x = j(t), удовлетворяющую следующим условиям:

1) j(t) непрерывна при t Î (a;b), соответствующем интервалу x Î (a; b),

2) дифференцируемая при t Î (a;b);

3) имеет обратную функцию t = j–1(x),

чтобы , t = j–1(x) стал табличным или более простым. Иногда для упрощения интеграла можно сделать замену t = y(x).

Замечание. Выбор правильной подстановки в значительной степени зависит от искусства вычисляющего.

Примеры с решениями

Пример 1. Найти интеграл:

Решение. Используем формулу и выделим в знаменателе полный квадрат

 

Ответ: =

Пример 2. Найти интеграл

Решение.

.

Ответ: .

Пример 3. Найти интеграл

Решение.

.

Ответ: .

Пример 4. Найти интеграл

Решение.

Ответ:

Пример 5. Найти интеграл

Решение.

Ответ:

 

Примеры для самостоятельного решения


1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

 

13.

14.

15.

 

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.


Ответы

1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. ; 9. ; 10. ; 11. ; 12. ; 13. ; 14. ; 15. ; 16. ; 17. ; 18.

; 19. ;

20. ; 21. ; 22. ; 23. ; 24. .

 

Интегрирование по частям

Метод интегрирования по частям основан на следующей теореме.

Теорема 1. Пусть функции u = u (x) и v = v (x) дифференцируемы на некотором интервале (a; b). Пусть на интервале (a; b) функция v (xu '(x) имеет первообразную. Тогда на интервале (a; b) функция u (xv '(x) также имеет первообразную. При этом справедливо равенство:

.

Замечание 1. Определение дифференциала и свойства инвариантности его формы позволяют переписать формулу интегрирования по частям в более короткой форме:

.

Замечание 2. Для успешного вычисления интеграла необходимо разумно разбить подынтегральное выражение на два множителя u (x) и d v (x) так, чтобы интеграл оказался легко интегрируемым.

Большая часть интегралов, берущихся с помощью метода интегрирования по частям, может быть разбита на следующие три группы:

1)К первой группе относятся интегралы, у которых подынтегральная функция содержит в качестве множителя одну из следующих функций:

ln x; arcsin x; arccos x; arctg x; arcctg x; ln2 x; lnj(x); arcsin2 x;…

при условии, что оставшаяся часть подынтегральной функции представляет собой производную известной функции.

Тогда за функцию u (x) берут соответствующую из перечисленных.

2) Ко второй группе относятся интегралы вида:

, ,

, ,

где a, b, a, n, A – некоторые постоянные числа, A > 0, n Î N.

При этом в качестве u (x) следует брать (ax + b) n и интегрировать по частям n раз.

3) К третьей группе относятся интегралы вида:

, , ,

, , ,

где a, b, A – постоянные числа, A > 0, A ≠ 1.

Такие интегралы берутся двукратным интегрированием по частям при любом выборе u (x). Это приводит к линейному уравнению относительно предложенного интеграла, откуда его и находят.

 

Примеры с решениями

Пример 1. Найти интеграл

Решение.

Ответ:

Пример 2. Найти интеграл

Решение.

Ответ:

Пример 3. Найти интеграл

Решение.

Ответ:

Пример 4. Найти интеграл

Решение.

Ответ:

Пример 5. Найти интеграл

Решение.

Ответ:

Пример 6. Найти интеграл

Решение.

Далее необходимо решить уравнение:


Пусть , тогда уравнение запишется в виде:

.

Ответ: .

 

Пример 7. Найти интеграл

Решение.

 

 

.

Пусть , тогда получаем уравнение вида:

.

Ответ: .

Примеры для самостоятельного решения


1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.


Ответы

1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. ; 9. ; 10. ; 11. ; 12. ; 13. ; 14. ; 15. ; 16. ; 17. ; 18. ; 19. ; 20. ; 21. ; 22. ; 23. ; 24. ; 25. ; 26. ; 27. ; 28. ; 29. ;

30. .



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2017-02-05; просмотров: 1231; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.118.200.86 (0.074 с.)