Глава 2. Интегральное исчисление функции одной переменной

ГЛАВА 2. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Первообразная функция и неопределенный интеграл

Определения и свойства неопределенного интеграла

Определение 1. Функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на некотором промежутке, если в каждой точке этого промежутка функция F (x) дифференцируема и выполняется равенство F '(x) = f (x).

Если известна одна первообразная F (x) для функции f (x) на интервале (a; b), то любая другая первообразная может быть представлена в виде F (x) + С, где С – произвольная постоянная величина. Такая форма записи первообразных носит название общего вида первообразной.

Геометрически, в системе координат xoy, графики всех первообразных функций от данной функции f(x) представляют семейство кривых, зависящих от одного параметра с, которые получаются одна из другой путем параллельного сдвига вдоль оси oy (рис. 1).

Рис. 1. Семейство первообразных функций

 

Определение 2. Множество всех первообразных для данной функции f (x) на интервале (a; b) называется неопределённым интегралом функции f(x) на этом интервале и обозначается символом:

 

Теорема 1. Если функция f (x) непрерывна на промежутке (a; b), то она имеет на промежутке (a; b) первообразную и неопределённый интеграл.

Из определений первообразной F (x) и неопределённого интеграла от данной функции f (x) на некотором промежутке следуют свойства неопределённого интеграла:

1. .

2. .

3. , где С – произвольная постоянная.

4. , где k = const.

5.

 

Замечание. Все вышеперечисленные свойства верны при условии, что интегралы, фигурирующие в них, рассматриваются на одном и том же промежутке и существуют.

 

Таблица основных неопределённых интегралов

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

В формулах 1–16 С – произвольная постоянная.

Справедливость формул интегрирования, а также и каждый результат интегрирования можно проверить путем дифференцирования на том основании, что интегрирование есть действие обратное дифференцированию.

 

Примеры с решениями

Пример 1.

(таблица – формула 14)

Пример 2.

(таблица – формула 16)

Пример 3.

(формула: – ).

Ответ: .

 

Пример 4.

(формула: – ).

Ответ: .

 

Пример 5.

(формула: – ).

Ответ: .

Пример 6.

(формула: – ).

Ответ: .

Пример 7.

(формула: – ).

Ответ: .

 

Примеры для самостоятельного решения

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

 

21.

 

22.

 

23.

24.

25.

26.

 

27.

 

28.

 

29.

 

30.

 

31.

32.

33.

34.

 

35.

 

36.

 

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

 

47.

 

48.

 

49.

 

50.

Ответы

1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. ; 9. ; 10. ; 11. ; 12. ; 13. ; 14. ; 15. ; 16. ; 17. ; 18. ; 19. ; 20. ; 21. ; 22. ; 23. ; 24. ; 25. ; 26. ; 27. ; 28. ; 29. ; 30. ; 31. ; 32. ; 33. ; 34. ; 35. ; 36. ;

37. ; 38. ; 39. ;

40. ; 41. ; 42. ; 43. ; 44. ; 45. ; 46. ; 47. ; 48. ; 49. ; 50. .

 

 

Примеры с решениями

Пример 1. Найти интеграл

Решение.

Ответ:

Пример 2. Найти интеграл

Решение. Разлагаем подынтегральную функцию на слагаемые, деля числитель почленно на знаменатель.

Ответ:

Пример 3. Найти интеграл

Решение. Возводим в куб и интегрируем каждое слагаемое.

Ответ:

Пример 4. Найти интеграл

Решение. Разлагаем подынтегральную дробь на две слагаемых дроби, деля числитель почленно на знаменатель.

Ответ:

Пример 5. Найти интеграл

Решение. Выделим в неправильной дроби целую часть и правильную дробь.

Ответ:

Примеры для самостоятельного решения

 

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

 

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

 

Ответы

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

7. ; 8. ; 9. ; 10. ; 11. ; 12. ; 13. ; 14. ; 15. ; 16. ; 17. ; 18. ; 19. ; 20. .

 

Интегрирование подстановкой

Если не удаётся найти интеграл непосредственно, то можно выбрать функцию x = j(t), удовлетворяющую следующим условиям:

1) j(t) непрерывна при t Î (a;b), соответствующем интервалу x Î (a; b),

2) дифференцируемая при t Î (a;b);

3) имеет обратную функцию t = j^–1(x),

чтобы , t = j^–1(x) стал табличным или более простым. Иногда для упрощения интеграла можно сделать замену t = y(x).

Замечание. Выбор правильной подстановки в значительной степени зависит от искусства вычисляющего.

Примеры с решениями

Пример 1. Найти интеграл:

Решение. Используем формулу и выделим в знаменателе полный квадрат

 

Ответ: =

Пример 2. Найти интеграл

Решение.

.

Ответ: .

Пример 3. Найти интеграл

Решение.

.

Ответ: .

Пример 4. Найти интеграл

Решение.

Ответ:

Пример 5. Найти интеграл

Решение.

Ответ:

 

Примеры для самостоятельного решения

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

 

13.

14.

15.

 

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

Ответы

1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. ; 9. ; 10. ; 11. ; 12. ; 13. ; 14. ; 15. ; 16. ; 17. ; 18.

; 19. ;

20. ; 21. ; 22. ; 23. ; 24. .

 

Интегрирование по частям

Метод интегрирования по частям основан на следующей теореме.

Теорема 1. Пусть функции u = u (x) и v = v (x) дифференцируемы на некотором интервале (a; b). Пусть на интервале (a; b) функция v (x)× u '(x) имеет первообразную. Тогда на интервале (a; b) функция u (x)× v '(x) также имеет первообразную. При этом справедливо равенство:

.

Замечание 1. Определение дифференциала и свойства инвариантности его формы позволяют переписать формулу интегрирования по частям в более короткой форме:

.

Замечание 2. Для успешного вычисления интеграла необходимо разумно разбить подынтегральное выражение на два множителя u (x) и d v (x) так, чтобы интеграл оказался легко интегрируемым.

Большая часть интегралов, берущихся с помощью метода интегрирования по частям, может быть разбита на следующие три группы:

1)К первой группе относятся интегралы, у которых подынтегральная функция содержит в качестве множителя одну из следующих функций:

ln x; arcsin x; arccos x; arctg x; arcctg x; ln² x; lnj(x); arcsin² x;…

при условии, что оставшаяся часть подынтегральной функции представляет собой производную известной функции.

Тогда за функцию u (x) берут соответствующую из перечисленных.

2) Ко второй группе относятся интегралы вида:

, ,

, ,

где a, b, a, n, A – некоторые постоянные числа, A > 0, n Î N.

При этом в качестве u (x) следует брать (ax + b) ⁿ и интегрировать по частям n раз.

3) К третьей группе относятся интегралы вида:

, , ,

, , ,

где a, b, A – постоянные числа, A > 0, A ≠ 1.

Такие интегралы берутся двукратным интегрированием по частям при любом выборе u (x). Это приводит к линейному уравнению относительно предложенного интеграла, откуда его и находят.

 

Примеры с решениями

Пример 1. Найти интеграл

Решение.

Ответ:

Пример 2. Найти интеграл

Решение.

Ответ:

Пример 3. Найти интеграл

Решение.

Ответ:

Пример 4. Найти интеграл

Решение.

Ответ:

Пример 5. Найти интеграл

Решение.

Ответ:

Пример 6. Найти интеграл

Решение.

Далее необходимо решить уравнение:

Пусть , тогда уравнение запишется в виде:

.

Ответ: .

 

Пример 7. Найти интеграл

Решение.

 

 

.

Пусть , тогда получаем уравнение вида:

.

Ответ: .

Примеры для самостоятельного решения

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

Ответы

1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. ; 9. ; 10. ; 11. ; 12. ; 13. ; 14. ; 15. ; 16. ; 17. ; 18. ; 19. ; 20. ; 21. ; 22. ; 23. ; 24. ; 25. ; 26. ; 27. ; 28. ; 29. ;

30. .

Примеры с решениями

Пример 1. Найти интеграл

Решение.

1) Дробь – неправильная рациональная дробь. Выделим её целую часть:

Поэтому можно записать:

.

 

2) Полученную правильную дробь разложим на сумму простых дробей:

 

Отсюда следует: .

Значит, подынтегральную рациональную дробь можем представить в виде:

.

3) Найдём интеграл:

Ответ:

 

Пример 2. Найти интеграл

Решение.

1) Разложим подынтегральную правильную дробь на сумму простых дробей

Отсюда следует:

Найдем интеграл:

Последний интеграл находим по правилу, указанному в интегрировании дроби третьего типа. Выделяем полный квадрат в знаменателе

и выполняем замену .

.

Подставляя найденный интеграл I в предыдущее выражение искомого интеграла, найдём

.

 

Примеры для самостоятельного решения

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

 

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

 

Ответы

1. ; 2. ; 3. ; 4.

; 5. ; 6. ; 7. 8. ; 9. ; 10. ; 11. ;

12. ;

13. ; 14. ; 15. ; 16. ; 17. ; 18. ; 19. ; 20. .

Примеры с решениями

Пример 1. Вычислить интеграл

Решение.

Ответ:

Пример 2. Вычислить интеграл

Решение.

Ответ:

Пример 3. Вычислить интеграл

Решение.

Ответ:

 

Пример 4. Вычислить интеграл

Решение.

.

Ответ: .

Пример 5. Вычислить интеграл

Решение.

Ответ:

Пример 6. Вычислить интеграл

Решение.

Ответ:

Примеры для самостоятельного решения

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

 

 

16.

17.

18.

19.