Сложение и вычитание синусоидальных величин

.

Для сложения двух синусоидальных величин с помощью синусоид необходимо сложить их ординаты в каждый момент времени.

Для того, чтобы сложить две величины с помощью векторов, необходимо к концу первого вектора добавить второй, не изменяя его величины и направления. Соединив начало первого вектора с концом второго, получим суммарный вектор.

Рисунок 11. Векторная диаграмма напряжений для вариантаX_L=X_C,уголφ=0, U_L=U_C

Этот режим называется резонанс напряжений (U_L=U_C). Напряжения на элементах U_Lи U_C могут значительно превышать входное напряжение.

На векторной диаграмме рис. 9 или рис. 10 можно выделить треугольник, который принято называть треугольник ом напряжения. В этом треугольнике:

где ‑ активная составляющая напряжения;

— реактивная составляющая напряжения.

Очевидно:

Поделив модули вектора треугольника напряжений на ток, получим подобный ему треугольник сопротивлений рис. 12.,

Рисунок 12. Треугольник сопротивлений

где:

– активное сопротивление цепи;

- реактивное сопротивление цепи;

- полное сопротивление цепи.

Для варианта X_L=X_C, угол φ=0, U_L=U_C. Ток совпадает с напряжением. Цепь имеет активный характер. Полное сопротивление Z=R наименьшее из всех возможных значений X_L и X_C. Векторная диаграмма напряжений имеет вид (рис.11).

Резонанс напряжений - явление возрастания напряжений на реактивных элементах, превышающих напряжение на зажимах цепи при максимальном токе в цепи, которое совпадает по фазе с входным напряжением.

Условия возникновения резонанса:

1. Последовательное соединение L и C с генератором переменного тока;
2. Частота генератора должна быть равна частоте собственных колебаний контура, при этом характеристические сопротивления равны;
3. Сопротивление должно быть меньше, чем 2ρ, так как только в этом случае в цепи возникнут свободные колебания, поддерживаемые внешним источником.

Полное сопротивление цепи:

_c)² = R _ом.,

так как равны характеристические сопротивления. Следовательно, при резонансе цепь носит чисто активный характер, значит, входное напряжение, и ток в момент резонанса совпадают по фазе. Ток принимает максимальное значение.

При максимальном значении тока напряжения на участках L и C будут большими и равными между собой.

Напряжение на зажимах цепи:

.

Рассмотрим следующие соотношения:

, следовательно

.

Q – добротность контура –при резонансе напряжения показывает, во сколько раз напряжение на реактивных элементах больше входного напряжения генератора, питающего цепь. При резонансе коэффициент передачи последовательного колебательного контура

резонанса.

Пример:

Если добротность равна 100, напряжение на зажимах 1В, то

Uc=Ul=QU =100В,

то есть напряжение на зажимах меньше напряжений на емкости и индуктивности. Это явление называется резонансом напряжений.

При резонансе, коэффициент передачи равен добротности.

Построим векторную диаграмму напряжения.

Напряжение на емкости равно напряжению на индуктивности, следовательно напряжение на сопротивлении равно напряжению на зажимах и совпадает по фазе с током.

 

 

В общем случае, когда цепь содержит все три вида сопротивлений (рис. 4,а), сначала определяется реактивное сопротивление этой цепи, а затем уже полное сопротивление цепи.

Рисунок 4. Полное сопротивление цепи содержащей R, L и C. а) - схема цепи; б) - треугольник сопротивлений.

Реактивное сопротивление этой цепи состоит из индуктивного и емкостного сопротивлений. Так как эти два вида реактивного сопротивления противоположны друг другу по своему характеру, то общее реактивное сопротивление цепи будет равно их разности, т. е.

(4)

 

 

Общее реактивное сопротивление цепи может иметь индуктивный или емкостный характер, в зависимости от того, какое из этих двух сопротивлений (X_L или X_C преобладает).

После того как мы по формуле (4) определили общее реактивное сопротивление цепи, определение полного сопротивления не представит затруднений. Полное сопротивление будет равно корню квадратному из суммы квадратов активного и реактивного сопротивлений, т. е.

(5)

 

 

Или

(6)

 

Способ построения треугольника сопротивлений для этого случая изображен на рис. 4 б.

Полное сопротивление цепи при параллельном соединении активного и реактивного сопротивления

 

 

2.3. Последовательное соединение элементов с параметрами R, L, С

Схема неразветвленной цепи синусоидального тока представлена на рис. 7. Энергетическое состояние цепи описывается для мгновенных значений уравнением:

, ,

Рисунок 7. Схема последовательного соединения элементов цепи

Если то напряжение на входных зажимах будет также изменяться по синусоидальному закону в силу линейности рассматриваемой цепи. После несложных преобразований дифферен­циальное уравнение цепи можно привести к виду:

Это уравнение позволяет построить временную диаграмму, которая полностью отражает амплитудные и фазовые соотношения в последо­вательной цепи. Для практических расчетов применяют векторные диаграммы, которые делают расчет цепи более наглядным и простым.

Под векторной диаграммой цепи понимают совокупность векторов ЭДС, напряжений и токов электрической цепи, построенных с соблюдением их взаимной ориентации по фазе. Так как чаще при анализе и расчете электрической цепи пользуются действующими значениями токов и напряжений, векторную диаграмму, как графическую интерпретацию расчета цепи, строят также для действующих значений напряжений и токов. При построении векторной диаграммы в качестве исходного вектора удобнее выбрать вектор величин, одинаковой для нескольких элементов цепи. В последовательной цепи (рис. 7) по всем участкам проходит один и тот же ток, поэтому за исходный вектор выбирается вектор тока и относительно его строятся под углом сдвига векторы напряжений на всех участках.

На топографической векторной диаграмме каждая точка соответствует определенной точке электрической цепи. Чтобы осуществить это соответствие точек диаграммы и цепи, построение векторов топографической диаграммы ведут в той же последовательности, в какой обходят электрическую цепь. На рис. 8 показана топографическая диаграмма для цепи рис. 7.

Обход цепи начат от точки «d». При переходе к точке «с» потенциал увеличивается на величину падения напряжения на емкости Вектор этого падения напряжения отстает от вектора тока I на угол 90°. Потенциал точки «в» выше потенциала точки «с» на величину падения напряжения на втором участке, вектор которого опережает по фазе вектор тока на угол 90°. Потенциал точки «а» выше потенциала точки «в» на величину падения напряжения вектор, которого совпадает с вектором тока. Вектор результирующего напряжения расположен между точками «а» и «d».

Рисунок 8. Векторная диаграмма токов и напряжений при последовательном соединении элементов цепи

http://life-prog.ru/2_95543_elektricheskie-tsepi-s-aktivnim-soprotivleniem-induktivnostyu-i-emkostyu.html

 

 

5.3.1 Рекомендации для студента

В неразветвленной цепи протекает ток;

Для неразветвленной цепи переменного тока с активным, емкостным и индуктивным сопротивлениями справедливы следующие соотношения:

· - напряжение на активном сопротивлении;

· - напряжение на индуктивности;

· - напряжение на емкости;

· - общее напряжение в цепи, знак «+» для цепи, в которой X_c меньше X_L, знак «-«для цепи, в которой X_c больше X_L;

· - действующее напряжение в цепи;

· - закон Ома;

· - полное (кажущееся) сопротивление;

· ;

· ;

· ;

· - полная мощность цепи;

· - активная мощность цепи;

· - реактивная мощность в цепи.