Уравнение Д. Бернулли для потока сжимаемой жидкости. Дозвуковая и сверхзвуковая скорости. Число Маха.

При составлении уравнений движения сжимаемой жидкости следует учитывать, что не только скорости, но и плотности, температуры и давления отдельных струек в пределах живых сечений неодинаковы, что значительно усложняет исследование. Поэтому поток конечных размеров рассматривают как одну струйку. Заменив в уравнении для струйки скорость струйки u на среднюю скорость потока uср, можно сразу написать уравнение Бернулли сжимаемой невязкой жидкости:   . (2.60) Теперь составим уравнение Бернулли для вязкой сжимаемой жидкости, для чего запишем дифференциальное уравнение движения интегрирование которого для сжимаемой жидкости зависит от конкретных условий движения и закона изменения состояния газа. При адиабатическом течении, где отсутствует обмен тепла со средой вне границ потока, можно получить уравнение движения в конечном виде, для чего необходимо применить понятие энтальпии     (2.61) где q – количество тепла, передаваемое 1 кг газа. Подставив уравнение энтальпии в уравнение Бернулли, получим При адиабатическом течении энергия, потерянная на трение, переходит во внутреннее тепло (dEn = dq), тогда Проинтегрировав, получим   (2.62) Мы получили основное уравнение адиабатического течения газа. Вывод: Сумма удельной кинетической энергии и энтальпии остается неизменной в процессе движения газа. Можно доказать, что для воздуха сжимаемостью можно пренебречь, если скорость течения не превышает 70 м/с, для природного газа – 90 м/с. В системах вентиляции и газопроводов низкого давления скорости течения не превышают указанных пределов, поэтому расчет в этих системах ведется как для несжимаемой жидкости. В этих системах расчет можно вести по уравнению Бернулли в форме давлений . Пример применения уравнения Бернулли для расчета коротких трубопроводов Вода перетекает из резервуара А в резервуар В по трубопроводу с диаметрами d1 = 100 мм и d2 = 60 мм и длиной l1 = 15 м и l2 = 10 м. Необходимо определить расход воды при разности уровней в бассейнах H = 300см. Трубопровод стальной сварной, умеренно заржавевший. Рис. 2.42. К примеру расчета коротких трубопроводов Примечание. Потерями напора пренебречь. Ответ:Искомый расход в трубопроводе Q= 0,45 м^3/с.

Для идеального газа уравнения состояния выражается уравнением Менделеева-Клапейрона

,

где p (МПа), r (кг), T (К) – давление, плотность и абсолютная температура газа;

R = 29,27 (м/К) – газовая постоянная.

В общем случае скорость звука в газе a (м/с) выражается зависимостью

.

При адиабатическом процессе уравнение состояния для идеального газа принимает вид

,

а скорость звука

.

Отношение скорости потока сжимаемой жидкости w к скорости звука в ней a называется числом Маха

M .

При M < 1 - поток называется дозвуковым,

при M > 1 - сверхзвуковым,

при M = 1 - критическим.

Если M<<1 сжимаемость газа при изменении его скорости незначительна, его с достаточной точностью можно считать несжимаемым.

В дозвуковом потоке с увеличением площади его живого сечения скорость течения w уменьшается, в сверхзвуковом, наоборот, увеличивается.

Если число М < 1 (w < a), то в дозвуковом потоке, как и в потоке несжимаемой жидкости, скорость w обратно пропорциональна площади живого сечения w.

Если же М > 1, то есть когда w > a, то в сверхзвуковом потоке сжимаемой жидкости скорость w прямо пропорциональна площади живого сечения w. То есть следует вывод, прямо противоположный выводу, широко известному из гидродинамики несжимаемой жидкости.

Подобное явление в сжимаемой жидкости возможно потому, что увеличение скорости в нем вызывает не только уменьшение давления (как и в несжимаемой жидкости), но и уменьшение плотности, то есть - её расширение. Следовательно, расширение струи газа в сверхзвуковом потоке ведет к расширению самого газа в термодинамическом смысле, то есть к уменьшению давления, плотности, температуры и к увеличению скорости.

Рассмотрим, в каких условиях возможен переход дозвукового потока в сверхзвуковой и, наоборот, сверхзвукового в дозвуковой.

Пусть имеется поток, в котором w = a, то есть М = 1,0.

Установим, в каких условиях может наступать равенство w = a (М = 1,0) и переход потока из одного вида в другой.

 

 

Рассмотрим две возможные конфигурации потока (струи): расширяющуюся и сужающуюся к середине (рис. 9.1).

В первом случае при дозвуковой скорости потока в начале струи скорость в ней уменьшается в направлении течения и в сечении wmax имеет минимальное значение.

При сверхзвуковой скорости потока скорость увеличивается в направлении течения и в сечении wmax имеет наибольшее значение. Следовательно, в обоих случаях скорость течения в сечении wmax может быть равной скорости звука.

Во втором случае при дозвуковой скорости потока в начале струи скорость в струе по мере уменьшения площади сечения увеличивается и в сечении wmin может стать звуковой, а затем и сверхзвуковой.

При сверхзвуковой скорости потока в начале струи скорость струи по мере уменьшения сечения также уменьшается и в сечении wmin может стать звуковой, а затем будет уменьшаться в расширяющейся части струи уже как дозвуковая скорость.

Следовательно, скорость струи может перейти значение скорости звука только в наиболее узком сечении струи. Это сечение называют критическим, а скорость звука, равную скорости течения потока, называют, как указывалось выше, критической скоростью.

Рассмотренную выше особенность струй (потоков) сжимаемых жидкостей (газов) учитывают при проектировании специальных насадок (сопел), например, в ракетостроении, которые должны обеспечить истечение сжимаемых жидкостей со сверхзвуковой скоростью из ёмкостей, где они находятся под давлением.

В честь шведского инженера Лаваля, предложившего для получения сверхзвуковых потоков плавно сужающуюся и затем плавно расширяющуюся насадку (сопло), эту насадку называют сопло Лаваля (рис. 9.1).

Сжимаемость жидкости обуславливает важное явление - образование в ней волн уплотнения и разрежения.

Как было установлено ранее, в несжимаемой жидкости возмущения, вызванные повышением или понижением давления, распространяются мгновенно. И, следовательно, в движение вовлекаются все частицы жидкости той или иной области (пространства), где возникает возмущение.

Повышение давления в какой-либо точке (области) сжимаемой жидкости вызывает в первый момент уплотнение частиц, близлежащих к источнику возмущения; в следующий момент уплотненные частицы расширяются, вызывая уплотнения других, соседних, частиц и т.д. Таким образом, повышение давления в некоторой точке (области) сжимаемой жидкости вызывает образование в ней волны уплотнения, распространяющейся с некоторой скоростью. Переднюю границу волны уплотнения называют фронтом волны.

Характер уплотнения, в зависимости от интенсивности возмущения может быть плавным или скачкообразным. Однако как бы велико ни было возмущение, вызывавшее волну уплотнения, уплотнение сжимаемой среды происходит не мгновенно, а возрастает в течении некоторого времени. Поэтому в первый момент волна уплотнения характеризуется постепенным нарастанием плотности от фронта к тылу. Причем вследствие разной степени уплотнения частиц скорости распространения отдельных точен волны будут разными. Это приводит к тому,что более сильные уплотнения, распространяющиеся с более высокими скоростями, будут догонять передние точки волны. Поэтому через некоторое время после возникновения уплотнения наибольшее уплотнение оказывается у фронта волны. Происходит скачкообразное изменение плотности (а также давления, скорости и температуры) на фронте волны и волна уплотнения превращается в ударную волну, на фронте которой имеет место значительное выделение тепла, и таким образом поисходит рост энтропии. Это согласуется со вторым законом термодинамики, согласно которому энтропия замкнутой системы может только возрастать.

Аналогично волне уплотнения возникает в сжимаемой жидкости и волна разрежения. Так, понижение давления в некоторой точке жидкости вызывает расширение частиц, близлежащих к источнику возмещения,и уменьшение их давления на следующие частицы, которые вследствие этого тоже расширяются и т.д. Однако, в отличие от волны уплотнения во фронте волны разрежения не бывает скочкообразного изменения плотности - скачков разрежения. Образование скачков разрежения вело бы к уменьшению энтропии, а это противоречило бы второму закону термодинамики.

Более подробное изучение ударных волн в воздухе и в воде производится на соответствующих курсах применительно к решению конкретных инженерных задач.

Параметры на фронте воздушной ударной волны с избыточным давлением Dp (МПа) вычисляются по формулам:

- скорость распространения фронта ударной волны

м/с;

- скорость движения газа

м/с;

- плотность воздуха

кг/м3;

- температура воздуха

K;

- скорость звука в воздухе

м/с.

При движении газа по трубе (по шлангу) диаметром d (м), длиной L (м), когда абсолютное давление в начале трубопровода равно p1 (МПа), а в конце – p2 (МПа), массовый расход воздуха определяется по формуле:

кг/с.

Плотность r1 находится из уравнения состояния при заданной температуре наружного воздуха T K:

кг/м3.

Коэфициент трения l определяется по эмпирическим формулам:

- для металлических труб

;

- для резиновых шлангов

Требуемый диаметр трубы (шланга) для обеспечения требуемого массового расхода M и давления в конце трубопровода p2 вычисляется по формулам:

- металлическая труба

м;

- резиновый шланг

м.

Пример 1.

Определить массовый расход M и объемный расход Q¢ (при атмосферном давлении p¢ = 0,1014 МПа) воздуха по металлической трубе длиной L = 40 м и диаметром d = 25 мм при следующих исходных данных:

- абсолютное давление в начале трубы p1 = 0,8 МПа;

- абсолютное давление в конце трубы p2 = 0,4 МПа;

- температура воздуха T = 290 К.

Решение

Массовый расход воздуха

кг/с.

Коэффициент трения для металлических труб

Плотность воздуха при давлении p1 = 0,8 МПа и температуре T = 290 К

кг/м3.

Объемный расход воздуха при атмосферном давлении

где плотность воздуха при атмосферном давлении

Число́ Ма́ха () — в механике сплошных сред — один из критериев подобия в механике жидкости и газа. Представляет собой отношение скорости течения в данной точке газового потока к местной скорости распространения звука в движущейся среде — назван по имени австрийского учёного Эрнста Маха (нем. E. Mach).