Аналитические и графические методи расчета

Задача 9.1.

Катушка со стальным сердечником подключена к синусоидальныму наприжению,действующее значение которого U=380 B, частота f=50Гц.Число витков катушки W=600.

Пренебрегая потоком рассенния и активными потерями в обмотке и в стальным сердечнике,написать уравнение тока в катушке,если связь между током в катушке и магнитным патоком задана уравнением

i=70Ф+150-10 ⁶-Ф³,где ток выражен в амперах,а поток в веберах.

 

Так как приложенное напряжение синусоидиально,а потоком рассеяния и активным сопротивлением обмотки пренебрегают,то из закона электромагнитной индукции следует,что поток в сердечнике также синусоидиален (начальная фаза можеть быть принята нулевой).Амплитуда магнитного потока находится из уравнения

U=4.44 f_wФ,

Ток в обмотке катушки в соответсвии с заданным уравнением

I=70*2.85* sinwt+150* *(2.85- )sin¹wt=199.5* sinwt+3472,3* sin¹wt

Известно,что sin³wt = -

Следовательно,

I=199.5* sin¹wt+3472,3* ()=2.8 sinwt-0,87 sin3wt

Действющее значение тока эквивалентной синусоиды

Если заданным является аналитическое выражение кривой нахагничивания H=f(B), то для получения зависимости i=f(Ф) нужно воспользоваться соотношениями H и B= где l и S средняя длина магнитной линии и сечение сердечника

 

Задача 9.2

Цепь состоит из последовательно соединенных линейного и нелинейного резисторов источника ЭДС e=E_msinωt, E_m=120B,ω=314 c (ресунок 9.1.) Сопротивление линейного резистора R=40 Ом,вольт амперная характеристика линейного резистора НЭ аппроксимирована зависимостью u(i)=ai+b i³ где a=50Ом b=40B/ A³. Определитель первую гармонику тока в цепи методом гармонического баланса

 

Рисунок 9.1

В этом методе искомая величина представляются в виде периодическойфункции с неизвестными коэффициентами и подставляется в уравнение цепи.

 

Неизвестные определяются приравниванием коффициентов при одинаковых гармонических составляющих в левой и правой частях уравнения.

Представим искомый ток цепи в виде периодической функции

где φ =V-V_{s ,}при -0v₁=- φ Требуется определить амплитуду тока и сдвиг по фазе φ тока относительно э.д.с.

Для удобства последующих преоброзоваий обозначим ωt-φ =θ

тогда e= E_msin(θ+φ) i-I_msinθ

Уравнение второго закона Кирхгофа для схемы рисунка 9.1

R_i+u=R_i+ai+b i³ =(R+a) i+b i³ =e

Подставим искомое решение для тока в уравнение цепи и выделим синусную и косинусную составвляющие в выражении ЭДС.

 

(R+a)I_nSinθ+bf³_mSin³θ=(R+a) Sinθ+b l³_m = I_m+ bl³ _m]sinθ- =E_msin (θ+φ)=E_msin φ cos β

 

Приравняв коэффициенты при одноименных тригонометрических функциях в левой и правой частиях равенства получим:

(R+a)I_n+b )=E_m cos φ

0= E_msin φ

Так как sin φ=0, то cos φ=1 В этом случае получается уравнение (40-50) I_wt+0.7S*40 -120

+3 -4=0

 

Как известно,кубическое уравнение типа х³+px+2q=0 имеет один действительный корень,(формула Кардана)

I_m

Таким образом,первая гармоника тока i=1*sinωt A

Задача 9.3

Резистор с напряжением R=500 Ом подключен через выпрямительный диод D к источнику синусоидиального напряжения (ресунок 9.2),у которого U=155.5 B₂ f=50Гц.Диод является нелинейным резистивным элементом,вольт-амперная характеристика его приведена на ресунке 9,3 а(прямая ветвь I_mp(u_sp) обратная ветвь t(u))

Построит график тока l(t) в цепи,определить среднее l₀ и действующе l значение тока;найти активную P и полную S мощности источника и коэффициент мощности cos φ.

Рисунок 9.2

 

При расчете диод может быть представлен резистывным элементом,сопротивление которого различно при прямом и обратном направлении тока.эти сопротивления можно рассчитать по вольт-амперной характеристике диода.R_пр==100/2=50Ом R_обр== 2000 Ом

 

На ресунке 9.3,а построена вольт-амперная характеристика резистора R и вольт-амперная характеристика всей цепи i(u) Здесь же построен график исходного напяжения U=sin ωt=155.5* а на ресунке 9.3,6 график тока i(ωt)

 

Рисунок 9.3

 

 

Порядок построения кривой тока наглядно виден из ресунка 9.3 Полученный график тока i несимметричен относительно оси абцисс U_map>I_wобр поэтому ток имеет не равное нулю среднее значение l

Амплитуды синусоид тока можно рассчитать аналитически;

 

I_пр== I_mобр==

Положительная полуволна тока (рисунок 9.3.6) с амплитудой I создает среднее за период значение

Аналогично среднее значение отрицательной полуволны тока (по модулю)

Среднее значение тока за период

Действующее значение тока

Рассмотрим интеграл

 

Аналогично

Таким образом,действующее значение тока

 

Активная мощность источника

(ωx)* = = ( + (0.4+0.09)=26.95Вт

Полная мощность источника

S=UI-155.5*0.205=31.87BA

Коэффициент мощности

Оказалось,что в цепи,где реактивная мощность равна нулю, источник питания используется плохо.Это обесняются тем,что в отрицательный полупериод ток в цепи весьма мал,хотя напряжение на зажимах такое же как и в положительный полупериод.Так как формы кривых тока и напряжения на зажимах цепи отличаются друг от друга,то мощность искажения не нулю:

9.2.Расчет по действующим значениям токов и напряжений

Задача 9.4

Определитель сопротивления последовательной схемы замешения катушки с ферромагнитным сердечником с числом витков w=200 по следующим опытным данным:

При включени катушки в цепь постоянного тока вольтметр показал 3,5 В,а амперметр-2 А;

При включении катушки в цепь синусоидиального тока частота

Потокам рассеяния пренебречь.Определить параметры параллельны эквивалентной схемы катушки и найти токи в ее ветвях.

Построить вектурную диаграмму катушки с ферромагнитным сердечником.

По результатам опыта на переменном токе:

мощность активных потер в сердечнике

P_c=P-R I²=70-1,75*2²=63Вт;

активное сопротивление потерь сердечнике

полное сопротивление катушки:

нелинейное индуктивное сопротвление идиализированной (без потерь) катушки

Последовательная схема замещения катушкиизображени на рисунке 9,4

 

Рисунок 9.4

Параметры эквивалентной параллельной схемы:активная проводимость потерь в сердечнике

Рисунок 9.5

Эквивалентная параллельная схема катушки представлена рисунке 9,5

 

 

Определеним напряжения на сопротивлениях R_C и X_L в сехеме ресунка 9,4:

U_R-IR_C-2*15.7=31.4 B U_L=IX_L=2*57,4=114,8 B

Напряжение U_Ф, которое равно по величине и противоположно по направлению ЭДС E,равно

Ток потер в сердечнике для схемы рисунка 9.5

I_n= U_Ф G_C =119*4,43*10^-3=0,53 A

Намагничивающи ток

Вектор потока Ф отстает по фазе от вектора U_Ф на уголь 90⁰ ,а его величина определяется по формуле

Рассмотрим построение векторной диаграммы.

Откладываем по действительной оси вектор потока Ф_m,принимая начальную фазу за ноль (рисунок 9,6),а затем вектор напряжения U_Ф,опрежающий поток на уголь 90⁰.Ток I_Ф отстает от напряжения U_Ф на 90⁰ , а ток I_n совпадает с ним по фазе: ток I=I_Ф+I_n.Из конца вектора U_Ф откладываем вектор напряжения IR₆ а затем вектор напряжения U=IR+U_ф

 

Рисунок 9.6

 

 

 

 

Уголь сдвига фвз между вектором напряжения U на катушке и в вектором тока i эквивалентной синусоиды определяются по формуле

φ=73⁰

Уголь потер δ определяется как

δ=15.3⁰

Мгновенное значение тока эквивалентной синусоиды

Задача 9,5

Индуктивная катушка с числом витков w=500 и магнитопроводом из электротехнической стали включена в сеть с напряжением U=220 (частота f=50Гц).Ток катушки I=10 A,активная мощность P=1500Вт.Сопротивление обмотки постоянному току R₆=10 ом,Амплитуда потока в магнитопроводе Ф_m- 10^-3Вб

Составить параллельную схему замещениях катушки и построить векторную диаграммму.

 

Расчет проводим по действующим значениям токов и напряжений.

Приняв Ф_m-Ф_m,вычислим напряжение U_Ф которое компенсирует ЭДС самоиндукции,созданную потоком в магнитопроводе:

U_Ф=j4,44fw Ф_m=j4.44*50*500*10^-3=j 111 B

Определим активные потери в сердечнике катушки

P_c-P-R₆l²=1500-10*10²=500вт,

Активная проводимость потерь в сердечнике

Намагничивающий ток

Индуктивная проводимость идиализированнной целинейной индуктивной катушки (проводимость вотви немагничивания)

Схема замещения катушки представлена на рисунке 9,7

 

Рисунок 9.7

 

 

Преобразуем параллельные ветви потерь в сердечнике и намагничения в эквивалентное последовательное соединение

 

 

Комплексное сопротивление катушки; Z= R+jX_s+R_c+jX_L

Следовательно,22² =(10+5)²+(X₅+10)² откуда индуктивное сопротивление рассеяния X_s=6.2 Ом

 

 

Векторная диаграмма представлена на рисунке 9,8

Рисунок 9.8

 

Построение векторной диаграммы начнем с вектора магнитного потока Ф_m= Ф_m; он индуцирует в обмотке ЭДС Е,отстающию по фазе на 90⁰

Этот фазовый сдвиг обяесняется тем,что ЭДС индукции Напряжение U_Ф наводимую ЭДС,оно равно ей по величине и противоположного по фазе.Активная составляющая тока I_n совпадает по фазе с напряжением U_Ф,а реактивная I_Ф отстает на угол 90⁰,т.е.совпадает по фазе с магнитным потоком.Ток в обмотке I=I_n+ I_Ф,а напряжение на зажимах обмотки U= U_Ф+I(R_б+JX_s)

Задача 9,6

Стальной сердечник (сталь марки Э21) катушки имеет сечение S=22 см²,длина средней линии напряженности магнитного поля в стали l=60 см,длина воздушного зазора δ=0,06 см.Число витков катушки w=380

Определить ток в обметке,если катушка подключена к переменному напряжению U=220В f=50Гц.Масса сердечника G=10.3кг.Активное сопротивление обмотки и рассения не учитывать.

Амплитудное значение магнитной индукции в сердечнике получим из формулы

U=E4,44fw Ф_c откуда

По кривой намагничивания для стали Э21 находим напряженность магнитного поля H=840^a/_м Для воздушного зазора

H₈=0.8*10⁶B₈=0.8*10⁶*1.2=0.96*10^{6 A}/_M

По закону полного тока максимальная м.д.с.

I_фw=Hl+H_δδ-840*0.6+0.96*10⁶*6*10⁴=1080 A

Намагничивающий ток

Кривая намагничивания для электротехнической стали имеет практически прямолинейый участок при магнитных индукциях по 1 Тл. Так как кривая 1Тесла отличается по форме от синусоиды,то действующее значение намагничивающего тока находим из соотношения

 

Где Е-коэффициент,залисящий от величины индукции и сорта стали и обычно лежащий в пределах 1,1-1,5 при индукциях B_m=1.2 Тл удельные активные потери р_с=3.6^Вт/_кг

Для различных марок стали сущесвуют графики (таблицы)зависимости удельных активных потерь при частоте f=50 гц от максимального значения магнитной индукции.Для стали Э21 при В_m=1.2 Тл удельные активные потери р_с=3.6^Вт/_кг

Следовательно,мощность активных потерь в сердечнике

P_c=p_cG-3.6*10.3=37.1 вт

Ток потерь

Ток в обмотке катушки

 

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Бессонов.Л.А.Теоретические основы электротехники.Электрические цепи.-М;Высшая школа,1984

2.Атабеков Г.И.Теоретические основы электротехники.Ч.-М.:Энергия,1978

3. Атабеков Г.И,Капулян С.Д.Теоретические основы электротехники:Ч.П, III.-М.;Энергия,1989

4.Зевеке Г.В,Ионкин П.А.др.Основый теории цепей.-М.;Энергоатомиздат,1989

5. Сборник задач по теоретическим основам электротехники./Под ред.Л.А,Бессонова.-М.;Высшая школа,1980

6. Сборник задач и упражнений по теоретическим основам электротехники./Под.ред.П.А.Ионкана –М:Энергоатомиздат,1982.

7. Шебес.М.Р.,Каблукова М.В.Задачник по теории линейных электрических цепей.-М.:Высшая школа,1990

 

 

ОГЛАВЛЕНИЕ

Глава перви.Линейные электрические цепи постоянного тока

1.1 Простые неразветленные и разветленные цепи..............................................

1.2. Источники э.д.с.и тока....................................................................................

1.3. Законы Ома и Кирхгофа....................................................................................

1.4. Расчет цепей методами преобразование.........................................................

1.5. Расчет цепей по законам Кирхгофа.Баланс можнестей................................

1.6. Методы контурных токов и узловых потенциялов.......................................

1.7. Преобразование параллельного соединение ветвей с источниками энергии........................................................................................................................

1.8. Метод наложения..............................................................................................

1.9. Метод эквивалентного генератора (Активного двухполюсника)................

1.10. Теорема взаимности.Теорема вариаций.Линейные соотношения и электрических цепях.................................................................................................

Глава вторая.Линейные цепи синусоидиального тока

2.1. Мгновенные значения синусоидиальных величи.Последовательное и параллельное соединение элементов.Мощности..............................................

2.2. Представление синусоидиальных величии комплексами и вектрами и комплексной плоскости.Расчет простейших цепей синусоидиального тока и комплексной форме.Векторные диаграммы.Мощности........................................

2.3. Расчет развитиленных электрических цепей.Векторные и географические диаграммы..................................................................................................................

2.4. Резонанс в электрических цепях......................................................................

2.5. Индуктивно связанные электрические цепи....................................................

Глава третья.Трехфазные электрические цепи

3.1. Симметричные трехфазных цепи.....................................................................

3.2.Несимметричные трехфазные цепи.................................................................

3.3. Метод симметричных составляющих..............................................................

Глава четвертая.Четырехполюсники и фильтры

1.1. Определение коэффицентное четырехполюсники.Входные сопротивления.Схемы замешения............................................................

1.2. Характеристические параметры четырехполюсника.Расчет напряжении и токов...................................................................................

1.3. Схемы соединений четырехполюсников.................................................

1.4. Частотные фильтры:типа к.......................................................................

Глава пятая.Периодические синусоидиальные токи в линейных электрических цепях

5.1. Разложение периодической несинусоидиальное функции в.ряд Фурс.действующее значение периодической несинусоидиальной функции.Коэффиценты,характеризующие форму несинусоидиальных периодических кривых..............................................................................................

5.2. Расчет цепей несинусоидиального тока.Мощности........................................

5.3. Несинусоидиальные режимы симметричных трехфазных цепей.................

Глава шестая.Переходные процессы в линейных электрических цепях сосредоточенными параметрами

6.1. Расчет переходных прцессов класическим методом в цепях первого порядка.......................................................................................................................

6.2.Расчет переходных прцессов класическим методом в цепях второго порядка.......................................................................................................................

6.3. Операторный метод расчета переходных процессов......................................

6.4. Расчет переходных процессов с помощью интеграла Дюамелья..................

6.5. С вектральный метод расчета переходных процессов....................................

6.6. Расчет переходных прцессов методом переменных состаяния....................

Глава седьмая.Электрические цепи с распределенными параметрами.

7.1. Установивщиеся режими в цепях с распределенные параметрами..............

7.2. Переходные процессы в однородных линиях без потерь..............................

Глава восьмая.Нелинейные электрические цепи постоянного тока. Нелинейные магнитные цепи при постоянном магнитном патоке

8.1. Графические и графсана.титические методы расчета нелинейных цепей постоянного тока....................................................................................................

8.2. расчет неразвлетвленных и разветленных магнитных цепи.......................

Глава девятая. Нелинейные электрические цепи переменного тока.

9.1. Аналитические и графические методы расчета...............................................

9.2. Расчет по действующим значениям токов и наприжений..............................

Список литературы...............................................................................................