Простые неразветвленные и разветвлеивые цепи

 

Задача 1.1.

В цепи, схема которой показана на рисунке 1.1, ЭДС источника Е=37,5 В, внутреннее сопротивление R _ВТ= 0.6 Ом. Сопротивления потребителей: R ₁ = 2,4 Ом, R ₂ = 4,8 Ом, R ₃ = 7,2 Ом.

Определить ток цепи, напряжение на зажимах источника и потребителей, а также мcщность источника энергии и мощности всех потребителей.

 

 

 

Рассматриваемая цепь образует один электрический контур, т.е. она неразветвленная. Ток в цепи течет от зажима “+” источника по часовой стрелке к зажиму “–”.

Ток в неразветвленной цепи можно вычислить по закону Ома:

 

Напряжение на зажимах источника энергии можно выразить либо разностью ЭДС и падения напряжения на внутреннем сопротивлении источника, либо произведением тока на общее сопротивление потребителей.

 

U = Е – IR _BT = 37,5 – 2,5*0,6=36 В,

U = I (R ₁+ R ₂ + R ₃)=36 B.

 

Падения напряжения на потребителях:

 

U₁=I₁ R₁= 2,5∙2,4=6B,

U₂=I₂R₂=2,5∙4,8=12B,

U₃=I₃R₃=2,5∙7,2=18B.

 

Следовательно, U₁+U₂+U₃=U=36B.

Источник энергии развивает мощность

 

 

Часть этой мощности затрачивается внутри источника

 

 

а остальная мощность распределяется в сопротивлениях внешней цепи:

 

При этом

 

Задача 1.2.

В схеме рисунка 1.2 ЭДС Е₁ = 20 В, ЭДС Е₂ = 10 В, сопротивления R_BT1 = 0.5 Oм, R_BT2 = 1,5 Oм, R = 18 Ом. Определитель величину и направление тока в цепи и режим работы источника энергии.

 

 

 

В неразветвлениой цепи с несколькими источниками ЭДС ток равен отношению алгебраической суммы ЭДС к общему сопротивлению цепи:

 

Направление тока совпадает с направлением ЭДС Е₁ (Е₁>Е₂).

Если ЭДС источника имеет одинаковое направление с током, то источник работает "в режиме генератора". Напражение на зажимах такого иточника меньше ЭДС.

Если ЭДС источника направлена противоположно току, то источник работает “ в режиме потребителя", напряжение на его зажимах больше ЭДС.

В схеме рисунка 1.2 источник E₁ работает "в режиме генератира", у него U₁ = E₁ – IR_BT1 = 20 – 0.5∙0.5 = 19,75 В; источник E₂ работает "в режиме потребителя", у него U₂ = E₁ + IR_BT2 = 10+0,5∙1,5 = 10,75B.

 

Задача 1.3.

Источник энергии с ЭДС Е = 120 B и внутренним сопротивлением R_BT = 2 Oм (рисунок 1.3) включен в цепь, в которой R₁=18Oм, R₂=100Ом,R₃=150 Oм. Bычислить токи в ветвях, напражения на зажимах потребителей и источника, а также мощности источника всех потребителей.

 

 

 

 

Рисунок 1.3

 

Общий ток I₁разветвляется вузле "а" на два тока: I₂ и I₃.

Заменим сопротивления R₂ и R₃ эквивалентным сопротивлением:

 

 

После такой замены получается простая неразветвленная цепь (рисунок 1.4)

 

Определим общий ток:

 

 

Определим падение напряжения на сопротивлениях:

Напряжение на зажимах источника

 

Переходим к исходной схеме и определяем остальные токи в ветвях:

 

или

 

Мошность источника

Мощность потребителей

Источники ЭДС и тока

Задача 1.4.

Заменить схему с источником ЭДС Е=10B и R_BT=1Ом (рисунок 1.5) схемой с эквивалентным источником тока. Убедиться, что такой замене ток І, напряжение и мощность внешней цепи с сопротивлением R=9 Ом остаются неизмененными.

 

В исходой схеме

ток

напряжение

мощность

В образованной схеме (рисунок 1.6) в соответствии с условием эквивалентности ток источника тока

 

 

 

напряжение

ток

мощность

 

Таким образом, режим внешней цепи не изменился. В то же время мощности источников в схемах различны:

Мощности потерь в источниках различны:

в схеме с источником ЭДС

в схеме с источником тока

 

При этом

Задача 1.5.

Для электрической цепи рисунка 1.5 определить, при каком сопротивлении нагрузки Rв условиях предыдущей задачи источник питания отдает наибольшую мощность и какой при этом к.п.д. η источника.

Мощность, выделяемая в нагрузочном сопротивлении,

 

 

Для определеня наибольшей мощности, отдаваемой источником, необходимо найти первую производную Р₂ по R и приравнять её нулю:

 

Следовательно,

и

Нетрудно найти вторую производную и убедиться в том, что

она отрицательна т.е. условие соответствуют максимуму функции.

Максимальную мощность, отдаваемую источником энергии, можно получить, подставна в выражение мощности

 

Коэффицент полезного действия источника

 

или

 

Таким образом, если

 

Задача 1.6.

Определить внутреннее сопротивление R_BTи ЭДС Е источника питания (рисунок 1.7), если при разомкнутых выключениях В; и В₂ ток, измеряемый амперметром, равен I=I₁=2A, а при замкнутом включателе В₁ и разомкнутом В₂ ток І=I₂=2,5А. Сопротивления R1=R2=R3=3Ом

 

 

 

 

Для первого режима

 

Для первого режима

 

Следовательно, 2(R_BT+4,5)=2,5(R_BT+1,5), откуда R_BT=10,5 Ом.

ЭДС источники питания Е=2,5∙(10,5+1,5)=30B.

 

Законы Ома и Кирхгофа

Задача 1.7.

Найти показания амперметра (рисунок 1.8), если U_ab= + 107 B. U_bc= – 60 B, R₂ = 8 Oм, Е₁ = 100 B, E₂ = 70 B.

 

 

 

Обозначим произвольно токи в ветвях: I₁,I₂,I₃.

Токи I₁,I₂ определим по закону Ома:

 

 

Запишем первый закон Кирхгофа для узла в. откуда

Амперметр показывает 0,25А, а ток І₃ имеет направление, противоположное выбранному.

 

Задача 1.8.

В схеме рисунка 1.9 определить ток І₂ и потенциал точки m, если І₁=20мА, І₃=-10мА, R₂=5кОм, Е₂=15В, R₃=10 кОм.

 

 

 

Рисунок 1.9.

Заземление любой точки схемы говорит о том, что потенциал этой точки принят равным нулю.

Так как, то

Обозначим напряжение между точками m-aчерез U_ma. Запишем второй закон Кирхгофа для контура anm:

откуда напряжение

Напряжение а так как , то

 

Задача 1.9.

Для схемы рисунка 1.10 известно:

Определить R ₄ и Е ₂.

По первому закону Кирхгофа для узлов “a” и “c”

Пусть

 

 

В соответствии закону Ома

 

Первый закон Кирхгофа для узла ‘d’:

 

Второй закон Кирхгофа для контура ‘ dвс ’:

ЭДС E₂ также можно определить из закона Ома:

1.4 Расчет цепей методами преобразования

Задача 1.10

Определить токи и напряжения на отдельных участках схемы (рисунок 1.11), если U=240B, R₁=R₂=0,5Ом, R₃= R₅=10Ом, R₄= R₆= R₇=5Ом.

 

 

Рисунок 1.11

Путем постепенного упрощения найдем эквивалентное сопротивление схемы, что похволит определить ток I₁. Преобразование начинаем с конца схемы:

 

 

В этом случае схема имеет вид, показанный на рисунке 1.12. Найдем эквивалентное сопротивление схемы:

 

Рисунок 1.12

 

Ток в неразвлетвленной части цепи определяем по закону Ома:

 

 

Токи I₃ и I₄:

 

Напряжения между точками в и а:

 

 

Токи I₄ является общим для параллельных ветвей R₃ и R_67, поэтому

 

Напряжение

 

Задача 1.11

Определить токи в ветвях схемы рисунка 1.13, если J =1A, R1=R2=R3=12Ом, R4=2Ом, R5=8Ом

 

 

Рисунок 1.13

Преобразуем треугольник R1,R2,R3 в эквивалентную звезду

 

 

Эквивалентная схема имеет вид, показанный на рисунке 1.14. Эквивалентное сопротивление определять не нужно, так как общий ток известен, он равен току источника тока J.

 

Рисунок 1.14

Определим токи в ветвях с сопротивлениями R4 и R5:

 

 

Возвращаемся к исходной схеме. Ток I₃ можно определить из уравнения второго закона Кирхгофа для контура 3-2-4:

 

Токи I₁ и I₂ можно определить из уравнения первого закона Кирхгофа для узла 3:

для узла 1:

 

Для решения задачи можно преобразовать звезду R₁, R₃, R₄ в эквивалентный треугольник. Получится схема, показанная на рисунке 1.15 где

 

 

 

Рисунок 1.15

 

Та же схема наглядном виде представлена на рисунке 1.16

Рисунок 1.16

 

Теперь можно и определить ток I₆

а затем I₂, I₅:

 

 

Для определения остальных токов необходимо перейти к схеме рисунка 1.13.