Закон Кулона. Взаимодействие электрических зарядов

План решения задач

1. На рисунке покажите расположение электрических зарядов в соответствии с условием задачи. При этом укажите следующие величины: 1) знаки зарядов и их символы с индексом, равным номеру заряда; 2) обозначьте расстояния между зарядами; 3) покажите векторы сил, действующие: а) на один выбранный заряд (индекс силы совпадает с индексом заряда, со стороны которого действует сила), б) на два и более двух зарядов; в этом случае удобны индексы сил, состоящие из двух цифр, например, – сила, действующая на заряд со стороны заряда .

2. Если по условию задачи система зарядов (и каждый из них) неподвижна, то выполняются условия равновесия для каждого заряда: , – на основании первого закона Ньютона. При этом равнодействующую силу находят как геометрическую сумму всех сил, действующих на данный заряд. Заметим, что, в соответствии с опытным принципом суперпозиции сил (независимости их действия), присутствие третьего заряда , в том числе и помещенного между зарядами и , не изменяет силу взаимодействия зарядов и .

3. Записанные условия равновесия проецируют на координатные оси x и y; оси проводят, как правило, так, чтобы линия действия одной из сил совпадала с осью. Из уравнений для проекций сил получают расчетную формулу определяемой величины.

Задача 1. Два положительных заряда и находятся на расстоянии друг от друга и могут перемещаться вдоль прямой, их соединяющей. Найдите точку на этой прямой, в которую нужно поместить отрицательный заряд , чтобы эти три заряда находились в равновесии. Определите величину заряда .

Дано Решение

; ; .

Рис. 8

Покажем на рис. 8 силы и взаимного отталкивания зарядов и . Чтобы заряды и были в равновесии, нужно скомпенсировать эти силы противоположно им направленными силами – на первый заряд и – на второй. Такие силы создает отрицательный заряд , помещенный между зарядами и . На этот заряд будут действовать силы и со стороны первого и второго зарядов соответственно.

Запишем условия равновесия зарядов: , – для каждого заряда.

Для : ; (1)

: ; (2)
: . (3)

Отметим, что силы взаимодействия зарядов удовлетворяют третьему закону Ньютона:

; ; ; (4)

С учетом равенства модулей сил, входящих в третий закон Ньютона, и условий равновесия зарядов (1), (2) и (3) получаем, что модули всех сил парного взаимодействия зарядов одинаковы. Это очевидно и на рис. 8.

Обозначим расстояния: – заряда от ; – заряда от , при этом , – и запишем модули сил, используя закон Кулона:

; (5)

; (6)

; (7)

Приравниваем формулы сил (5) и (6) в соответствии с условием (3) равновесия заряда :

, после сокращения получаем . (8)

Решаем уравнение (8) с одной неизвестной величиной , извлекая из обеих частей равенства квадратный корень:

.(9)

Вычисляем Таким образом, заряд следует поместить на расстоянии от заряда .

Величину заряда найдем, приравнивая модули сил и , согласно условию (1) равновесия заряда :

, после сокращения имеем .

Вычислим величину заряда

Задача 2. Два шарика одинаковых радиуса и массы подвешены на нитях одинаковой длины так, что они соприкасаются. После сообщения шарикам заряда каждому, они оттолкнулись друг от друга, а нити образовали угол . Найдите массу шарика и силу натяжения нити. Примите, что

Дано Решение

; ; ;

Рис. 9

На каждый шарик действуют три силы (рис. 9): сила тяжести , сила натяжения нити и сила отталкивания одноименных зарядов . Учитывая, что размер шарика , а расстояние между ними близко к величине , заключаем, что , следовательно, шарики можно считать точечными зарядами, сила взаимодействия которых определяется законом Кулона:

, (1)

где – расстояние между шариками (.

Запишем условие равновесия шарика:

. (2)

Представим уравнение (2) в проекциях на оси :

; (3)

. (4)

Система уравнений (3) и (4) содержит две неизвестных величины: . Исключим величину путем деления одного уравнения на другое, предварительно записав их в следующем виде:

;

;

. (5)

Выразим определяемую величину массы шарика , учитывая закон Кулона (1):

(6) Вычисляем массу шарика

.

Силу натяжения нити находим из уравнения (4):

; Вычисляем

Задача 3. Два заряженных шарика одинаковых радиуса и массы подвешены на нитях равной длины и опущены в жидкий диэлектрик, плотность которого и диэлектрическая проницаемость . Определите плотность материала шариков, если углы расхождения нитей в воздухе и в диэлектрике одинаковы. Примите, что .

Дано Решение

; ; ; .

а б Рис. 10

На каждый шарик в воздухе действуют три силы (рис. 10 а): сила тяжести , сила натяжения нити и сила отталкивания одноименных зарядов шариков . Учитывая, что размер шарика , а расстояние между ними близко к величине , заключаем, что ; следовательно, шарики можно считать точечными зарядами, сила взаимодействия которых определяется законом Кулона:

(1)

где – расстояние между шариками ().

Запишем условие равновесия шарика:

(2)

В проекциях на оси уравнение (2) представится в виде:

(3)

(4)

Исключая неизвестную величину путем деления уравнения (3) на уравнение (4), получаем выражение

(5)

В диэлектрике (рис. 10 б) в условие равновесия добавляется сила Архимеда , где – плотность жидкости; – объем шарика; – ускорение свободного падения. При этом условие равновесия принимает следующий вид:

(6)

Запишем уравнение (6) в проекциях на оси :

; (7)

. (8)

По аналогии решением системы уравнений (3) и (4), исключаем силу натяжения нитей и получаем соотношение

(9)

Так как угол расхождения нитей одна и та же в уравнениях (5) и (9), приравниваем левые части этих уравнений:

. (10)

Сила взаимодействия зарядов в диэлектрике в раз меньше, чем в воздухе:

(11)

Массу шарика выразим через плотность материала и объем шарика :

(12)

С учетом формул (11) и (12) равенство (10) перепишем в следующем виде:

; ; тогда .

Из последнего выражения получаем расчетную формулу плотности материала шариков в виде:

; вычисляем .