Кубического сплайна и его производных

 

Как и для параболического сплайна, сначала находим номер отрезка, содержащего точку , по формуле . Зная все коэффициенты , , , и номер отрезка , находим значение естественного интерполяционного кубического сплайна в точке , принадлежащей отрезку ,

.

Для вычисления значений сплайна и его производных в точке , введем дополнительные коэффициенты: , , . Ранее уже был определен коэффициент .

Значения первой и второй производных естественного интерполяционного кубического сплайна вычисляются по формулам

, .

Сложность вычислительного алгоритма построения интерполяционного кубического сплайна та же, что и у параболического и линейного сплайнов. Число арифметических действий, необходимых для построения интерполяционного кубического сплайна, пропорционально числу отрезков (), объем памяти также пропорционален числу отрезков ().

Так как интерполяционный кубический сплайн хорошо приближает гладкие функции (теорема о сходимости, оценка погрешности) и имеет минимальную сложность, то на практике для гладких функций при решении задач интерполяции и численного дифференцирования используется именно интерполяционный кубический сплайн.

 

2.4. B-сплайны

 

B-сплайны (базовые, фундаментальные, базисные сплайны) – это функции, определенные на отрезке и образующие некоторый базис, который позволяет представить любой сплайн в виде линейной комбинации соответствующих B-сплайнов. Так же, как произвольный вектор , принадлежащий плоскости , можно единственным образом представить в виде линейной комбинации базисных векторов и , а именно , так и произвольный сплайн можно единственным образом представить в виде линейной комбинации соответствующих базисных сплайнов.

B-сплайном нулевой степени, построенным на отрезке по сетке , называется функция вида:

B-сплайн степени может быть отличен от нуля только на отрезках , примыкающих друг к другу. Например, кубический B-сплайн отличен от нуля на отрезке , а линейный B – сплайн отличен от нуля на отрезке (рис. 2.2).

Любой линейный сплайн на отрезке можно представить в виде линейной комбинации B-сплайнов первой степени:

.

Любой кубический сплайн на отрезке также может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации кубических B-сплайнов. Такой подход позволяет уменьшить объем памяти, необходимый для построения сплайна.

 

2.5. Построение интерполяционных сплайновых кривых

при помощи сплайн - функций

 

Ранее мы всегда оговаривали, что в интерполяционной таблице все узлы сетки различны и упорядочены по возрастанию . Как строить интерполяционные сплайны, если узлы сетки совпадают между собой или не упорядочены по возрастанию? В таких случаях решением задачи интерполяции являются кривые, заданные параметрически Приведем алгоритм для описания параметрических уравнений кривой, описанный в книге /9/.

Пусть задана интерполяционная таблица , , причем узлы сетки не упорядочены и могут совпадать между собой. Требуется построить кривую, последовательно проходящую через все точки интерполяционной таблицы.

1. На произвольном отрезке изменения параметра вводится вспомогательная сетка, узлы которой упорядочены и различны: . Число узлов сетки совпадает с числом заданных точек . В качестве отрезка можно выбрать отрезок [0,1], а шаг по переменной выбрать равномерный, т.е. .

2. По известной интерполяционной таблице , и вспомогательной сетке строятся две вспомогательные интерполяционные таблицы:

, , .

Отметим, что в построенных вспомогательных интерполяционных таблицах узлы сетки упорядочены и различны, и по этим таблицам единственным образом могут быть построены интерполяционные сплайны и .

3. По каждой из вспомогательных интерполяционных таблиц строятся соответствующие интерполяционные сплайн – функции и .

Таким образом, получается кривая, последовательно проходящая через все точки заданной интерполяционной таблицы (рис. 2.3).

 

2.6. Примеры решения задач

 

Задача 1. По данной интерполяционной таблице построить интерполяционный линейный сплайн.

Решение. Пусть задана интерполяционная таблица:

 

 

Таким образом, задано , , и , , , .

Линейный сплайн в данном случае () определяется формулой

Для нахождения коэффициентов и воспользуемся формулами и , . Получаем , , , . Запишем

Проверим, что - интерполяционный сплайн, для этого вычислим значения при Получаем , , , следовательно, - интерполяционный сплайн.

Ответ:

 

Задача 2. Построить систему линейных уравнений для нахождения коэффициентов интерполяционного параболического сплайна по заданной интерполяционной таблице и краевому условию.

Решение. Пусть задана интерполяционная таблица

 

 

и краевое условие: , т.е. , , ; , , , .

Решение задачи заключается в построении системы линейных уравнений относительно коэффициентов параболического сплайна . Так как , то параболический сплайн записывается следующим образом:

Неизвестных коэффициентов , и шесть, требуется записать шесть линейных уравнений. Первые три уравнения вытекают из условий: , . Получаем: , , , где , . В нашем случае равномерный шаг равен 1. Получаем три уравнения: , , .

Одно уравнение вытекает из краевого условия . Запишем формулу для производной сплайна:

Из краевого условия получаем уравнение или . Еще два уравнения получаем из условия, что параболический сплайн является непрерывно дифференцируемой функцией во всех внутренних узлах сетки. В нашем случае один внутренний узел, а именно узел . Запишем формулу сплайна в виде:

Из непрерывности сплайна вытекает уравнение или , а из непрерывности производной сплайна вытекает, что или .

Ответ: Запишем систему линейных уравнений:

Отметим, что мы рассмотрели случай правого краевого условия (). Случай левого краевого условия рассматривается аналогично. Например, если вместо условия задано условие , то в системе линейных уравнений четвертое уравнение нужно заменить на следующее: .

Задача 3. Построить систему линейных уравнений для нахождения коэффициентов интерполяционного кубического сплайна по заданным краевым условиям и интерполяционной таблице.

Решение. Пусть задана интерполяционная таблица

 

 

и краевые условия: и , т.е. , , , , , , , . Требуется построить систему линейных уравнений относительно коэффициентов кубического сплайна . Так как , то кубический сплайн записывается следующим образом:

Неизвестных коэффициентов восемь, требуется записать восемь линейных уравнений. Первые три уравнения вытекают из условий , . Получаем: , , . Запишем первые три уравнения: , , . Два уравнения вытекают из краевых условий. Запишем формулу для производной сплайна:

Из левого краевого условия вытекает уравнение . Из правого условия вытекает уравнение . Еще три уравнения получаем из условия, что кубический сплайн является дважды непрерывно дифференцируемой функцией во всех точках отрезка , в том числе и во внутренних узлах сетки. В нашем случае один внутренний узел, а именно узел . Запишем формулу сплайна в виде:

Из непрерывности сплайна вытекает уравнение . А из непрерывности первой и второй производной сплайна следуют уравнения и . Получаем:

, , .

Ответ: Запишем систему линейных уравнений:

 

Задача 4. Определить, является ли функция линейным сплайном, где

Решение. Запишем функцию в виде:

. Для того чтобы функция являлась линейным сплайном, одновременно должны выполняться два условия:

1) функции и - полиномы первой степени;

2) функция - непрерывная функция на отрезке .

Если хотя бы одно из этих условий не выполнено, то функция не является линейным сплайном, если же они выполняются одновременно, то является линейным сплайном. Проверим эти условия. Первое условие выполнено, так как функции и являются полиномами первой степени. Второе условие, при выполнении первого условия, достаточно проверить во внутренних узлах сетки. В нашем случае только один внутренний узел сетки, а именно узел . Поэтому второе условие при выполнении первого условия достаточно проверить только в точке , т.е. нужно проверить выполнение равенства . Вычислим и . Так как , то - непрерывная функция на отрезке . Оба условия выполнены, следовательно, функция является линейным сплайном.

Ответ: функция является линейным сплайном.

 

Задача 5. Определить, является ли функция параболическим сплайном, удовлетворяющим краевому условию , где ,

Решение. Запишем функцию в виде:

, , . Для того чтобы функция являлась параболическим сплайном, удовлетворяющим краевому условию , одновременно должны выполняться три условия:

1. функции и - полиномы второй степени;

2. функция - непрерывно дифференцируемая функция на отрезке ;

3. функция удовлетворяет краевому условию .

Если хотя бы одно из этих условий не выполнено, то функция не является параболическим сплайном, удовлетворяющим заданному краевому условию. Проверим эти условия. Первое условие выполнено, так как функции и являются полиномами второй степени. Второе условие, при выполнении первого условия, достаточно проверить только во внутренних узлах сетки. В нашем случае только один внутренний узел сетки, а именно узел . Поэтому второе условие, при выполнении первого условия, достаточно проверить только в точке , т.е. нужно проверить выполнение равенств и . Вычислим , ; , , , . Так как , то - непрерывно дифференцируемая функция на отрезке . Для проверки третьего условия вычислим значение производной функции в точке : . Так как , то третье условие выполнено.

Три условия выполняются одновременно, следовательно, функция является параболическим сплайном, удовлетворяющим краевому условию .

Ответ: функция является параболическим сплайном, удовлетворяющим краевому условию .

 

Задача 6. Определить является ли функция естественным кубическим сплайном, где:

Решение. Запишем функцию в виде:

, , . Для того чтобы функция являлась естественным кубическим сплайном, одновременно должны выполняться три условия:

1. функции и - полиномы третьей степени;

2. функция - дважды непрерывно дифференцируемая функция на отрезке ;

3. функция удовлетворяет двум краевым условиям: , .

Если хотя бы одно из этих условий не выполнено, то функция не является естественным кубическим сплайном. Проверим эти условия. Первое условие выполнено, так как функции и являются полиномами третьей степени. Второе условие, при выполнении первого условия, достаточно проверить только во внутренних узлах сетки. В нашем случае только один внутренний узел сетки, а именно узел . Поэтому второе условие, при выполнении первого условия, достаточно проверить только в точке , т.е. нужно проверить выполнение равенств: , и . Вычислим , ; , , , ; , , , . Так как , то - дважды непрерывно дифференцируемая функция на отрезке . Для проверки третьего условия вычислим значения второй производной функции в краевых точках: и . Третье условие выполнено.

Три условия выполняются одновременно, следовательно, функция является естественным кубическим сплайном.

Ответ: функция является естественным кубическим сплайном.

 

3. Сглаживание кубическими сплайнами

На практике часто вместо интерполяционной таблицы известна таблица экспериментальных данных где , - погрешность, таким образом, вместо значений функции нам известны результаты измерений, содержащие погрешность. Возникают задачи восстановления функции и вычисления производной функции по зашумленным данным. Использование интерполяции в такой ситуации нецелесообразно, т.к. интерполирующая кривая будет существенно зависеть от погрешности (рис. 3.1), а ее производная будет сильно отличаться от (рис. 3.2) /9/.

Если заранее известно, что результаты измерений содержат погрешности , то естественно рассматривать не задачу интерполяции, а задачу сглаживания, т.е. задачу построения гладкой (непрерывно дифференцируемой, дважды непрерывно дифференцируемой) функции, которая проходила бы не через заданные точки а вблизи них. На рис. 3.1 /9/ приведен график функции на отрезке точками отмечены результаты измерений выведена интерполяционная кривая и сглаживающая кривая (пунктиром). На рис. 3.2 /9/ приведены графики производной на отрезке производной интерполяционной кривой и производной сглаживающей кривой (пунктиром).

Рекомендуемая литература: /1, 4, 9/.

3.1. Постановка задачи сглаживания

 

В литературе приводятся различные формулировки постановки задачи сглаживания. Приведем две из них.

1. Пусть на отрезке задана таблица , где погрешность.

Требуется построить гладкую функцию , которая достаточно близка к функции на отрезке .

2. Пусть на отрезке задана таблица , где погрешность, и положительные числа Требуется построить гладкую функцию , такую что

Задача сглаживания заключается в восстановлении гладкой функции по зашумленным табличным данным. Понятно, что эта задача, как и задача интерполяции, имеет множество решений. Накладывая определенные ограничения на функцию , получаем задачу, имеющую единственное решение. На практике для решения задачи сглаживания чаще всего используются сглаживающие кубические сплайны. Мы рассмотрим естественный сглаживающий кубический сплайн (остальные сглаживающие кубические сплайны отличаются от него краевыми условиями).

Определение естественного сглаживающего кубического сплайна

Пусть на отрезке задана сетка в узлах которой заданы значения Естественным сглаживающим кубическим сплайном называется функция , удовлетворяющая следующим условиям:

1) функция - дважды непрерывно дифференцируемая функция на

2) на каждом из отрезков функция является полиномом третьей степени вида

3) функция доставляет минимум функционалу где - заданные положительные числа, называемые весовыми коэффициентами;

4) краевым условием

Пример. Функция

является естественным сглаживающим кубическим сплайном, определенным на отрезке и построенным по следующей таблице:

x
z	0.9	3.1	9.2

при

Теорема существования и единственности. Пусть заданы положительные числа и таблица причем все узлы сетки различны при . Тогда существует единственный естественный сглаживающий кубический сплайн на отрезке

Другими словами если заданы весовые коэффициенты и таблица экспериментальных данных в которой все узлы сетки различны, то существует единственный естественный сглаживающий кубический сплайн, соответствующий этой таблице и весовым коэффициентам.

Производная сглаживающего кубического сплайна – это непрерывно дифференцируемая, кусочно–параболическая функция, то есть параболический сплайн:

Замечание. Весовые коэффициенты задаваемые пользователем, позволяют в известной степени управлять свойствами сглаживающих сплайнов. Если все то и сглаживающий сплайн становится интерполяционным. Таким образом, интерполяционный кубический сплайн можно рассматривать как частный случай сглаживающего кубического сплайна (при ). Отметим, что чем меньше погрешность , тем меньше должны быть весовые коэффициенты Если же необходимо, чтобы сглаживающий кубический сплайн прошел через точку то соответствующий весовой множитель следует положить равным нулю. В практических вычислениях выбор величин является важным вопросом, для решения которого используются различные подходы /9/.

 

3.2. Построение естественного сглаживающего

кубического сплайна

 

Для построения естественного сглаживающего кубического сплайна

необходимо уметь вычислять коэффициенты сплайна и Опишем алгоритм нахождения коэффициентов сплайна, для реализации которого требуется арифметических действий и памяти.

1. Коэффициенты находятся из решения системы линейных уравнений размерности с невырожденной пятидиагональной матрицей методом прогонки (п.п.1.2). Запишем эту систему линейных уравнений для случая равномерного шага и одинаковых значений весовых коэффициентов

где

Отметим, что при мы получаем систему линейных уравнений с трехдиагональной матрицей (случай естественного интерполяционного кубического сплайна).

2. После нахождения коэффициентов находим где - это значения естественного сглаживающего кубического сплайна в узлах сетки, Значения находится по следующим формулам:

3. Зная и , находим коэффициенты , и по явным формулам

Отметим, что мы сразу привели формулы для дополнительных коэффициентов и , которые потребуются для вычисления значения сплайна и его производных при