ТОП 10:

Нахождение значений интерполяционного линейного сплайна



 

Если нам уже известны все коэффициенты и , интерполяционного линейного сплайна , то для нахождения его значения в любой точке из отрезка нужно знать еще номер отрезка , такого что .

Воспользуемся простой формулой для нахождения этого номера: . Следовательно, .

Недостатком этой формулы является то, что при мы получаем , а индекс меняется в пределах от до . В этом случае можно поступить следующим образом. Введем дополнительные коэффициенты и . Определим их следующим образом , .

Сложность вычислительного алгоритма построения интерполяционного линейного сплайна. Число арифметических действий, необходимых для построения интерполяционного линейного сплайна, пропорционально числу отрезков ( ), объем памяти также пропорционален числу отрезков ( ).

 

2.2. Интерполяционный параболический сплайн

 

Из названия сплайна понятно, что параболический сплайн – это функция, состоящая из «кусочков» парабол. Эти «кусочки» состыкованы таким образом, чтобы параболический сплайн являлся непрерывно дифференцируемой функцией. Обозначим параболический сплайн. Для каждого из отрезка

,

где , и - числовые коэффициенты. Таким образом, на каждом отрезке , три неизвестных коэффициента: , и , а на всем отрезке число неизвестных коэффициентов равно . Для того чтобы однозначно определить интерполяционный параболический сплайн на отрезке , нам требуется уравнений относительно неизвестных , и .

Так как является интерполяционной функцией, то первые уравнения получаем из условий , . Во всех внутренних узлах сетки функция должна быть непрерывной и непрерывно дифференцируемой функцией, следовательно, получаем еще уравнения. В сумме получаем линейных уравнений. Нам необходимо еще одно условие. Естественно ввести краевое условие, то есть условие либо в точке , либо в точке . Так как условия на функцию в этих точках уже заданы, введем условие на .

Для того чтобы однозначно определить интерполяционный параболический сплайн, требуется одно краевое (граничное) условие. Либо задается условие в точке , либо в точке : . В дальнейшем мы будем предполагать, что задано левое краевое условие .

Определение интерполяционного параболического сплайна. Пусть на отрезке задана сетка , в узлах которой заданы значения , . Интерполяционным параболическим сплайном называется функция , удовлетворяющая следующим условиям:

1) функция – непрерывно дифференцируемая функция на ;

2) на каждом из отрезков функция является полиномом второй степени вида

, ;

3) функция – интерполяционная функция, то есть: , ;

4) краевому условию .

Отметим, что, отбросив условие три, мы получаем определение параболического сплайна.

Пример. Функция

 

является параболическим сплайном, определенным на отрезке и удовлетворяющим краевому условию . Эта же функция является интерполяционным параболическим сплайном, удовлетворяющим следующей интерполяционной таблице:

 

 

Теорема существования и единственности. Пусть на отрезке заданы интерполяционная таблица , , причем все узлы сетки различны ( при ) и краевое условие . Тогда существует единственный параболический сплайн такой, что и краевое условие .

Другими словами, если задана интерполяционная таблица , в которой все узлы сетки различны, и краевое условие, то существует единственный интерполяционный параболический сплайн, удовлетворяющий этой таблице и краевому условию.

 







Последнее изменение этой страницы: 2017-02-07; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 34.204.202.44 (0.004 с.)