Вопрос 23. дифференциальная функция распределения

Плотность вероятности непрерывной случайной величины, она же дифференциальная функция распределения вероятностей - аналог закона распределения дискретной с.в. Но если закон распределения дискретной с.в. графически изображается в виде точек, соединённых для наглядности ломаной линией (многоугольник распределения), то плотность вероятностей графически представляет собой непрерывную гладкую линию (или кусочно-гладкую, если на разных отрезках задаётся разными функциями). Аналитически задаётся формулой.
Если закон распределения дискретной с.в. ставит каждому значению x в соответствие определённую вероятность, то про плотность распределения такого сказать нельзя. Для непрерывных с.в. можно найти только вероятность попадания в какой-либо интервал. Считается, что для каждого отдельного (одиночного) значения непрерывной с.в. вероятность равна нулю. И графически вероятность попадания в интервал выражается площадью фигуры, ограниченной сверху графиком плотности вероятности, снизу осью ОХ, с боков - рассматриваемым интервалом.
Свойства плотности вероятности:
1) Значения функции неотрицательны, т.е. f(x)≥0
2) Основное свойство плотности вероятности: несобственный интеграл от плотности вероятности в пределах от -∞ до +∞ равен единице (геометрически это выражается тем, что площадь фигуры, ограниченной сверху графиком плотности вероятности, снизу - осью OX, равна 1).

 

Вопрос 25. дисперсия

Диспе́рсия случа́йной величины́ — мера разброса данной случайной величины, то есть её отклонения от математического ожидания. Обозначается в русской литературе и (англ. variance) в зарубежной. В статистике часто употребляется обозначение или . Квадратный корень из дисперсии, равный , называетсясреднеквадрати́чным отклоне́нием

, станда́ртным отклоне́нием или стандартным разбросом. Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина, а дисперсия измеряется в квадратах этой единицы измерения.

Из неравенства Чебышева следует, что случайная величина удаляется от её математического ожидания на более чем k стандартных отклонений с вероятностью менее 1/ k ². Так, например, как минимум в 75 % случаев случайная величина удалена от её среднего не более чем на два стандартных отклонения, а в примерно 89 % — не более чем на три.

Определение

Пусть — случайная величина, определённая на некотором вероятностном пространстве. Тогда

где символ обозначает математическое ожидание^[1][2].

[Замечания

§ Если случайная величина вещественна, то, в силу линейности математического ожидания, справедлива формула:

§ Дисперсия является вторым центральным моментом случайной величины;

§ Дисперсия может быть бесконечной. См., например, распределение Коши.

§ Дисперсия может быть вычислена с помощью производящей функции моментов :

§ Дисперсия целочисленной случайной величины может быть вычислена с помощью производящей функции последовательности.

Свойства

Дисперсия любой случайной величины неотрицательна: Если дисперсия случайной величины конечна, то конечно и её математическое ожидание; Если случайная величина равна константе, то её дисперсия равна нулю: Верно и обратное: если то почти всюду; Дисперсия суммы двух случайных величин равна:

, где — их ковариация; Для дисперсии произвольной линейной комбинации нескольких случайных величин имеет место равенство:

, где ; В частности, для любых независимых или некоррелированных случайных величин, так как их ковариации равны нулю;