Ряда Фурье для четной функции.

В случае четной функции :

 

.

Пусть теперь будет кусочно-дифференцируемая в промежутке четная функция. Тогда произведение окажется нечетной функцией, и по сказанному

 

 

Таким образом, ряд Фурье четной функции содержит одни лишь косинусы:

 

(21)

 

Так как в этом случае будет тоже четной функцией, то, применив сюда второе из сделанных выше замечаний, можем коэффициенты разложения написать в виде

 

(22)

 

 

64.Как вычисляется составляющие АЧХ (S_i)?

…	…

A_i и B_i — это веса соответствующих гармоник, присутствующих в сигнале; i — номер гармоники. Формулы их расчета называются прямым преобразованием Фурье.

Именно эти числа используются также при обработке сигнала в модели динамической системы.

Изображение этих чисел на графике в зависимости от номера гармоники (частоты) называется спектром сигнала

Спектр показывает, насколько присутствует в сигнале соответствующая составляющая. Спектр — это частотная характеристика сигнала.

Рис. 7.4. Сигнал, представленный в частотной области на выходе преобразования Фурье, спектр сигнала (возможный вид)

Система чисел A_i и B_i является полной характеристикой сигнала. Такой же полной характеристикой сигнала является система чисел S и φ, которые также образуют спектр (рис. 7.5)

. S — это амплитудно-частотная характеристика (АЧХ),

φ — фазо-частотная характеристика (ФЧХ).

Рис. 7.5. Сигнал, представленный в частотной области, амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристика сигнала (возможный вид)

Системы «A и B» и «S и φ» являются полностью равнозначными.

Переход из системы «A и B» в систему «S и φ» производится по следующим формулам:

S_i = sqrt(A_i ² + B_i ²) — абсолютная амплитуда сигнала;

φ_i = arctg(B_i / A_i) — фаза сигнала, при сложении гармоник нужно учитывать сдвиг фаз

Смысл чисел S_i и φ_i

65.Как вычисляется составляющие ФЧХ (ϕ_i)?

φ_i = arctg(B_i / A_i) — фаза сигнала, при сложении гармоник нужно учитывать сдвиг фаз

Рис. 7.5. Сигнал, представленный в частотной области, амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристика сигнала (возможный вид)

 

 

66.Обратное преобразование Фурье для S_i, ϕ_i.

весовые коэффициенты составляющих его гармоник: (A ₀, A ₁, A ₂, …, B ₁, B ₂, …) полностью характеризуют исходный сигнал, так как по ним сигнал можно полностью восстановить формулой обратного преобразования Фурье:

В случае с системой «S и φ» обратное преобразование Фурье имеет вид:

Значение 2π · i / p = ω_i — это частота i -ой гармоники. Отметим также, что частота i -ой гармоники связана с частотой первой гармоники простым соотношением: ω_i = i · ω ₁.

Этот способ моделирования динамических систем основывается на том, что в любом сигнале присутствуют гармонические составляющие. В зависимости от частоты, составляющие называются гармониками (первая, вторая и так далее). Сумма гармоник с соответствующими весами составляет модель сигнала