II Элементы математической статистики

 

7. Статистическая обработка результатов измерений

Дан протокол измерений случайной величины Х. Для этой случайной величины требуется:

а) составить интервальную таблицу частот,

б) получить точечные оценки для математического ожидания и дисперсии,

в) найти доверительный интервал для математического ожидания,

г) построить гистограмму,

д) аппроксимировать гистограмму теоретическим нормальным законом распределения,

е) с помощью критерия c² проверить согласованность теоретического и статистического законов распределений.

 

Алгоритм выполнения задания

I Простейшая статистическая обработка:

1) Упорядочить вариационный ряд (т. е. записать все значения вариант в порядке возрастания) (таблица 7.1).

2) Найти размах: R = X _max – X _min.

3) Подобрать количество разрядов (интервалов):

k = 1+3,32lg(n) = 1,44ln(n)+1, где п – объем выборки ( количество разрядов должно быть целым числом).

4) Построить интервальную таблицу частот. Для этого находят длину интервала D x = R / k (если R не делится нацело на k, то можно слегка расширить диапазон значений случайной величины) и границы интервалов – точки a₁,..., a _{k +1}, где a _i = a₁ + (i– 1 ) ×D x. Затем подсчитывают частоты m_i – количество значений случайной величины (вариант), попавших на каждый интервал.

В таблицу 7.2 заносят границы интервалов (a _i; a _{i+ 1}), среднее значение варианты на каждом интервале , частоты m_i и относительные частоты (частости) (столбцы 1-4).

 

II Вычисление числовых характеристик (точечных выборочных оценок):

1) Вычислить выборочное среднее – оценку для математического ожидания.

2) Вычислить выборочную дисперсию – оценку для дисперсии.

3) Вычислить стандартное отклонение – оценку для среднего квадратичного отклонения.

III Построение доверительного интервала для математического ожидания а:

1) Зная доверительную вероятность (надежность) g, найти по таблице значений функции Лапласа (см. Приложение 1) соответствующее значение t, для которого .

2) Вычислить предельную ошибку ,

где s – стандартное отклонение, п – объем выборки.

3) Записать доверительный интервал для математического ожидания

.

IV Построение гистограммы

Для построения гистограммы относительных частот вычисляют высоты столбцов гистограммы (удобно добавить их в таблицу 7.2 – столбец 5), на оси абсцисс отмечают точки a₁,..., a _{k +1}и над каждым интервалом (a _i; a _{i+ 1}) строят прямоугольник высотой h_i. В результате получается ступенчатая фигура, верхний контур которой приблизительно соответствует графику плотности распределения исследуемой случайной величины (рис.1).

 

V Аппроксимация гистограммы нормальным законом распределения:

1) Составить таблицу значений теоретического нормального закона с параметрами а = , s = s: .

Для удобства расчетов можно

а) найти значения ;

б) по таблице Приложения 1 из [1] найти ;

в) вычислить (таблица 7.3).

2) Построить график теоретической кривой

На рис. 1 отметить точки с координатами ( ; ) и соединить их плавной кривой.

3) Сделать вывод о согласованности статистического распределения (гистограммы) с теоретическим нормальным законом распределения, проанализировав полученный рисунок.

 

VI Проверка согласованности статистического и теоретического распределений:

1) Вычислить статистику c ²: ,

где ;

– функция Лапласа (см. Приложение 1).

2) Определить число степеней свободы r = k – 3.

3) Анализ результатов. Выбрав уровень значимости a (например, a = 0,05), в таблице критических точек распределения c² (Приложение 3), найти c²_кр.

Если c² < c²_кр, то можно принять гипотезу о нормальном распределении, т. е. полученный теоретический закон хорошо аппроксимирует статистическое распределение.

Если c² > c²_кр, то гипотеза о выборе теоретического закона отвергается, т.е. полученный закон не согласуется с экспериментальными данными.

 

Пример 7

Записав исходные данные в порядке возрастания, получили следующий упорядоченный вариационный ряд (таблица 7.1):

 

Таблица 7.1. Упорядоченный вариационный ряд

 

Найдем размах R = 141 – 95 = 46.

Так как объем выборки п =100, а количество разрядов должно быть целым числом, то удобно брать k = 7 или k = 8. Расширим диапазон значений вариант до промежутка (94; 142) и выберем k = 8.

Тогда длина интервала D x = (142 – 94)/8 = 6.

Построим интервальную таблицу частот (таблица 7.2, столбцы 1-4). В ту же таблицу занесем вычисленные значения высот столбцов гистограммы.

 

Таблица 7.2. Интервальная таблица частот

Границы интервалов (a i, a i +1)	Среднее значение	Частота mi	Относительная частота wi	Высота столбца гистограммы hi
94 – 100			0,03	0,0050
100 – 106			0,07	0,0117
106 – 112			0,11	0,0183
112 – 118			0,20	0,0333
118 – 124			0,28	0,0467
124 – 130			0,19	0,0317
130 – 136			0,10	0,0167
136 – 142			0,02	0,0033

 

Вычислим числовые характеристики.

Выборочное среднее: =

= (97^.3+103^.7+109^.11+115^.20+121^.28+127^.19+133^.10+139^.2)/100 = 119,2.

Выборочная дисперсия: =

= ((97 – 119,2)^2.3 + (103 – 119,2)^2.7 + (109 – 119,2)^2.11 +

+ (115 – 119,2)^2.20 + (121 – 119,2)^2.28 + (127 – 119,2)^2.19 +

+ (133 – 119,2)^2.10 + (139 – 119,2)^2.2)/99 = 87,48.

Стандартное отклонение: = 9,35.

 

Найдем доверительный интервал для математического ожидания.

Пусть доверительная вероятность g=0,95. Тогда по таблице Приложения находим, что если Ф (t) = 0,475, то t = 1,96. Вычислим предельную ошибку = 1,96^.9,35/10 = 1,833.

Таким образом, границы доверительного интервала 119,2 – 1,833 и 119,2 + 1,833, т.е. доверительный интервал для математического ожидания имеет вид (117,367; 121,033).

 

Составим таблицу значений теоретического нормального закона

(таблица 7.3).

 

Таблица 7.3. Теоретическая плотность распределения вероятностей

Среднее значение
	–2,37	0,0241	0,0026
	–1,73	0,0893	0,0096
	–1,09	0,2203	0,0236
	–0,45	0,3605	0,0386
	0,19	0,3918	0,0419
	0,83	0,2827	0,0302
	1,48	0,1334	0,0143
	2,12	0,0422	0,0045

 

Построим гистограмму и кривую теоретического нормального распределения (рис. 1).

Из рисунка видно, что теоретическая нормальная кривая хорошо аппроксимирует статистический закон распределения.

 

 

Рис. 1. Гистограмма и теоретическая кривая

 

Проверим согласованность статистического и выбранного теоретического распределения с помощью критерия c².

Вычислим значения p_i (таблица 7.4).

 

Таблица 7.4. Расчет критерия c²

Границы интервалов (a i, a i+ 1)	Частота mi
94 – 100		Ф(-2,05) – Ф(-2,69) = 0,0166	1,082
100 – 106		Ф(-1,41) – Ф(-2,05) = 0,0592	0,197
106 – 112		Ф(-0,77) – Ф(-1,41) = 0,1413	0,693
112 – 118		Ф(-0,13) – Ф(-0,77) = 0,2284	0,353
118 – 124		Ф(0,51) – Ф(-0,13) = 0,2470	0,441
124 – 130		Ф(1,155) – Ф(0,51) = 0,180	0,055
130 – 136		Ф(1,797) – Ф(1,155) = 0,088	0,164
136 – 142		Ф(2,44) – Ф(1,797) = 0,0286	0,259
			S = 3,244

 

Вычислим статистику: = 3,244.

Подсчитаем число степеней свободы: r = 8 – 3 = 5.

Выбрав уровень значимости a = 0,05, в таблице (Приложение 3) найдем c²_кр(5; 0,05) = 11,1. Так как c² = 3,244 < 11,1 = c²_кр, то можно принять гипотезу о нормальном распределении, т. е. в данном случае полученный теоретический закон хорошо аппроксимирует статистическое распределение.

 

8. Оценка корреляционной зависимости между наблюдаемыми величинами

По данной корреляционной таблице (таблица 8.1.) найти коэффициент корреляции и выборочное уравнение прямой регрессии Y на X.

Алгоритм выполнения задания

1. Построить таблицу эмпирического распределения для X (таблица 8.2, столбцы 1-3) и добавить в ту же таблицу вспомогательные значения (столбцы 4-6). Составить также вспомогательную таблицу 8.3

2. Вычислить выборочные средние и выборочные дисперсии:

;

; ; ; ;

; ; ; .

3. Вычислить коэффициенты прямой регрессии Y на Х:

;

и записать уравнение этой прямой: .

Прямая регрессии обязательно проходит через точку с координатами (), которая называется центром рассеивания.

4. Вычислить коэффициент корреляции по формуле (31)

и сделать вывод о тесноте линейной зависимости.

 

Пример 8.

Пусть корреляционная таблица имеет вид (таблица 8.1):

Таблица 8.1. Корреляционная таблица

Х

Y

nх

nу

 

Построим таблицы эмпирического распределения и вспомогательных значений: (таблицы 8.2 и 8.3).

 

Таблица 8.2. Эмпирическое распределение

хi	nxi	^*	nxi^.хi	nxi^.(хi) ^2	nxi^.хi^.
		13,5
		33,5
Суммы			S4=100	S5=300	S6=4410

^*) Примечание

Таблица 8.3. Вспомогательные значения

yi	nyj	nyj^.yj	nyj^.(yj) ^2
Суммы		S7 = 1660	S8 = 67700

 

Вычислим выборочные средние и выборочные дисперсии:

= 100/50 = 2; = 300/50 = 6; = 6 – 4 = 2; = 1,414;

= 1660/50 = 33,2; = 67700/50 = 1354; = 1354 – 33,2² = 251,76;

= 15,87; = 4410/50 = 88,2.

 

Вычислим коэффициенты прямой регрессии Y на Х:

; .

Тогда уравнение этой прямой: . На рис. 2 построено эмпирическое распределение (точки (; )) и прямая регрессии.

Центр рассеяния – точка (2; 33,2)

 

Вычислим коэффициент корреляции . Так как коэффициент корреляции близок к единице, можно сделать вывод о сильной положительной линейной зависимости между признаками (случайными величинами) Х и Y.

Рис. 2. Эмпирическое распределение и прямая регрессии

Приложение 1. Таблица значений функции

х	сотые доли х
0,0	0,0000
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0	0,3413
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0	0,4772
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9

 

3,0	0,49865	3,5	0,49977	4,0	0,499968
3,1		3,6		4,5	0,499997
3,2		3,7		5,0	0,499997
3,3		3,8
3,4		3,9

 

 

Приложение 2. Таблица значений функции

х	сотые доли х
0,0	0,3989	0,3989	0,3989	0,3988	0,3986	0,3984	0,3982	0,3980	0,3977	0,3973
0,1	0,3970	0,3965	0,3961	0,3956	0,3951	0,3945	0,3939	0,3932	0,3925	0,3918
0,2	0,3910	0,3902	0,3894	0,3885	0,3876	0,3867	0,3857	0,3847	0,3836	0,3825
0,3	0,3814	0,3802	0,3790	0,3778	0,3765	0,3752	0,3739	0,3726	0,3712	0,3697
0,4	0,3683	0,3668	0,3652	0,3637	0,3621	0,3605	0,3589	0,3572	0,3555	0,3538
0,5	0,3521	0,3503	0,3485	0,3467	0,3448	0,3429	0,3410	0,3391	0,3372	0,3352
0,6	0,3332	0,3312	0,3292	0,3271	0,3251	0,3230	0,3209	0,3187	0,3166	0,3144
0,7	0,3123	0,3101	0,3079	0,3056	0,3034	0,3011	0,2989	0,2966	0,2943	0,2920
0,8	0,2897	0,2874	0,2850	0,2827	0,2803	0,2780	0,2756	0,2732	0,2709	0,2685
0,9	0,2661	0,2637	0,2613	0,2589	0,2565	0,2541	0,2516	0,2492	0,2468	0,2444
1,0	0,2420	0,2396	0,2371	0,2347	0,2323	0,2299	0,2275	0,2251	0,2227	0,2203
1,1	0,2179	0,2155	0,2131	0,2107	0,2083	0,2059	0,2036	0,2012	0,1989	0,1965
1,2	0,1942	0,1919	0,1895	0,1872	0,1849	0,1826	0,1804	0,1781	0,1758	0,1736
1,3	0,1714	0,1691	0,1669	0,1647	0,1626	0,1604	0,1582	0,1561	0,1539	0,1518
1,4	0,1497	0,1476	0,1456	0,1435	0,1415	0,1394	0,1374	0,1354	0,1334	0,1315
1,5	0,1295	0,1276	0,1257	0,1238	0,1219	0,1200	0,1182	0,1163	0,1145	0,1127
1,6	0,1109	0,1092	0,1074	0,1057	0,1040	0,1023	0,1006	0,0989	0,0973	0,0957
1,7	0,0940	0,0925	0,0909	0,0893	0,0878	0,0863	0,0848	0,0833	0,0818	0,0804
1,8	0,0790	0,0775	0,0761	0,0748	0,0734	0,0721	0,0707	0,0694	0,0681	0,0669
1,9	0,0656	0,0644	0,0632	0,0620	0,0608	0,0596	0,0584	0,0573	0,0562	0,0551
2,0	0,0540	0,0529	0,0519	0,0508	0,0498	0,0488	0,0478	0,0468	0,0459	0,0449
2,1	0,0440	0,0431	0,0422	0,0413	0,0404	0,0396	0,0387	0,0379	0,0371	0,0363
2,2	0,0355	0,0347	0,0339	0,0332	0,0325	0,0317	0,0310	0,0303	0,0297	0,0290
2,3	0,0283	0,0277	0,0270	0,0264	0,0258	0,0252	0,0246	0,0241	0,0235	0,0229
2,4	0,0224	0,0219	0,0213	0,0208	0,0203	0,0198	0,0194	0,0189	0,0184	0,0180
2,5	0,0175	0,0171	0,0167	0,0163	0,0158	0,0154	0,0151	0,0147	0,0143	0,0139
2,6	0,0136	0,0132	0,0129	0,0126	0,0122	0,0119	0,0116	0,0113	0,0110	0,0107
2,7	0,0104	0,0101	0,0099	0,0096	0,0093	0,0091	0,0088	0,0086	0,0084	0,0081
2,8	0,0079	0,0077	0,0075	0,0073	0,0071	0,0069	0,0067	0,0065	0,0063	0,0061
2,9	0,0060	0,0058	0,0056	0,0055	0,0053	0,0051	0,0050	0,0048	0,0047	0,0046
3,0	0,0044	0,0043	0,0042	0,0040	0,0039	0,0038	0,0037	0,0036	0,0035	0,0034
3,1	0,0033	0,0032	0,0031	0,0030	0,0029	0,0028	0,0027	0,0026	0,0025	0,0025
3,2	0,0024	0,0023	0,0022	0,0022	0,0021	0,0020	0,0020	0,0019	0,0018	0,0018
3,3	0,0017	0,0017	0,0016	0,0016	0,0015	0,0015	0,0014	0,0014	0,0013	0,0013
3,4	0,0012	0,0012	0,0012	0,0011	0,0011	0,0010	0,0010	0,0010	0,0009	0,0009
3,5	0,0009	0,0008	0,0008	0,0008	0,0008	0,0007	0,0007	0,0007	0,0007	0,0006
3,6	0,0006	0,0006	0,0006	0,0005	0,0005	0,0005	0,0005	0,0005	0,0005	0,0004
3,7	0,0004	0,0004	0,0004	0,0004	0,0004	0,0004	0,0003	0,0003	0,0003	0,0003
3,8	0,0003	0,0003	0,0003	0,0003	0,0003	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002
3,9	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0001	0,0001

 

Приложение 3. Критические точки распределения c2

 

Число степеней свободы	Уровень значимости a
0,01	0,05	0,95	0,99
	6,6	3,8	0,0039	0,00016
	9,2	6,0	0,103	0,020
	11,3	7,8	0,352	0,115
	13,3	9,5	0,711	0,297
	15,1	11,1	1,15	0,554
	16,8	12,6	1,64	0,872
	18,5	14,1	2,17	1,24
	20,1	15,5	2,73	1,65
	21,7	16,9	3,33	2,09
	23,2	18,3	3,94	2,56
	24,7	19,7	4,57	3,05

 

 

Учебное издание

 

Основы теории вероятностей
и математической статистики

 

Методические указания для студентов заочного отделения

 

 

Составитель Карпилова Ольга Михайловна

 

Самарский государственный аэрокосмический университет

имени академика С.П. Королева,

443086 Самара, Московское шоссе, 34