Тема 2. Класичне означення ймовірності, геометрична та статистична ймовірність

 

1. Монету підкидають тричі. Визначити простір елементарних подій цього експерименту.

2. У ящику міститься 15 однотипних деталей, із яких 6 бракованих, а решта стандартні. Навмання із ящика беруть одну деталь. Яка ймовірність того, що вона стандартна?

3. Гральний кубик підкидають один раз. Яка ймовірність того, що на грані кубика з’явиться число, кратне 3?

4. У кожній із трьох урн містяться червоні та сині кульки. Із кожної урни беруть по одній кульці. Побудувати простір елементарних подій і такі випадкові події: А – серед трьох, навмання взятих кульок, дві – червоного кольору;
В – серед трьох, навмання взятих кульок, дві – синього кольору. Обчислити Р(А), Р(В), Р(А В).

5. В електричну мережу увімкнено чотири електролампочки. При проходженні електричного струму в мережі, кожна лампочка з певною ймовірністю може перегоріти або ні. Побудувати простір елементарних подій і такі випадкові події: А – із чотирьох лампочок перегорить не менш як три; В – із чотирьох лампочок перегорить не більше як дві. Обчислити Р(А), Р(В), Р(А В).

6. Набираючи телефонний номер, абонент забув одну цифру і набрав її навмання. Знайти ймовірність того, що цифра набрана правильно.

7. Учасники жеребкування тягнуть із ящика жетони з номерами від 1 до 100. Знайти ймовірність того, що номер першого, навмання взятого жетону, не містить цифри 5.

8. Перевозили ящик, в якому було 21 стандартна і 10 нестандартних деталей, при цьому втратили одну деталь, але невідомо яку. Знайти ймовірність того, що була втрачена: 1) стандартна деталь; 2) нестандартна деталь.

9. Задумане двозначне число. Знайти ймовірність того, що задуманим числом виявиться: 1) випадково назване двозначне число, цифри якого різні;
2) випадково назване двозначне число.

10. Кинули два гральних кубики. Знайти ймовірність події, що сума очок дорівнює вісім, а різниця чотири.

11. Монету підкидаємо два рази. Знайти ймовірність того, що хоча б один раз з’явиться герб.

12. Підкинули два гральні кубики. Знайти ймовірність того, що сума очок на гранях дорівнює сім.

13. На відрізок ОА довжини L числової вісі ОX навмання поставлена точка B(x). Знайти ймовірність того, що менший із відрізків ОВ і ВА має довжину

14. На площині накреслені два круги, радіуси яких 5 і 10 см відповідно. Знайти ймовірність того, що точка, кинута навмання у великий круг, попаде в кільце, яке утворилось даними кругами.

15. Дана множина U = . Знайти ймовірність того, що навмання взята точка з координатами (x, y) буде знаходитись в області А, обмеженою кривими і .

16. Маємо диск, що швидко обертається і поділений на парну кількість рівних секторів, які по черзі пофарбовані в білий і чорний колір. По диску зробили постріл. Знайти ймовірність того, що було попадання в один із білих секторів. Ймовірність попадання в плоску фігуру пропорційна площі цієї фігури.

17. Задано дві множини цілих чисел: Ώ₁ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, Ώ₂ = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Із кожної множини навмання беруть по одному числу. Побудувати простір елементарних подій для цього експерименту і такі випадкові події: А – сума цифр буде кратною 3; В – сума цифр буде кратною 7. Обчислити: Р (А), Р (В), .

18. Гральний кубик підкидається один раз, а монета – чотири рази. Побудувати простір таких елементарних подій: поява числа на гральному кубику і герба на монеті, а також випадкові події:

А – на гральному кубику з’явиться число кратне двом, і герб при цьому випаде не менше як двічі;

В – на гральному кубику з’явиться число кратне трьом, і герб при цьому випаде не більше як тричі. Обчислити: Р (А), Р (В), .

19. Задано множину . Яка ймовірність того, що навмання взяті два числа x, y утворять координати точки, яка належить області
.

20. У мішень, яка має вигляд кола, вписано квадрат. По ній здійснюється один постріл. Вважається при цьому, що влучення в коло мішені є подією вірогідною. Яка ймовірність того, що куля влучить у квадрат.

21. У партії однотипних деталей, кількість яких дорівнює 400, контролер виявив 25 бракованих. Чому дорівнює відносна частота появи стандартних деталей?

22. При стрільбі з гвинтівки по мішені відносна частота влучення дорівнює 0,85. Знайти число влучень, якщо було здійснено 20 пострілів.

23. Гральний кубик підкидають 6 разів. Обчислити ймовірність того, що випадуть усі 6 граней.

24. У шафі стоять 10 пар різноманітного взуття. З них навсання вибирається 4 чоботи. Знайти ймоіврність того, що серед вибраних чобіт немає парних.

25. У круг радіуса вписано правильний -кутник. У круг кидають навмання точку. Яка ймовірність того, що точка попаде всередину -кутника?

26. На колі радіусом навмання взято три точки . Яка ймовірність того, що трикутник гострокутний?

27. Навмання взято два додатних числа, кожне з яких не перевищує 1. Знайти ймовірність того, що сума їх не перевищує 1, а добуток не перевищує ?

 

Тема 3. Елементи комбінаторики

1. Скільки п’ятизначних чисел можна записати, використовуючи п’ять різних цифр (крім нуля)?

2. На кожній із шести однакових карток записано одну літеру Я, І, Т, Е, Р, О. Знайти ймовірність того, що картки, навмання розкладені у рядок, утворять слово “теорія”?

3. Скільки трьохзначних чисел можна скласти з цифр 1, 2, 3, якщо кожна цифра входить в зображення числа тільки один раз?

4. Маємо дев’ять однакових за розміром карток, на кожній з яких записано одну з цифр: 1,2,…,9. Навмання беруть чотири картки і розкладають в один рядок. Знайти ймовірність того, що при цьому дістанемо 1973.

5. У кімнаті знаходиться 10 студентів. Знайти ймовірність того, що два і більше студенти не мають спільного дня народження.

6. Набираючи телефонний номер, абонент забув останні дві цифри і, пам’ятаючи лише, що вони різні, набрав їх навмання. Знайти ймовірність того, що набрано вірні цифри.

7. Студенти другого курсу згідно з учбовим планом вивчають 10 дисциплін. На один день можна планувати заняття з 4 дисциплін. Скількома способами можна скласти розклад занять на день?

8. У цеху працює 10 верстатів, кожен з яких з певною ймовірністю може перебувати в роботоздатному стані або ні. Знайти ймовірність того, що під час роботи верстатів із ладу вийдуть 3 з них.

9. Маємо колоду з 52 карт. З неї навмання дістаємо 6 карт. Обчислити ймовірність таких випадкових подій:

А – із 6 карт будуть 3 червоні і 3 чорні;

В – дістанемо 1 туз, 1 даму, а королів не буде взагалі;

С – буде 1 чорний туз;

D – буде хоча б один туз.

10. Є 15 пасажирів і 4 вагони. Знайти ймовірність того, що: а) в першому вагоні два пасажири, в другому – три, в третьому – чотири, в четвертому – шість пасажирів; б) в першому вагоні буде сидіти чотири пасажири; в) в першому вагоні – два пасажири, а в другому – три.

11. В цеху працює 6 чоловіків і 4 жінки. За табельними номерами навмання відібрали 7 чоловік. Знайти ймовірність того, що серед них буде три жінки.

12. Знайти ймовірність того, що при підкиданні трьох гральних кубиків шістка випаде на одному (немає значення, на якому) кубику, якщо на двох інших кубиках випадає різне число очок (не рівне шести).

13. В пачці 20 перфокарт, помічених номерами 101, 102,…,120. Перфораторщиця навмання витягує дві карти. Знайти ймовірність того, що будуть витягнуті перфокарти із номерами 101 і 120.

14. На складі є 15 кінескопів, причому 10 з них виготовлені на Львівському заводі. Знайти ймовірність того, що серед 5 навмання взятих кінескопів три виявляться Львівського заводу.

15. Велика науково-дослідна фундація розглядає вкладення коштів у дослідницькі медичні проекти. Було розглянуто 20 проектів і 8 з них отримали кошти. Яка кількість різних проектів може бути профінансована?

16. У камері схову встановлено кодовий замок, шифр якого складається з чотирьох цифр. Скільки різних комбінацій може бути з цифр 1,2,3,4,5, якщо:

а) цифри в коді можуть повторюватися;

б) цифри в коді не повторюються;

в) код починається з цифри 3;

г) код є парним числом;

д) код – парне число, цифри якого не повторюються?

17. З Києва до Одеси можна вибрати один із 4 залізничних або один із 3 автобусних рейсів. Скільки є варіантів здійснити подорож за маршрутами:

а) Київ – Одеса;

б) Київ – Одеса – Київ;

в) Київ – Одеса – Київ, якщо зворотній шлях провести у поїзді?

18. На вершину гори веде 7 доріг. Скількома способами турист може піднятися на гору і спуститися з неї? Дати відповідь на те ж запитання, якщо підйом та спуск здійснювати різними шляхами.

19. Скільки є п’ятизначних чисел, які діляться на п’ять?

20. На одній із бічних сторін трикутника взято n точок, на другій – m точок. Кожну вершину при основі трикутника сполучено прямими з точками, взятими на протилежній бічній стороні. На скільки частин поділиться трикутник проведеними прямими?

21. У розіграші чемпіонату країни з футболу беруть участь 17 команд. Скількома способами може бути розподілено золоту, срібну і бронзову медалі?

22. Автомобільний номер складається з двох букв і чотирьох цифр. Знайти кількість усіх можливих номерів, які можна скласти з цифр від 0 до 9 та 30 букв українського алфавіту?

23. З 12 чоловік кожного дня протягом 6 днів вибирають 2 чергових. Визначити кількість різних списків чергових, якщо кожна особа чергує лише один раз.

24. На кожній із п’яти однакових карток написана одна із цифр 1, 2, 3, 4, 5. Навмання картки розкладають в один рядок. Обчислити ймовірність таких випадкових подій:

1) А – цифри на картках утворюють зростаючу послідовність;

2) В – спадну послідовність;

3) С – цифри 1, 2 розміщуватимуться в такій послідовності на початку рядка;

4) D – цифра 1 стоятиме на першому місці, а 5 – на останньому.

25. Виконується переставлення чисел 1, 2, 3... 10. Знайти ймовір­ність того, що числа 1) 1, 2; 2) 1, 2, 3, 4 будуть розміщені в наведеному порядку.

26. Задано множину цілих чисел Ώ = {1, 2, 3, 4, 5}. Числа навмання розміщують у рядок. Яка ймовірність того, що при цьому утвориться парне п’ятицифрове число?

27. Маємо тринадцять однакових карток:

,

що навмання розкладають у рядок. Яка ймовірність того, що при цьому дістанемо слово «паралелепіпед».

28. Задана множина цілих чисел Ώ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Яка ймовірність того, що навмання взяті чотири числа, розміщені в рядок, утворять число 1936?

29. Числа 1, 2, 3, 4, 5 написані на п’яти однакових картках. Навмання послідовно по одній вибирають три картки й розкладають їх у рядок. Яка ймовірність того, що при цьому утвориться парне трицифрове число?

30. Дев’ять пасажирів навмання розміщуються у трьох вагонах. Обчислити ймовірність таких випадкових подій: 1) А – у кожному вагоні виявиться по три пасажири; 2) В – у першому вагоні виявиться 4 пасажири, у другому – 3 і в третьому – 2 пасажири.

31. В урні міститься 4 червоних, 5 синіх і 6 зелених кульок. Навмання із урни беруть три кульки. Яка ймовірність того, що вони виявляться одного кольору або всі три будуть мати різні кольори?

32. В урні міститься 20 кульок, пронумерованих відповідно від 1 до 20. Кульки із урни виймають по одній із поверненням. Таким способом кульки виймалися 10 раз. Яка ймовірність того, що номери кульок утворять зростаючу послідовність?

33. Підкидається n штук гральних кубиків. Обчислити ймовірність таких випадкових подій: 1) А – сума випадкових цифр дорівнюватиме n; 2) В – сума цифр, що випали, дорівнюватиме n + 1.

34. 20 студентів, серед яких 10 чоловічої статі, а решта – жіночої, навмання групуються в пари. Яка ймовірність того, що кожна пара складається зі студентів різної статі?

35. У бригаді робітників 5 чоловіків і 10 жінок. Яка ймовірність того, що навмання розбиваючи їх на 5 груп по три чоловіки, у кожній із них виявиться один чоловік.