Тема 2. Методы и модели оптимизации в экономике и управлении

Основоположником линейного программирования считают Дж. Данцига, который впервые поставил и решил общую задачу линейного программирования (ЛП). В 1949 году вышла в свет его книга по линейному программированию, в которой был изложен один из основных методов ЛП - симплексный метод.

Впоследствии с изобретением персональных ЭВМ решение задач линейного и нелинейного программирования было реализовано в табличном процессоре “Excel”. Следует отметить, что ТП “Excel” дает возможность получить решение не только данной (прямой) задачи, но и двойственной ей задачи.

В экономике оптимизационные задачи возникают в связи с мно­гочисленностью возможных вариантов функционирования кон­кретного экономического объекта, когда возникает ситуация выбора варианта, наилучшего по некоторому правилу, критерию, характеризуе­мому соответствующей целевой функцией (например, иметь мини­мум затрат, максимум продукции).

Оптимизационные модели отражают в математической форме смысл экономической задачи, и отличительной особенностью этих моделей является наличие условия нахождения оптимального ре­шения (критерия оптимальности), которое записывается в виде функционала. Эти модели при определенных исходных данных задачи позволяют получить множество решений, удовлетворяю­щих условиям задачи, и обеспечивают выбор оптимального реше­ния, отвечающего критерию оптимальности.

В общем виде математическая постановка задачи математического программирования состоит в определении наибольшего или наименьшего значения целевой функции f (х₁, х₂,..., х_n) при условиях g_i(х₁, х₂,..., х_n) £ b_i; (i =1,2,…m), где f и g_i; – заданные функции, а b_i – некоторые действительные числа.

задачи математического программирования делятся на задачи линейного и нелинейного программирования. если все функции f и g_i линейные, то соответствующая задача является задачей линейного программирования. Если же хотя бы одна из указанных функций нелинейная, то соответствующая задача является задачей нелинейного программирования.

В общем виде задача линейного программирования (ЗЛП) ставится следующим образом:

Найти вектор , максимизирующий линейную форму

(1)

и удовлетворяющий условиям

(2)

(3)

Линейная функция называется целевой функцией задачи. Условия (2) называются функциональными, а (3) - прямыми ограничениями задачи.

Вектор , компоненты которого удовлетворяют функциональным и прямым ограничениям задачи, будем называть планом, или допустимым решением ЗЛП.

Все допустимые решения образуют область определения задачи линейного программирования, или область допустимых решений. Допустимое решение, максимизирующее целевую функцию f(x), называется оптимальным планом задачи

,

где - оптимальное решение ЗЛП. Будем считать, что ЗЛП записана в канонической форме, если ее целевая функция максимизируется, ограничения имеют вид равенств с неотрицательной правой частью и все переменные неотрицательны.

На практике хорошо зарекомендовали себя следующие модели, относящиеся к оптимизационным: модели определения оптимальной производственной программы, модели оптимального смешивания компонентов, оптимального раскроя, оптимального размещения предприятий некоторой отрасли на определенной территории, модели формирования оптимального портфеля ценных бумаг, модели транспортной задачи.

Умение составлять математические модели задач оптимизации, решать эти задачи будет применено в дисциплинах «Оценка и анализ рисков», «Управление рисками предприятия», а также при написании выпускных квалификационных работ.

В качестве основного литературного источника по данной теме рекомендуется использовать [1,2,3], в качестве дополнительного – [4,5,6].