Выбор между явными и неявными методами в процедурах моделирования мехатронных с-м (их достоинства и недостатки)

Неявные методы лучше приспособлены для решения систем диф. и алгебраических уравнений, к тому же они более устойчивы. В рез-те, несмотря на большие затраты машинного времени на каждом шаге интегрирования, связанные с необходимостью решения с-м лин. алгебраических ур-ний, общ. затраты м.б. знач-но меньше за счет увеличения шага интегрирования и уменьшения общего кол-ва шагов.

Рассмотрим эту особенность.

.

Применим указанные формулы для численного интегрирования простейшего лин. ДУ:

.

Характеристическое уравнение данной динамической системы имеет вид , или , где – постоянная времени системы.

Разностное ур-ие, соответствующее численному решению явным методом Эйлера, запишется как

.

Условие уст-ти полученного ур-ия: или ..

Для метода Рунге-Кутты 4-го порядка требование устойчивости ограничивает шаг величиной , или, в более общем виде, , где – макс. Собств. значение матрицы Якоби.

Применение неявного метода Эйлера к той же системе дает

,

где ограничение на величину шага выглядит по другому: , что позволяет выбрать шаг любой величины, ориентируясь только на требуемый уровень погрешности.

Подготовка ДУ к численному интегрированию

Реальные мехатронные объекты и мехатронные системы описываются, как правило, системами нелинейных алгебраических и дифференциальных уравнений. Для большинства задач, представляющих практический интерес, решение их аналитическими методами невозможно. Результаты могут быть получены путем построения приближенных решений с помощью численных методов интегрирования, в частности конечно-разностных методов.

Общая идея численного интегрирования обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) заключается в том, что производится дискретизация независимой переменной - времени на интервале и замена ее рядом значений (принцип ). Расстояние между двумя соседними значениями называется шагом интегрирования. В частном случае он может быть постоянным на всем заданном интервале изменения переменной . В результате, системе дифференциальных уравнений тем или иным способом ставится в соответствие система конечно-разностных уравнений

,

где – некоторая вектор-функция, определяемая способом построения метода; – количество предыдущих точек, которые используются в методе интегрирования.

Процедура интегрирования предполагает решение полученной системы конечно-разностных уравнений для фиксированных моментов времени , начиная с момента , для которого определено начальное состояние исследуемой системы . Соответственно, решение получается в виде совокупности значений для заданных моментов времени.