Основные задачи теории систем массового обслуживания заключаются

- в расчете характеристик СМО (например, вероятность отказа в обслуживании, среднее число заявок в системе, среднее число занятых каналов и т.д.);

- оценке эффективности СМО на основе рассчитанных характеристик;

- оптимизации параметров СМО.

10.2. Системы массового обслуживания, в которых протекает Марковский случайный процесс «гибели и размножения»

10.2.1. Основные типы систем, соответствующие процессу «гибели и размножения»

 

Ниже приведены основные типы систем, соответствующие процессу «гибели и размножения», и формулы для расчета основных характеристик.

1. Многоканальные системы без потерь с неограниченным ожиданием и бесконечным потоком требований на входе (разомкнутые системы):

 

 

 

μ – интенсивность потока обслуживания;

λ – интенсивность входного потока;

N – число каналов обслуживания;

 

2. Многоканальные системы с отказами и бесконечным потоком требований на входе (разомкнутые системы):

 

 

 

Граф динамики многоканальной системы такого вида остается таким же, как и на рис. 1, только количество состояний в графе конечно и равно N+m+1, включая нулевое состояние, где m – величина, ограничивающая длину очереди (в другой терминологии – m – количество мест в накопителе очереди).

3. Многоканальные системы без потерь с источником конечного числа требований (замкнутые системы):

 

 

 

m – максимальное число заявок в СМО, число состояний СМО – m+1, включая нулевое состояние.

 

10.2.2. Расчет характеристик СМО на основе использования аналитического метода

1. Расчет многоканальных систем без потерь с неограниченным ожиданием и бесконечным потоком требований на входе (разомкнутые системы)

Для нахождения предельных вероятностей состояний составляется система уравнений Колмогорова. Ниже приведены конечные формулы для расчета вероятностей состояний, выведенные из системы уравнений Колмогорова.

 

,

 

вероятность загрузки системы:

вероятность отказа в обслуживании:

, т.к. любая заявка будет рано или поздно обслужена.

среднее число требований в очереди:

,

среднее время ожидания в очереди:

среднее число занятых каналов:

среднее число заявок в системе:

, т.е. среднее число заявок в очереди плюс среднее число занятых каналов;

среднее время пребывания требования в системе:

, т.е. среднее время ожидания в очереди плюс среднее время обслуживания.

2. Расчет многоканальных систем с отказами и бесконечным потоком требований на входе (разомкнутые системы)

Для нахождения предельных вероятностей состояний составляется система уравнений Колмогорова. Ниже приведены конечные формулы для расчета вероятностей состояний, выведенные из системы уравнений Колмогорова.

, ,

вероятность загрузки системы:

вероятность отказа в обслуживании:

, в случае если заняты все каналы и все места в очереди заявка получает отказ.

среднее число требований в очереди:

среднее время ожидания в очереди:

среднее число занятых каналов:

)

среднее число заявок в системе:

, т.е. среднее число заявок в очереди плюс среднее число занятых каналов;

среднее время пребывания требования в системе:

, т.е. среднее время ожидания в очереди плюс среднее время обслуживания.

3. Расчет многоканальных систем без потерь с источником конечного числа требований (замкнутые системы)

Для нахождения предельных вероятностей состояний составляется система уравнений Колмогорова. Ниже приведены конечные формулы для расчета вероятностей состояний, выведенные из системы уравнений Колмогорова.

,

вероятность загрузки системы:

вероятность отказа в обслуживании:

, т.к. любая заявка будет рано или поздно обслужена

среднее число требований в очереди:

среднее время ожидания в очереди:

среднее число заявок в системе:

, т.е. среднее число заявок в очереди плюс среднее число занятых каналов;

среднее число занятых каналов:

среднее время пребывания требования в системе:

.