Правила построения примитивных кодов бчх

 

Коды Боуза-Чоудхури-Хоквингема (БЧХ) - это линейные блочные коды. При определенном построении они могут быть систематическими. Коды БЧХ представляют собой обобщенные коды Хэмминга, позволяющие исправлять кратные ошибки. В общем случае коды БЧХ являются циклическими. Коды БЧХ представляют большой класс легко строящихся кодов с варьируемыми в широких пределах длиной блока и скоростью. Достоинства этих кодов обусловлены не только гибкостью выбора их параметров, но и тем, что при длинах блока около нескольких сотен элементов многие из них являются оптимальными среди всех известных кодов с теми же длиной и скоростью.

О спектре кодов БЧХ в общем случае известно немного. В некоторых случаях, когда или мало, перебор позволяет найти спектр некоторых из этих кодов.

Примитивным кодом БЧХ, исправляющим ошибок, называется блоковый код длиной над полем , для которого элементы (для произвольного ) являются корнями порождающего многочлена , где a - примитивный элемент поля .

Порождающий многочлен есть наименьшее общее кратное минимальных функций своих корней:

,

(1.22)

где - набор минимальных функций корней .

Коды с начальным значением называются кодами БЧХ в узком смысле.

Минимальные функции корней могут быть непосредственно вычислены по правилам, изложенным в п. 4.1.4, или найдены в табл.1.6 неприводимых многочленов.

Пример. Пусть нужно найти порождающий многочлен примитивного кода БЧХ (в узком смысле), исправляющего 3 ошибки и имеющего длину 15. Для этого корнями порождающего полинома должны быть элементы a, a², a³, a⁴, a⁵, a⁶, где a - примитивный элемент поля GF(16) (количество корней определяется как ). Пусть поле порождается примитивным многочленом 23 (10011). Ниже приводится поле Галуа , в котором каждому элементу поля соответствует минимальная функция.

 

Вычисление минимальных функций корней дает

 

,

 

аналогично для других минимальных функций:

 

.

 

После перемножения полученных минимальных функций порождающий многочлен примет вид

.

Результирующий многочлен порождает (15,5)-код БЧХ, исправляющий три ошибки. Используя порождающий многочлен кода БЧХ можно получить проверочный многочлен, порождающую и проверочную матрицы. Кодирование и вычисление синдромов может быть осуществлено как по порождающему многочлену, так и по порождающей и проверочной матрицам.

 

Таблица 1.6

Примечание: все сомножители представлены в восьмеричной форме.