Нечеткие множества в моделировании

 

Использование традиционной математики при построении моделей систем ограничено достаточно жесткими условиями, в первую очередь такими, как четкость: четкость оперирования входными данными, четкость формализации критериев эффективности и одновременно практически непреодолимые трудности оперирования качественными характеристиками. Многие из этих ограничений могут быть сняты или смягчены при использовании инструментария, базирующегося на нечетких множествах.

Понятие нечеткого множества

Под четким множеством или просто множеством, обычно понимают некоторую совокупность определенных и различимых между собой объектов нашей интуиции и интеллекта мыслимую как единое целое. В данном высказывании отметим следующий момент: множество A есть совокупность определенных объектов. Это означает, что относительно любого х можно однозначно сказать, принадлежит ли он множеству A или нет.

Условие принадлежности элемента х множеству A можно записать, используя понятие функции принадлежности m(х), a именно

 

 

Следовательно, множество можно задать в виде совокупности пар: элемента и значения его функции принадлежности

 

A = {(х|m(х)} (1)

 

Пример 1. Кафедра предлагает пять элективных курсов x₁, x₂, x₃, x₄ и x₅. В соответствии с программой необходимо сд три курса. Студент выбрал для изучения курсы x₂, х₃ и x₅. Запишем этот факт с помощью функции принадлежности

где первый элемент каждой пары означает название курса, а второй - описывает факт принадлежности его к подмножеству выбранному данным студентом ("да" или "нет").

Примеров четких множеств можно привести бесконечно много: список студентов учебной группы, множество домов на данной улице города, множество молекул в капле воды и т.д.

Между тем, огромный объем человеческих знаний и связей с внешним миром включают такие понятия, которые нельзя назвать множествами в смысле (1). Их следует скорее считать классами с нечеткими границами, когда переход от принадлежности одному классу к принадлежности другому происходит постепенно, не резко. Тем самым предполагается, что логика человеческого рассуждения основывается не на классической двузначной логике, а на логике с нечеткими значениями истинности, - нечеткими связками и нечеткими правилами вывода [89]. Вот несколько тому примеров: объем статьи примерно 12 страниц, большая часть территории, подавляющее превосходство в игре, группа из нескольких человек.

Остановимся на последнем примере. Ясно, что группа людей из 3, 5, или 9 человек принадлежит к понятию: "группа людей, состоящее из нескольких человек". Однако для них будет неодинаковой степень уверенности в принадлежности к этому понятию, которая зависит от различных, в том числе и от субъективных, обстоятельств. Формализовать эти обстоятельства можно, если предположить, что функция принадлежности может принимать любые значения на отрезке [0,1]. Причем крайние значения предписываются в том случае, если элемент безусловно не принадлежит или однозначно принадлежит данному понятию. В частности, множество людей A из нескольких человек может быть описано выражением вида:

 

A = {(1½0), 2½0.1), 3½0.4), (4½1), (5½1), (6½1), (7½0.8), (8½0.3), (9½0.1), (a½0)

при a ³10}.

 

Приведем определение нечеткого множества, данное основателем теории нечетких множеств Л.А.Заде. Пусть х есть элемент конкретного универсального (так называемого базового) множества E. Тогда нечетким (размытым) множеством A заданным на базовом множестве E называют множество упорядоченных пар

A = {xúm _{A (}(x)}, "x Î E,

где m _A (х) - функция принадлежности, отображающая множество E в единичный интервал [0,1], т.е. m _A (х): E ® [0,1].

Очевидно, что если область значений m _A (х) ограничить двумя числами 0 и 1, то данное определение будет совпадать с понятием обычного (четкого) множества.

Функция принадлежности нечеткого множества может задаваться не только перечислением всех ее значений для каждого элемента базового множества, но и в виде аналитического выражения. Например, множество вещественных чисел Z очень близких к числу 2, может быть задано так:

Z = {xúm _{Z (}x)}, "x Î R,

где m _Z (x) = .

 

 

Множество же вещественных чисел Y, достаточно близких к числу 2, есть

Y = {xúm _Y (x)}, "x Î R,

m_{Y Z} (x) = .

 

Графическое изображение этих двух функций принадлежности дано на рис.3.9.

 

 

Определение. Нечеткое множество A называется нечетким подмножеством B, если и A и B заданы на одном и том же базовом множестве E и "x Î E: m _A (x) £ m _B (x), что обозначают как A Ì B.

Условия равенства двух нечетких множеств A и B, заданных на одном и том же базовом множестве E, имеет следующий вид

 

A = B или "х Î E: m _A (x) = m _B (x).

 

Замечание. Между разными по своей сути понятиями "нечеткости" и "вероятности" чувствуется некоторое сходство. Во-первых, эти понятия используются в задачах, где встречается неопределенность либо неточность наших знаний или же принципиальная невозможность точных предсказаний результатов решений. Во-вторых, интервалы изменения и вероятности и функции принадлежности совпадают:

 

и P Î [0,1] и m _A (x) Î [0,1].

 

Вместе с тем вероятность является характеристикой объективной и выводы, полученные на основе применения теории вероятностей, в принципе могут быть проверены на опыте.

Функция же принадлежности определяется субъективно, хотя обычно она отражает реальные соотношения между рассматриваемыми объектами. Об эффективности применения методов, основанных на теории нечетких множеств, обычно судят после получения конкретных результатов.

Если в теории вероятностей предполагается, что вероятность достоверного события равна единице, т.е.

то соответствующая сумма всех значений функции принадлежности может принимать любые значения от 0 до ¥.

Итак, чтобы задать нечеткое множество A необходимо определить базовое множество элементов E, и сформировать функцию принадлежности m _A (х), являющуюся субъективной мерой уверенности, с которой каждый элемент x из E принадлежит данному нечеткому множеству A.