Этап формирования математической модели

Сформулируем общие методические рекомендации важные для практики построения математической модели задачи. При переходе от словесной постановки задачи к постановке формальной целесообразно следовать специфической логике формального мышления, которая в некоторых моментах существенно отличается от так называемой повседневной логики. Ее основу составляет математическая логика,могущая дать ответы навопросы применения математических методов для решения задач построения математических моделей на основе моделей вербальных и общая математическая грамотность.

При собственно построении математической модели центральным является вопрос о том, как при помощи формальных средств (вообще говоря, скудных и жестко организованных) достаточно адекватно отобразить необходимую совокупность свойств рассматриваемой системы. Дело в том, что здесь налицо диалектическое противоречие между ограниченным арсеналом возможностей используемых математических инструментов и бесконечным многообразием далеко еще не исследованным окружающим нас миром. Преодоление этого противоречия в каждом конкретном случае осуществляется на пути компромисса, причем, как правило, за счет уступок со стороны адекватности отображения объекта-оригинала.

На данное обстоятельство указывают многие авторы. Однако среди возможных «подводных камней» обычно отмечается лишь неточность отображения исследуемых аспектов математическими конструкциями. Подтверждая справедливость данного замечания, следует обратить внимание еще и на то, что те или иные математические построения справедливы при выполнении лишь строго определенных условий (о чем «практики», к сожалению, часто забывают). При построении математических моделей особое внимание следует уделять проверке выполнимости условий применимости данного математического инструментария. Например, имеет место следующий постулат: в теории вероятностей рассматривается только такой случайный опыт , который в указанных (неизменных) условиях можно воспроизводить во времени или пространстве бесконечное число раз.. Отсюда следует: чтобы обрабатывать результаты серии опытов в каждом из них условия должны быть совершенно одинаковыми, что далеко не всегда соблюдается на практике. Так, например, при проведении социологического опроса в различных населенных пунктах полученный статистический материал всегда считается однородным, хотя очевидно, что на одни и те же вопросы жители юга и севера, приморья и глубинных районов могут отвечать по-разному. Другой пример: построенные на базе теории массового обслуживания модели могут быть адекватны, если, в частности, выполнены требования к входящему потоку (обычно требуется, чтобы поток должен быть пуассоновским).

Построение математической модели целесообразно начинать с выяснения: что требуется определить, дать развернутую интерпретацию и обязательно ввести соответствующее формальное обозначение того, что требуется найти (так в задаче 2 неизвестными были высота и ширина сечения канала). Это простейшее и естественное правило на практике очень часто игнорируется именно в силу его тривиальности, что в дальнейшем непременно приводит к методическим затруднениям.

Вместе с тем здесь находится один из ключей к успешному построению модели. Введение обозначения искомого означает, что дальнейшие построения осуществляются при условии, что оно (как бы) известно. Конечно же, следует ввести буквенные обозначения и для всех иных компонентов задачи. Далее делается попытка связать введенные обозначения математическими отношениями, используя условия задачи и принятые предположения.

Среди формализуемых отношений особо важное место должно быть отведено формированию (в моделях нормативного типа) критериальной функции. Многие исследователи путают то, что надо найти, с собственно экстремизируемой характеристикой. В предыдущей задаче минимизируется функция , описывающая расход облицовочного материала. Найти ж е требуется значения величин и . Другое дело, что не любые и , а именно те, которые обращают функцию в минимум. В этой связи методически целесообразно модель задачи 2 записать в следующей форме:

 

 

Обратим внимание на то, что запись отношений осуществляется в предположении, что «искомое известно» Многих это смущает, поскольку цель задачи в том, чтобы искомое сделать известным, а тут надо, оказывается, предположить, что оно уже известно. Суть построения математической модели именно в том и заключается, что условия задачи переводят на язык математики, причем обозначенными характеристиками оперируют как с известными, в то время как необозначенные не должны приниматься в расчет. Однако не все так просто.

При построении математической модели практически всегда целесообразно ввести формализованную запись и тех условий, которые в тексте задачи явно не указаны, но они подразумеваются, предполагаются или допускаются, поскольку именно они в значительной мере определят границы применимости полученных в итоге результатов.

Например, часто по умолчанию считается, что не учитывается трение, считается, что цена товара не зависит от объема его выпуска, связь между параметрами линейна и т.п. Кроме того, могут напрямую вводиться дополнительные сведения. Так в задаче о подброшенном предмете вводится, в частности, информация о том, что «предмет выпущен с уровня земли». Это обстоятельство формализуется тем, что высота уровня земли и исходное положения подбрасываемого предмета принимаются равными нулю.

Итак, при построении математической модели субъект, как правило, вводит в задачу дополнительные сведения. Чаще всего это обусловлено необходимостью упрощения того или иного обстоятельства (иначе математическая модель была бы полным эквивалентом вербальной постановки задачи, что в общем случае невозможно) или подведением под условия некоторой математической схемы. Именно этот момент является наиболее сложным и ответственным: от того, насколько корректно были введены эти дополнительные сведения, в значительной мере зависит адекватность модели.

Примечание. В тех случаях, когда используется описание с помощью линейной модели, следует проверять наличие у модели таких свойств, как пропорциональность и аддитивность [65]. Пропорциональность означает, что вклад каждой переменной должен быть прямо пропорционален величине этой переменной. При планировании выпуска товара часто используют модели линейного программирования. При этом доход считают пропорциональным числу реализованных единиц товара. Однако на практике при увеличении реализуемой партии товара принято делать скидку, что не согласуется с предположением о линейной связи выручки от объема проданного товара.

Аддитивность означает, что и целевая функция и ограничения должны представлять собой сумму вкладов от различных переменных. Примером нарушения аддитивности служит ситуация, когда увеличение сбыта одного из конкурирующих видов продукции, производимых одной фирмой, влияет на объем реализации другого.

В качестве примера рассмотрим известную задачу коммивояжера. Задано множество пунктов, каждый данный из которых непосредственно связан с каждым другим. Для перехода из одного пункта непосредственно в каждый другой пункт требуется затратить известный объем ресурса. Бродячий торговец (коммивояжер), выйдя из известного пункта, должен посетить ровно один раз каждый из других пунктов заданного множества и вернуться в исходный пункт так, чтобы суммарный расход ресурса на все его переходы был минимален. Требуется: при данных условиях найти маршрут коммивояжера.

Существенную методическую трудность в данном случае составляет формализация искомого маршрута. Исходя из интуитивных соображений, студент называет маршрутом упорядоченную последовательность посещенных пунктов: (). Этот, безусловно, верно. Однако непосредственно использовать его при построении математической модели задачи не понятно как, поскольку его трудно аналитически связать с условиями задачи. Практически очевидно, что условия задачи можно частично формализовать, введя матрицу - матрицу затрат ресурсов при переходе от пункта к пункту: , где ( - общее количество пунктов). Теперь легче догадаться, что искомый маршрут можно предложить ввести при помощи следующего условия

 

 

Становится практически очевидным, что искомый маршрут удобно формализовать в виде матрицы , элементы которой в соответствии с этим правилом есть 1, если коммивояжер согласно маршруту из пункта непосредственно проходит в пункт . Теперь задача состоит в том, чтобы найти эту матрицу . Целевая функция – суммарные расходы ресурса, затрачиваемые на переходы согласно маршруту, компоненты которого зафиксированы в матрице в виде единиц, стоящих в соответствующей строке (пункте очередного выхода) и столбце (пункте очередного прибытия). Формальная запись этой целевой функции может быть следующей

.

Эта функция и должна быть минимизирована.

Построение модели продолжается на пути формализации неиспользованных условий задачи. В частности: каждый пункт посещается ровно один раз (в каждой строке и в каждом столбце матрицы имеется ровно она единица), посещаются все без исключения пункты (записываются условия запрета совершать сокращенные маршруты) и коммивояжер возвращается в пункт отправления, что приводит к широко известной математической модели целочисленного линейного программирования (подробнее можно посмотреть, например, в работе [66]

Несомненно, что в основе задачи построения математической модели находятся сведения об объекте моделирования. Они определяют не только основную цель моделирования, но и математическую схему моделирования. В целом, процесс математического моделирования может развиваться по одному из двух основных сценариев [67]. Наиболее распространен следующий: сформулированную задачу пытаются формализовать (вводя дополнительные допущения) в виде одной из известных исследователю математических схем. Это путь подгонки задачи под модель или, как говорят «путь от модели к задаче». Тем самым условия применимости модели в известной мере доминируют над условиями задачи. В этой связи главными становятся трудности связанные с обеспечением адекватности используемой модели поставленной задаче. Если сделанные допущения позволили построить модель известного типа, и она оказалась достаточно адекватной поставленной задаче, то к вашим услугам весь арсенал наработок соответствующей теории и практики использования данной математической схемы.

К сожалению, так получается далеко не всегда, и в этом случае действуют по схеме «от задачи к модели». Главная преследуемая при этом цель - конструирование математической модели в достаточной мере адекватной рассматриваемой задаче. Если такая модель построена, то она, как правило, достаточно адекватна рассматриваемой ситуации. Однако после построенной при таком подходе модели часто возникают вопросы, связанные с поиском метода решения, который может быть неизвестен исследователю или вообще не существовать (модель-то хороша, но что с ней делать дальше?).

Именно в этой связи современный специалист любого направления подготовки должен представлять себе современное состояние науки о математическом моделировании, знать основные математические схемы, их свойства и соответствующие методы решения, поскольку каждый тип математической модели имеет свои особенности, ориентирован на тот или иной класс задач, связан с определенными требованиями к вычислительной технике и т.п. Тем самым становится полезным знакомство с классификацией математических моделей.