Кореляційно – регресійний аналіз.

Основні завдання кореляційного аналізу:

1. Описання за допомогою рівняння регресії (рівняння кореляційного зв’язку) зв’язку між досліджуваними ознаками.

2. Оцінка тісноти зв’язку.

Передумови застосування кореляційного аналізу:

· наявність причинно-наслідкових зв’язків між досліджуваними ознаками;

· достатність варіації (варіація вважається достатньою, якщо коефіцієнт варіації V>10%);

· однорідність сукупності (визначається за τ - критерієм);

· числовий вираз досліджуваних ознак.

Графічне зображення статистичних показників дає наочне уявлення про наявність зв’язку між досліджуваними ознаками. При побудові кореляційного поля на осі абсцис відкладають факторну ознаку, на осі ординат - результативну. На поле наносяться точки з координатами, які відповідають значенням ознак окремих одиниць спостереження. За розташуванням точок можна виявити характер залежності. Чим більший розкид точок по кореляційному полю, тим слабкіша залежність. Розкид точок у певному напрямі свідчить про прямий чи обернений зв’язок. Як правило, на кореляційне поле наносять лінію регресії y по x, а також лінії, які відповідають середнім значенням ознак.

Залежно від форми зв’язку між факторною і результативною ознаками вибирають тип математичного рівняння. Прямолінійну форму зв’язку визначають за рівнянням прямої лінії

y_{x =} a₀ + a₁∙х,

де y_x - теоретичні значення результативної ознаки;

a₀, a₁ - коефіцієнти регресії.

Коефіцієнт регресії a₀ , з економічної точки зору, не несе ніякої інформації. Коефіцієнт регресії a₁ показує, на скільки зміниться результативна ознака при зміні факторної ознаки на одиницю.

При прямому зв’язку між корелюючими ознаками коефіцієнт регресії a₁ матиме додатне значення, при зворотному - від’ємне.

Параметри a₀ і a₁ рівняння регресії обчислюють способом найменших квадратів. Суть цього способу полягає в знаходженні таких параметрів рівняння зв’язку, при яких сума квадратів відхилень фактичних значень від теоретичних буде мінімальною:

∑(у-у_х) = min.

Спосіб найменших квадратів зводиться до складання і розв’язання системи двох рівнянь з двома невідомими:

n∙a₀ + a₁∙∑x =∑y

a₀∙∑x + a₁∙∑x²= ∑ x∙y.

Для оцінки тісноти зв’язку між досліджуваними ознаками застосовують:

· Індекс кореляції - універсальний показник, який використовують при будь-яких формах зв’язків:

Індекс кореляції змінюється в межах від 0 до +1.

· Коефіцієнт кореляції - використовують тільки при прямолінійних зв’язках:

Коефіцієнт кореляції знаходиться в межах від 0 до +1 при прямому зв’язку і від -1 до 0 - при зворотному зв’язку. Чим ближче коефіцієнт кореляції до ± 1, тим тісніший зв’язок між досліджуваними ознаками, чим ближче коефіцієнт кореляції до 0, тим слабший зв’язок між ознаками.

· Коефіцієнт детермінації, який показує, на скільки відсотків варіація результативної ознаки зумовлена варіацією факторної ознаки:

Приклад. Побудувати рівняння регресії, що описує залежність урожайності озимої пшениц, ц/гаі (у) від якості грунту, балі (х)

Оцінити щільність зв’язку між досліджуваними ознаками.

Таблиця 8.4.1.

Вихідні та розрахункові дані для побудови рівняння регресії

№ п/п	у	х	у	х	у х	у	ух
1	33,4	74	1115,56	5476	2471,6	38,2669	182898,4
2	39,6	83	1568,16	6889	3286,8	40,5278	272804,4
3	39,8	83	1584,04	6889	3303,4	40,5278	274182,2
4	36,4	85	1324,96	7225	3094,0	41,0302	262990,0
5	37,6	84	1413,76	7056	3158,4	40,7790	265305,6
6	39,5	83	1560,25	6889	3278,5	40,5278	272115,5
7	40,2	87	1616,04	7569	3497,4	41,5326	304273,8
8	42,4	81	1797,76	6561	3434,4	40,0253	278186,4
9	40,2	75	1616,04	5625	3015,0	38,5181	226125,0
10	40,6	74	1648,36	5476	3004,4	38,2669	222325,6
11	42,2	70	1780,84	4900	2954,0	37,2621	206780,0
12	43,8	81	1918,44	6561	3547,8	40,0253	287371,8
13	43,9	87	1927,21	7569	3819,3	41,5326	332279,1
14	43,1	80	1857,61	6400	3448,0	39,7741	275840,0
15	35,9	69	1288,81	4761	2477,1	37,0109	170919,9
16	40,6	86	1648,36	7396	3491,6	41,2814	300277,6
17	43,0	79	1849,00	6241	3397,0	39,5229	268363,0
18	43,2	80	1866,24	6400	3456,0	39,7741	276480,0
19	33,0	72	1089,00	5184	2376,0	37,7645	171072,0
20	40,0	88	1600,00	7744	3520,0	41,7838	309760,0
21	42,2	83	1780,84	6889	3502,6	40,5278	290715,8
22	33,4	70	1115,56	4900	2338	37,2621	163660,0
23	40,0	89	1600,00	7921	3560	42,0350	316840,0
24	35,8	73	1281,64	5329	2613,4	38,0157	190778,2
25	43,8	81	1918,44	6561	3547,8	40,0253	287371,8
∑	993,6	1997	39766,92	160411	79592,5	993,60	6409716

25a + 1997a = 993,6

1997a + 160411a = 79592,5

a + 79,88 a = 39,744

a + 80,326 a = 39,856

Звідси, a = 19,6779

a = 0,2512

Рівняння регресії має вигляд: у = 19,6779 +0,2512х.

Коефіцієнт регресії a = 0,2512 показує, що із покращенням якості грунту на 1 бал, урожайність озимої пшениці підвищується, в середньому, на 0,2512 ц/га.

Для оцінки тісноти зв’язку між досліджуваними ознаками обчислюємо:

1) індекс кореляції:

= 0,56

2) Коефіцієнт кореляції:

= = 0,5

3) Коефіцієнт детермінації, який показує, на скільки відсотків варіація результативної ознаки зумовлена варіацією факторної ознаки:

R = 0,5 х 100% = 25 %.

Варіація урожайності озимої пшениці на 25% зумовлена варіацією якості грунту, балів.

Суттєвість коефіцієнта кореляції перевіримо за допомогою F- критерію Фішера.

Формулюємо нульову гіпотезу Н : коефіцієнт кореляції є несуттєвим.

F=

F= = 7,57

При рівні ймовірності Р=0,95, число ступенів вільності становить:

На підставі заданого рівня ймовірності та визначеного числа ступенів вільності із таблиць визначаємо критичну точку: F =4,28

Так як фактичне значення F- критерію перевищує критичну точку, то нульова гіпотеза не приймається, тобто коефіцієнт кореляції є суттєвим.

 

При криволінійній формі зв’язку збільшення факторної ознаки призводить до нерівномірного збільшення (або зменшення), або ж зростання її величини змінюється зниженням, а зменшення - збільшенням результативної ознаки.

Нелінійні форми зв’язку різні. Для визначення зв’язку між ознаками, взаємозалежність яких передбачає можливість існування оптимальних розмірів опеацій, використовують рівняння параболи:

y_{x =} a₀ + a₁∙х+ a₂∙х².

Для визначення параметрів рівняння необхідно розв’язати систему з трьох

рівнянь:

n∙a₀ + a₁∙∑x + a₂∙∑x² =∑y;

a₀∙∑x + a₁∙∑x^{2 +} a₂∙∑x³= ∑ x∙y;

a₀∙∑x² + a₁∙∑x^{3 +} a₂∙∑x⁴= ∑ x∙y ².

Однією з особливостей цього типу кривої є те, що вона завжди має точку перетину, яка характеризує оптимальний варіант розміру величини результативної ознаки і змінює напрям свого руху лише один раз. Якщо в рівнянні величина a₁ виражена від’ємним числом, а a₂ - додатнім, то крива змінюватиме напрям зниження на зростання.

Для оцінки тісноти зв’язку, як вже зазначалось, при криволінійних зв’язках використовують індекс кореляції та коефіцієнт детермінації.

Для дослідження впливу двох і більше факторів на зміну результативного показника застосовують множинну кореляцію.

Припущення про існування лінійного рівняння множинної регресії може бути представлено у вигляді:

y_{x1, х2...хn =} a₀ + a₁∙х₁+ a₂∙х₂+ a₃∙х₃ + ··· + a_n∙х_n.

Окремі коефіцієнти рівняння регресії характеризують вплив відповідного фактора на результативний показник, при умові, що інші фактори еліміновані. Вільний член рівняння a₀ не має економічного змісту і не інтерпретується.

Параметри рівняння множинної регресії розраховують за системою нормальних рівнянь:

n∙a₀ + a₁∙∑x₁ + a₂∙∑x₂ =∑y;

a₀∙∑x₁ + a₁∙∑x₁^{2 +} a₂∙∑x₁∙х₂= ∑ x₁∙y;

a₀∙∑x₂ + a₁∙∑ x₁∙х₂ ⁺ a₂∙∑x₂²= ∑ x₂∙y.

 

Показниками тісноти зв’язку при множинній кореляції є парні, часткові, множинний коефіцієнти кореляції, множинний коефіцієнт детермінації і часткові коефіцієнти детермінації.

Парні коефіцієнти кореляції характеризують тісноту зв’язку між двома ознаками без урахування їх взаємодії з іншими ознаками:

 

 

Часткові коефіцієнти кореляції характеризують тісноту заявку результативної ознаки з однією факторною ознакою при умові, що інші факторні ознаки еліміновані:

 

Множинний коефіцієнт кореляції характеризує тісноту зв’язку між всіма досліджуваними в моделі факторами:

або

Множинний коефіцієнт детермінації розраховують за формулою:

D = R² ∙100%.

В свою чергу, множинний коефіцієнт детермінації розкладають на часткові коефіцієнти детермінації, які характеризують на скільки відсотків варіація результативної ознаки залежить від варіації кожної із факторних ознак.

D = d₁ + d₂.

Крім цього, здійснюють перевірку суттєвості множинного коефіцієнта кореляції (за F- критерієм) та коефіцієнтів регресії (за t - критерієм).

Важливими показниками кореляційного аналізу є коефіцієнти еластичності і β - коефіцієнти.

Коефіцієнти еластичності показують, на скільки відсотків змінюється результативна ознака при зміні факторної ознаки на 1%. Обчислюють їх за формулою:

β - коефіцієнти показують, на скільки середніх квадратичних відхилень змінюється результативна ознака при зміні відповідного фактора на одне середнє квадратичне відхилення. Їх визначають за формулою:

Непараметрична кореляція

Якщо характер розподілу досліджуваної сукупності невідомий, то тісноту кореляційного зв’язку визначають за допомогою непараметричних методів. Особливістю цих методів є те, що коефіцієнт кореляції між ознаками визначають не за кількісними значеннями варіантів ознак, а за допомогою порівняння їх рангів. Ранг - порядковий номер відповідної одиниці сукупності в ранжированому ряді. Чим менша розбіжність між порядковими номерами порівнюваних ознак, тим тісніший зв’язок між ними.

До непараметричних критеріїв кореляційних зв’язків належать: коефіцієнт кореляції рангів, коефіцієнт Фехнера, коефіцієнт контингенції, та коефіцієнт асоціації

Коефіцієнт кореляції рангів - це один із найпростіших показників тісноти кореляційної залежності. Обчислюють його за формулою Спірмена:

де d - різниця між рангами досліджуваних ознак; n - кількість спостережень.

Коефіцієнт кореляції рангів може приймати значення від 0 до +1 і від 0 до -1. Якщо обидва ряди повністю збігаються, то ∑ d ² = 0 і коефіцієнт кореляції дорівнює +1. При повному зворотному зв’язку, коли ранги розташовані у зворотному порядку, коефіцієнт кореляції дорівнює -1.

Коефіцієнт Фехнера визначають шляхом зіставлення знаків відхилень від середнього і підрахунку числа співпадань і неспівпадань знаків:

,

де З – число пар з однаковими знаками відхилень х і у від від ;

Н – число пар з різними знаками відхилень х і у від від .

Коефіцієнт Фехнера може приймати значення від 0 до +1 і від 0 до -1. Знак «+», «-» вказує на напрям зв’язку.

Для оцінки тісноти зв’язку між альтернативними ознаками із протилежними (взаємовиключними) характеристиками, застосовують коефіцієнт асоціації і коефіцієнт контингенції. Для обчислення коефіцієнта асоціації та коефіцієнта контингенції використовують таблиці взаємної спряженості.

Коефіцієнт асоціації обчислюють за формулою:

.

Якщо >0,3, між досліджуваними ознаками існує зв'язок.

Наприклад, визначити вплив мінеральних добрив на урожайність озимої пшениці. Вихідні дані наведено в таблиці:

Урожайністьз ділянок	Обсяг добрив, га	Разом
внесених	невнесенених
Підвищено	110	10	120
Не підвищено	10	70	80
Разом	120	80	200

Коефіцієнт асоціації:

.

Отже, зв'язок між удобрюванням ділянок і врожайністю озимої пшениці – дуже щільний.

Коефіцієнт контингенції обчислюють за формулою:

.

Коефіцієнт контингенції може приймати значення від – 1 до 0 і від 0 до +1.

 

Питання для самоконтролю

1. Який зв'язок називають функціональним?

2. Який зв'язок називають кореляційним?

3. У чому полякає суть аналітичного групування?

4. Що характеризує кореляційне відношення?

5. Назвіть основні завдання кореляційно-регресійного аналізу.

6. Назвіть передумови застосування кореляційно-регресійного аналізу.

7. Що являє собою рівняння регресії?

8. Як обчислюють параметри лінійного рівняння регресії?

9. Які показники використовуються для оцінки тісноти зв’язку в кореляційно-регресійній моделі?

10. Що являють собою коефіцієнти еластичності?

11. Як перевіряють істотність коефіцієнтів регресії?

12. Як перевіряють істотність зв’язку в кореляційно-регресійній моделі?

13. В яких випадках використовують непараметричні методи вимірювання зв’язку?

14. Що являє собою коефіцієнт кореляції рангів? Методика його обчислення.

15. Що таке коефіцієнт Фехнера?

16. В яких випадках використовують коефіцієнти асоціації та контингенції?

 

Завдання для самостійної роботи

 

Задача 1.

За даними 25 господарств району (додаток А) обчислитити лінійне рівняння кореляційної залежності урожайністі зернових культур, ц/га від якості грунтів, балів. Оцінити щільність зв’язку між ознаками за допомогою коефіцієнта кореляції. Зробити висновки.

Задача 2.

За даними 25 господарств району (додаток А) обчислитити лінійне рівняння кореляційної залежності собівартості 1 ц льонотрести, грн. від урожайності льоноволокна, ц/га. Оцінити щільність зв’язку між ознаками за допомогою коефіцієнта кореляції. Зробити висновки.

Задача 3.

За даними 25 господарств району (додаток А) обчислитити лінійне рівняння кореляційної залежності ціни реалізації 1 ц льонотрести від урожайністі льоноволокна, ц/га. Оцінити щільність зв’язку між ознаками за допомогою коефіцієнта кореляції. Зробити висновки.

 

Задача 4.

За даними 25 господарств району (додаток А) обчислитити лінійне рівняння кореляційної залежності продуктивності праці, грн. від фондоозброєності праці, тис.грн. Оцінити щільність зв’язку між ознаками за допомогою коефіцієнта кореляції. Зробити висновки.

 

Задача 5.

За даними 25 господарств району (додаток А) обчислитити лінійне рівняння кореляційної залежності урожайністі зернових культур, ц/га від кількості внесених мінеральних добрив, ц д.р. Оцінити щільність зв’язку між ознаками за допомогою коефіцієнта кореляції. Зробити висновки.

 

Задача 6.

За даними 25 господарств району (додаток А) обчислитити лінійне рівняння кореляційної залежності урожайністі льоноволокна, ц/га від якості льонотрести, номерів. Оцінити щільність зв’язку між ознаками за допомогою коефіцієнта кореляції. Зробити висновки.