Поняття середньої величини, їх види, способи обчислення.

Середні величини - це узагальнюючі кількісні показники, що характеризують типові розміри варіюючих ознак якісно однорідних сукупностей. Коливання індивідуальних значень ознаки, що викликано дією різних факторів, урівноважуються в середній величині.

При обчисленні середньої величини необхідно дотримуватися слідуючих умов:

1. Ознака, за якою обчислюють середню, має бути істотною.

2. Середню потрібно обчислювати тільки для якісно однорідної сукупністі. Середні величини для неоднорідних сукупностей спотворюють типові розміри явищ і через це не мають наукового і пізнавального значення.

3. Розрахунок середньої величини має ґрунтуватися на обсязі усіх одиниць даного типу або досить великій кількості об’єктів сукупності, щоб випадкові коливання взаємно зрівноважували один одного і проявилася закономірність, типові розміри досліджуваної ознаки.

4. Необхідно зберігати незмінним загальний обсяг ознаки в сукупності у випадку заміни індивідуальних його значень середніми значенням.

Середні, що застосовують у статистиці, належать до класу степеневих.

Кожну середню можна визначити як просту, коли значення варіант спостерігаються в сукупності тільки один раз або однакову кількість разів, і як зважену, коли значення варіант повторюються різну кількість разів.

Для незгрупованих даних проста формула степеневої середньої має вигляд:

 

Якщо дані згруповані і мають відповідні частоти, середня степенева визначається за формулою середньої зваженої:

де k - показник стенепя, що визначає вид середньої; х - варіанта; f - частота.

 

Формули степеневих середніх

k	Загальний вигляд функції	Назва середньої	Формула розрахунку
проста	зважена
		Середня арифметична
- 1		Середня гармонійна
		Середня геометрична
		Середня квадратична

 

Співвідношення між середніми має назву правило мажорантності:

середня гармонійна <середня геометрична <середня арифметична<середня квадратична.

Приклад.

Тадлиця 4.3.1.

Кредитні ставки комерційних банків під короткострокові позики становили:

Кредитна ставка, %	Суми наданих позик, млн.грн.
1 квартал	2 квартал
До 30	1,5	5,6
30 - 40	5,3	10,8
40 - 50	8,7	7,9
50 і більше	6,2	6,5

За кожний квартал визначте середню кредитну ставку.

Розв’язання:

x	n	n	x	x* n	x* n
До 30	1,5	5,6	25	37,5	140,0
30 - 40	5,3	10,8	35	185,5	378,0
40 - 50	8,7	7,9	45	391,5	355,5
50 і більше	6,2	6,5	55	341,0	357,5
Разом	21,7	30,8	x	955,5	1231

Формула для обчислення – середня арифметична зважена:

;

=955,5/21,7=44,0 %

=1231/30,8=39,97%.

 

4.4. Математичні властивості середньої арифметичної:

1) Алгебраїчна сума відхилень усіх значень варіант від середньої дорівнює нулю

2) Якщо всі значення варіант збільшити (або зменшити) в певну кількість разів, то середня збільшиться (або зменшиться) в стільки ж разів.

3) Якщо всі значення варіант збільшити (або зменшити) на одну й ту ж величину, то середня арифметична, збільшиться (або зменшиться) на цю ж величину.

4) Якщо всі частоти збільшити (або зменшити) в будь-яке число, то середня арифметична при цьому не зміниться.

5) Сума квадратів відхилень варіант від середньої менша, ніж від будь-якої іншої величини:

) min

За способом моментів (або відрахунку від умовного нуля) середня арифметична визначається за формулою:

,

де А – умовний нуль.

 

Наприклад, визначити середній рівень урожайності озимої пшениці способом моментів.

Таблиця 4.4.1.

Вихідні та розрахункові дані

Групи господарств за урожайністю озимої пшениці, ц/га	Кількість господарств	х	хn
33,00 – 35,18	3	34,09	102,27	- 6
35,18 – 37,36	3	36,27	108,81	- 3
37,36 – 39,54	2	38,45	76,90	0
39,54 – 41,72	8	40,63	325,04	8
41,72 – 43,90	9	42,81	385,29	18
∑	25	х	998,31	17

1)

= = 39,9324 ц/га

2) Середня арифметична способом моментів(а = 38,45):

= 2,18 + 38,45 = 39,9324 ц/га.

 

 

Питання для самоконтролю.

1. Що являють собою абсолютні величини?

2. Назвіть одиниці вимірювання абсолютних величин?

3. Що таке віднсна величина?

4. Охарактеризуйте види відносних величин.

5. В яких одиницях вимірюються відносні величини?

6. Що таке середня величина?

7. Назвіть види середніх величин.

8. Назвіть умови застосування середніх величин.

9. В яких випадка використовується середня арифметична, формули для її обчислення.

10. В яких випадках використовується середня гармонійна, формули для її обчислення.

11. В яких випадках використовується середня геометрична, формули для її обчислення.

12. В яких випадках використовується середня квадратична, формули її обчислення.

13. Назвіть математичні властивості середньої арифметичної.

14. В чому полягає суть способу моментів?

 

 

Завдання для самостійної роботи

Задача 1

Виконання випуску продукції на рибоконсервному заводі за звітний період характеризується даними:

Асортимент продукції	Кількість продукції, тис.шт.	Місткість однієї банки, г
За планом	Фактично
Скумбрія
Сардина
Бички в томаті
Сайра в маслі

Визначити процент виконання плану випуску продукції:

1) в натуральному вираженні;

2) в умовно-натуральному вираженні (в перерахунку на банки місткістю 200 г).

 

Задача 2

Є дані про випуск окремих видів продукції, тис.т: мило господарче 60% - 43,0; мило господарче 40% - 30,0; мило туалетне – 42,0; пральний порошок – 1,1.

Визначити загальний обсяг виробництва шляхом вираження окремих видів продукції в умовних одиницях, якщо відомі коефіцієнти перерахунку в умовні одиниці: мило господарче 60% - 1,75; мило господарче 40% - 1,0; мило туалетне – 1,75; пральний порошок – 0,5.

 

Задача 3

У звітному періоді на виробничі потреби витрачено такі види палива: паливний мазут – 860 т, вугілля – 480 т, газ природний – 960 тис.м³.

Визначити загальний розмір витраченого у звітному періоді палива в умовних одиницях виміру, якщо відомі середні калорійнй еквіваленти для перерахунку видів палива в умовне паливо: паливний мазут – 1,37; вугілля – 0,9; газ природний – 1,2.

Задача 4

Підприємством планується збільшити продуктивність праці в другому

півріччі на 6%. План був виконаний на 95%. Визначити фактичне збільшення продуктивності праці.

 

Задача 5

Підприємством планується збільшити обсяг випусуку продукції в третьєму кварталі на 15%. План був виконаний на 92%. Визначити показник виконання плану по збільшенню випуску продукції.

Задача 6

Підприємством планується знизити собівартість продукції в четвертому кварталі на 5 %. Фактично підприємство знизило собівартість продукції на 7,5%. Визначити показник виконання плану зі зниження собівартості продукції.

 

Задача 7

Підприємтвом планується знизити собівартість продукції в третьєму кварталі на 5,5%. План був виконаний на 108%. Визначити фактичне зниження собівартості продукції в абсолютному і відносному виразі, якщо відомо, що в другому кварталі собівартість одиниці продукції становила 200,35 грн.

Задача 8

Підприємтвом планується збільшити обсяг випуску продукції в четвертому кварталі на 15%. План був виконаний на 104%. Визначити фактичне збільшення обсягу випущеної продукції в абсолютному і відносному виразі, якщо відомо, що в третьєму кварталі обсяг випуску продукції становив 450тис.шт.

Задача 9

За результатами зростання цін на 35% попит знизився на 50%. Визначити коефіцієнт еластичності попиту за ціною. Зробити висновок про еластичність попиту.

 

Задача 10

За результатами зростання пропозиції на 20% ціни знизились на 10%. Визначити коефіціент еластичності ціни.

Зробити висновок про еластичність ціни.

 

Задача 11.

За даними перепису населення його чисельність і частка осіб працездатного віку в регіонах становила:

Вид населення	I регіон	II регіон
Загальна чисельність, млн.чол.	Частка працездатного населення, %	Загальна чисельність, млн.чол.	Частка працездатного населення, %
Міста	3,5		1,4
Сільська місцевість	1,7		1,2

Визначте середню частку працездатного населення для кожного регіону.

 

Задача 12.

На кінець року поточні коефіцієнти ліквідності підприємств-позичальників становили:

Коефіцієнт ліквідності	До 1,5	1,5 - 1,7	1,7 - 1,9	1,9 - 2,1	2,1-2,3	2,3 і вище
Частка підприємств, %

Визначте середній коефіцієнт ліквідності підприємств-позичальників

способом моментів (підрахунку від умовного нуля).

 

Задача 13.

Рівень рентабельності підприємств легкої промисловості характеризується даними:

Рівень рентабельності, %	До 6	6 - 11	11 - 16	16 - 21	21 - 26	26 -31	31 і більше
Кількість підприємств

Визначте середній рівень рентабельності підприємств.

 

Задача 14.

Кредитні ставки комерційних банків під короткострокові позики становили:

Кредитна ставка, %	Суми наданих позик, млн.грн.
1 квартал	2 квартал
До 30	1,5	5,6
30 - 40	5,3	10,8
40 - 50	8,7	7,9
50 і більше	6,2	6,5

За кожний квартал визначте середню кредитну ставку.

 

Задача 15.

За даними про випуск продукції та рівень виконання плану випуску

продукції на двох заводах обчислити середній річний рівень виконання плану

по кожному заводу окремо.

Квартали	Завод 1	Завод 2
План випуску продукції, тис.грн.	Виконання плану, %	План випуску продукції, тис.грн.	Виконання плану, %
		92,0		101,2
		101,5		88,9
		100,0		105,0
		110,4		102,1

 

Задача 16.

Розподіл земель серед фермерських господарств регіонів характеризується даними:

Природно-кліматична зона	Кількість областей	Площа с.-г. угідь, тис.га	Частка ріллі у с.-г. угіддях, %
Степ
Лісостеп
Полісся

Визначте середній процент ріллі у площі сільськогосподарських угідь.

Задача 17.

Результати перевірки консервів на якість характеризуються даними:

Група консервів	Забраковано
тис.умовних банок	% до загальної кількості перевірених банок
М’ясні
Рибні
Плодоовочеві

Визначте середній процент забракованого товару

д

Питання для самоконтролю.

1. Що таке ряд розподілу?

2. Назвіть види рядів розподілу.

3. Назвіть елементи варіаційного ряду розподілу.

4. Що таке щільність розподілу?

5. Що являє собою полігон, гістограма?

6. В яких випадках використовують кумуляту та огіву?

7. Назвіть характеристики центру ряду розподілу.

8. Що являють собою квартилі та децилі?

9. Які показники використовують для вимірювання варіації?

10. Який показник використовують для порівняння варіації двох і більше ознак однієї сукупності, або варіації однієї і тієї ж ознаки в різних сукупностях?

11. Назвіть математичні властивості дисперсії.

12. Які розрізняють види дисперсії?

13. В чому полягає суть правила додавання дисперсії?

14. Що таке кореляційне відношення?

15. Які розподіли є симетричними, асиметричними.

16. Які показники використовують для визначення ступеню асиметрії та гостовершинності?

 

Завдання для самостійної роботи

Задача 1.

Є дані про віковий склад групи студентів-заочників, років: 35,30,33,25,29,24,40,36,34,32,26,25,37,41,31,30,27,20,32,42,38,31,28, 22,33,45,38,33,29,26.

За наведеними даними побудувати ряд розподілу, виділити при цьому 5 груп.

За рядом розподілу обчислити:

1) моду;

2) медіану;

3) зобразити графічно ряд розподілу.

 

Задача 2.

Є дані про розмір земельної площі у 20 фермерських господарствах області, га: 7,6; 6,3; 8,1; 10,2; 9,3; 4,3; 4,6; 11,8; 9,6; 6,8; 6,2; 6,3; 8,6; 10,8; 6,8; 7,1; 9,2; 7,1; 11,8; 8,0.

За наведеними даними побудувати ряд розподілу, виділити при цьому 4 групи.

За рядом розподілу обчислити:

1) моду;

2) медіану;

3) зобразити графічно ряд розподілу.

 

Задача 3.

Є дані про рівень прибутку від реалізації продукції підприємств міста, млн.грн.: 2,4; 3,9; 2,6; 6,5; 2,0; 3,0; 2,8; 1,7; 1,5; 3,9; 3,5; 4,2; 3,1; 0,9; 1,3; 1,2; 2,6; 0,7; 2,3; 1,5; 3,9; 3,4; 1,4; 1,9; 0,8.

За наведеними даними побудувати ряд розподілу, виділити при цьому 5 групи.

За рядом розподілу обчислити:

1) моду;

2) медіану;

3) зобразити графічно ряд розподілу.

 

Задача 4.

Є дані про продуктивність праці на підприємствах регіону, тис.грн.: 7,2; 8,9; 4,4; 5,8; 12,3; 14,9; 7,1; 6,4; 10,3; 6,6; 10,2; 5,4; 7,7; 6,0; 5,7; 8,6; 13,7; 19,5; 6,6; 7,7; 9,4; 5,6; 7,7; 9,7.

За наведеними даними побудувати ряд розподілу, виділити при цьому 5 груп.

За рядом розподілу обчислити:

1) моду;

2) медіану;

3) зобразити графічно ряд розподілу.

 

Задача 5.

Є дані про фондоозброєність праці на підприємствах регіону, тис.грн.: 27,2, 27,0, 14,1, 15,6, 50,1, 44,9, 24,8, 30,6, 31,9, 19,9, 34,1, 38,2, 10,5, 11,4, 19,8, 38,4, 50,1, 29,9, 20,1, 25,0, 30,1, 19,9, 22,5, 30,0.

За наведеними даними побудувати ряд розподілу, виділити при цьому 5 груп.

За рядом розподілу обчислити:

1) моду;

2) медіану;

3) зобразити графічно ряд розподілу.

 

Задача 6

За вибірковим обстеженням малих підприємств з різною формою власності рівні рентабельності реалізації продукції диференціюються таким чином:

Форма власності	Кількість підприємств	Рентабельність, %
Державна		15, 19,16, 20, 22, 21, 20, 18
Приватна		25, 31, 33, 28, 27, 24, 27

Визначте міжгрупову, внутрішньо групову та загальну дисперсії рентабельності реалізації продукції.

 

Задача 7.

На кінець року поточні коефіцієнти ліквідності підприємств-позичальників становили:

Коефіцієнт ліквідності	До 1,5	1,5 - 1,7	1,7 - 1,9	1,9 - 2,1	2,1-2,3	2,3 і вище
Частка підприємств, %

 

Визначте характеристики розподілу: розмах варіації, середнє лінійне відхилення, дисперсію, середнє квадратичне відхилення, коефіцієнти варіації.

 

Задача 8.

Продаж річних облігацій державної внутрішньої позики на первинному та вторинному ринках характеризується даними:

Ринок	Кількість проданих облігацій, тис. шт.	Середній термін обертання облігацій, міс.	Дисперсія терміну обертання
Первинний
Вторинний

 

Визначте загальну дисперсію терміну обертання облігацій.

 

Задача 9.

За даними обстеження витрати часу жінок на домашню роботу такі:

Тип помешкання	Чисельність жінок, тис.чол.	Середні витрати на домашню роботу, год.	Групова дисперсія витрат часу
I		4,5	0,03
II		6,2	0,08

Визначте між групову, внутрішньо групову та загальну дисперсії витрат часу жінок на домашню роботу.

 

Задача 10.

Кредитні ставки комерційних банків під короткострокові позики становили:

Кредитна ставка, %	Суми наданих позик, млн.грн.
1 квартал	2 квартал
До 30	1,5	5,6
30 - 40	5,3	10,8
40 - 50	8,7	7,9
50 і більше	6,2	6,5

За кожний квартал визначте характеристики розподілу. Як змінились варіація кредитної ставки?

 

Задача 11.

Розподіл робітників за стажем роботи:

Стаж роботи, років	До 5	5 - 10	10 - 15	15 - 20	20 і більше	Разом
Кількість робітників, % до підсумку

Визначити коефіцієнти асиметрії і ексцесу.

Зробити висновки про форму розподілу.

 

Задача 12

За даними про ступінь використання виробничого і енергетичного устаткування фірмою визначте з кожного виду устаткування середній коефіцієнт використання та середнє квадратичне відхилення. Порівняйте варіацію, зробіть висновки.

Виробниче обладнання	Енергетичне обладнання
Коефіцієнт використання	Кількість обладнання	Коефіцієнт використання	Кількість обладнання
До 80		До 60
80 - 85		60 - 70
85 - 90		70 - 80
90 і вище		80 і вище

 

Задача 13.

Вихідні дані наведені в таблиці:

Рівень зв’язку	Кількість переговорів	Середня тривалість телеф. розмови, хв.	Групова дисперсія тривалості розмови
			1,6
			1,2
			0,4

Визначте міжгрупову, внутрішньогрупову та загальну дисперсії тривалості телефонної розмови.

 

Задача 14.

Дані, зареєстровані районною службою зайнятості, свідчать про зв‘язок між рівнем освіти безробітних та терміном перерви у роботі:

 

Рівень освіти	Кількість безробітних, чол.	Середній термін перерви у роботі, міс.
Середня
Середня спеціальна
Вища

Загальна дисперсія терміну перерви в роботі становить 5,8. Визначте міжгрупову, внутрішньогрупову дисперсію, кореляційне відношення.

 

Задача 15.

На кінець року поточні коефіцієнти ліквідності підприємств-позичальників становили:

Коефіцієнт ліквідності	До 1,5	1,5 - 1,7	1,7 - 1,9	1,9 - 2,1	2,1-2,3	2,3 і вище
Частка підприємств, %

Порівняти варіацію та асиметрію розподілу підприємств за наведеним показником.