Используя элементы теории матричных игр решить следующие

Задачи

 

256 За некоторый период времени на предприятии потребление исходного сырья S в зависимости от его качества составляет 10–12 ед. Если для выпуска запланированного объема основной продукции сырья S окажется недостаточно, запас его можно пополнить, что потребует дополнительных затрат в размере 5 ед. в расчете на единицу сырья. Если же запас сырья превысит потребности, то дополнительные затраты на содержание и хранение остатка составят 2 ед. в расчете на единицу сырья. Придать описанной производственной ситуации игровую схему и составить платежную матрицу. Дать рекомендации по созданию оптимального запаса сырья на предприятии.

 

257 В новом жилом массиве создается телевизионное ателье для ремонта в стационарных условиях не более 8 тыс. телевизоров в год. Для упрощения примем, что поток заявок на ремонт в условиях стационара выражается числами 2, 4, 6 и 8 тыс. в год. Накопленный опыт аналогичных предприятий показывает, что прибыль от ремонта телевизора составляет 9 ден. ед., потери, вызванные отказом в ремонте из-за недостатка мощностей, оцениваются в 5 ден. ед., а убытки от простоя специалистов и оборудования при отсутствии заявок обходятся в 6 ден. ед. в расчете на каждый телевизор. Придав рассматриваемой ситуации игровую схему, составить платежную матрицу. Дать рекомендации о мощности создаваемого телеателье.

 

258 Сельскохозяйственное предприятие имеет возможность выращивать картофель на трех участках: на участке А повышенной влажности, Б средней влажности, В сухом. Урожайность картофеля зависит от погодных условий, в частности от количества осадков, выпадающих в течение сезона. Если осадков выпадает меньше нормы, то средняя урожайность на участке А составляет 270 ц с 1 га; при количестве осадков, близком к норме, – 220 ц; если же осадков выпадет больше нормы, – 110 ц; на участке Б – соответственно 210, 250 и 140 ц; на участке В – 120, 260 и 280 ц. Используя игровой подход, составить платежную матрицу. Установить, на каком участке следует выращивать картофель в предстоящем году, если, по данным службы долгосрочного прогнозирования погоды, вероятность выпадения осадков меньше нормы ожидается равной 0,3, близко к норме –0,6, больше нормы – 0,1.

 

259 Предприятие имеет возможность самостоятельно планировать объем выпуска неосновной сезонной продукции А и Б. Не проданная в течение сезона часть продукции позднее полностью реализуется по сниженным ценам. Данные о себестоимости продукции, отпускных ценах и объемах реализации в зависимости от уровня покупательского спроса приведены в таблице 1. Установить объемы выпуска продукции к предстоящему сезону, обеспечивающие предприятию возможно большую сумму прибыли. Данные о себестоимости продукции представлены в таблице 31

 

Таблица 31 – Данные о себестоимости продукции

 

Вид продукции	Себестоимость единицы продукции	Отпускная цена единицы продукции	Объем реализации (тыс. ед.), если уровень спроса
в течение сезона	после уценки	повышенный	средний	пониженный
А Б

 

Указание. Для уменьшения размерности платежной матрицы ограничиться рассмотрением лишь тех трех случаев, когда одновременно на оба вида продукции имеет место либо повышенный, либо средний, либо пониженный спрос.

 

260 Для отопления дома в зимний период используется уголь, цена на который зависит от времени года и характера зимы. Летом тонна угля стоит 7,5 ден. ед., в мягкую зиму – 8,5, в обычную – 9,0, а в холодную – 9,5 ден. ед. Расход угля в отопительный сезон полностью определяется характером зимы: на мягкую зиму достаточно 6 т, на обычную требуется 7 т, а в холодную зиму расходуется 8 т. Понятно, что затраты домовладельца зависят от количества запасенного им с лета угля. При анализе возможных вариантов уровня запаса следует иметь в виду, что при необходимости недостающее количество угля можно приобрести и зимой. Кроме того, надо учесть, что продать непотребовавшийся уголь возможности¹ не будет. Используя игровой подход, составить платежную матрицу, анализируя которую, дать рекомендации по созданию запаса угля, гарантирующего домовладельцу минимальные затраты.

Объем реализации товара Т за рассматриваемый период времени колеблется в зависимости от уровня покупательского спроса в пределах от 4 до 7 ед. Прибыль торгового предприятия от единицы реализованного товара Т равна 2 ден. ед. Если запасенного товара окажется недостаточно для полного удовлетворения спроса, можно заказать дополнительное количество товара, что потребует новых затрат на доставку в размере 4 ден. ед. в расчете на единицу товара. Если же запасенный товар полностью реализовать не удасться, то расходы на содержание и хранение остатка составят 3 ден. ед. в расчете на единицу товара. Предполагается, что дополнительно заказанный товар полностью реализуется за тот же рассматриваемый период времени. Используя игровой подход, высказать рекомендации об оптимальном уровне запаса товара Т на торговом предприятии, обеспечивающем ему наивысшую эффективность работы с учетом торговой прибыли и возможных дополнительных затрат на заказывание и доставку товара, содержание и хранение остатка.

Указание. Решение найти в чистых стратегиях на основе критериев Байеса (q₁ = 0,15, q₂ = 0,20, q₃ = 0,40, q_i = 0,25), Лапласа, Вальда, Сэвиджа, Гурвица (параметр γГурвица принять равным 0,7).

 

261 – 272 После нескольких лет эксплуатации промышленное оборудование оказывается в одном из следующих состояний: 1) оборудование может использоваться в очередном году после профилактического ремонта; 2) для безаварийной работы оборудования в дальнейшем следует заменить отдельные его детали и узлы; 3) оборудование требует капитального ремонта или замены. В зависимости от сложившейся ситуации руководство предприятия в состоянии принять такие решения: 1) отремонтировать оборудование силами заводских специалистов, что потребует, в зависимости от обстановки, затрат, равных а₁, а₂ или а ₃ ден. ед.; 2) вызвать специальную бригаду ремонтников, расходы в этом случае составят b₁, b₂ или b₃ ден. ед.; 3) заменить оборудование новым, реализовав устаревшее оборудование по его остаточной стоимости; совокупные затраты в результате этого мероприятия будут равны соответственно с ₁, с₂ или с ₃ ден. ед. Указанные выше расходы предприятия включают кроме стоимости ремонта и заменяемых деталей и узлов убытки, вызванные ухудшением качества выпускаемой продукции, простоем неисправного оборудования, а также затраты на установку и отладку нового оборудования. Требуется:

1)придать описанной ситуации игровую схему, установить характер игры и выявить ее участников, указать возможные чистые стратегии сторон;

2)составить платежную матрицу;

3)выяснить, какое решение о работе оборудования в предстоящем году целесообразно рекомендовать руководству предприятия, чтобы минимизировать потери при следующих предположениях: а) накопленный на пред­приятии опыт эксплуатации аналогичного оборудования показывает, что вероятности указанных выше состояний оборудования равны соответственно q₁, q₂, q₃; б) имеющийся опыт свидетельствует о том, что все три возможных состояния оборудования равновероятны; в) о вероятностях состояний оборудования ничего определенного сказать нельзя.

Указание. В п. 3 следует найти оптимальные чистые стратегии, пользуясь: в п. 3а – критерием Байеса, в п. 3б – критерием Лапласа, в п. 3в – критериями Вальда, Сэвиджа, Гурвица (значение параметра γ в критерии Гурвица задается). Все необходимые числовые данные приведены в таблице 32.

 

Таблица 32 – Числовые данные к задачам 263–272

 

	Номер задачи
а1
а2
а 3
b1
b2
b3
с 1
с2
с 3
q1	0,30	0,40	0,15	0,15	0,20	0,35	0,35	0,15	0,35	0,30
q2	0,50	0,45	0,60	0,55	0,65	0,45	0,50	0,65	0,55	0,45
q3	0,20	0,15	0,25	0,30	0,15	0,20	0,15	0,20	0,10	0,25
γ	0,70	0,90	0,50	0,80	0,60	0,80	0,70	0,90	0,60	0,70

 

273 – 282. Предприятие имеет возможность самостоятельно планировать объем выпуска неосновной сезонной продукции I, II и III. Не проданная в течение сезона часть продукции позднее реализуется полностью по сниженной цене. Буквенные обозначения себестоимости продукции, отпускных цен и объемов реализации в зависимости от уровня спроса приведены в таблице 33

 

Таблица 33 – Буквенные обозначения себестоимости продукции, отпускных цен

и объемов реализации в зависимости от уровня спроса

Вид продукции	Себестоимость единицы продукции	Отпускная цена за единицу продукции	Объем реализации (тыс. ед.) при уровне спроса
в течение сезона	после уценки	повышенном	среднем	пониженном
I	d 1	p 1	q 1	a 1	b 1	c 1
II	d 2	p 2	q 2	a 2	b 2	c 2
III	d 3	p 3	q 3	a 3	b 3	c 3

 

Требуется:

1) придать описанной ситуации игровую схему, выявить участников игры и установить ее характер, указать допустимые стратегии сторон;

2)вычислить элементы платежной матрицы и составить ее;

3)дать обоснованные рекомендации об объемах выпуска продукции по видам, обеспечивающих предприятию наивысшую сумму прибыли.

Указание. Для уменьшении размерности платежной матрицы ограничиться исследованием лишь тех трех ситуаций, когда одновременно на все три вида продукции уровень спроса одинаков: повышенный (состояние П₁), средний (состояние П₂), пониженный (состояние П₃).

Все необходимые числовые данные к задачам 273–282 приведены в таблице 34.

 

Таблица 34 – Числовые данные к задачам 273–282

 

	Номер задачи
d1	1,3	1,5	2,2	0,7	3,4	1,8	3,2	2,6	3,8	4,4
d2	1,7	2,1	1,6	2,4	1,7	2,5	1,8	3,7	2,6	2,1
d 3	0,9	1,4	3,4	1,8	2,5	0,9	2,7	1,5	3,2	3,5
p1	2,6	2,3	3,7	1,8	4,5	2,7	4,7	3,4	4,7	5,2
p2	3,0	3,4	2,4	3,7	2,8	3,8	2,5	4,2	3,9	3,5
p3	1,8	2,8	4,5	2,5	3,2	1,5	3,8	2,8	4,5	4,7
q1	2,1	1,8	3,2	1,2	3,2	1,4	3,5	2,8	3,5	4,1
q2	1,8	2,2	1,6	2,4	1,4	2,6	1,2	3,2	2,8	2,6
q3	0,7	1,6	3,2	1,2	1,8	0,8	2,1	1,7	3,2	3,2
a1
a2
a3
b1
b2
b3
с 1
с2
с 3

283 – 286. За некоторый период времени на предприятии потребление исходного сырья S в зависимости от его качества составляет b₁, b₂, b ₃или b ₄ ед. Если для выпуска запланированного объема основной продукции сырья S окажется недостаточно, то запас его можно пополнить, что потребует дополнительных затрат в сумме с ₁ ед. в расчете на единицу сырья. Если же запас сырья превысит потребности, то дополнительные затраты на содержание и хранение остатка составят с ₂ед. в расчете на единицу сырья. Требуется:

1)придать описанной ситуации игровую схему, выявить участников игры и установить ее характер, указать допустимые стратегии сторон;

2)вычислить элементы платежной матрицы и составить ее;

3)дать обоснованные рекомендации об оптимальном уровне запаса сырья, при котором дополнительные затраты на приобретение, содержание и хранение сырья будут минимальными при следующих предположениях: а) вероятности q₁, q₂, q₃, q₄ потребности в сырье в количествах соответственно b₁, b₂, b₃, b ₄ ед. известны; б) потребление сырья в количествах b₁, b₂, b₃, b ₄ ед. представляется равновероятным; в) о вероятностях потребления сырья ничего определенного сказать нельзя.

 

Таблица 35 – Числовые данные к задачам 283-286

 

	Номер задачи
b1
b2
b3
b 4
С1
с 2
q1	0,25	0,15	0,20	0,25
q2	0,30	0,30	0,25	0,45
q3	0,25	0,40	0,40	0,20
q4	0,20	0,15	0,15	0,10
γ	0,60	0,80	0,70	0,90

Указание. В п. 3 следует найти оптимальные чистые стратегии, пользуясь: в п. 3а – критерием Байеса, в п. 3б – критерием Лапласа, в п. 3в – критериями Вальда, Сэвиджа, Гурвица (значение параметра γ в критерии Гурвица задается). Все необходимые числовые данные приведены в таблице 35.

Таблица вариантов домашней контрольной работы по дисциплине «Математическое моделирование»

Предпо- следняя цифра шифра	Последняя цифра шифра
	248 173 278	249 174 279	250 175 280	251 176 281	252 177 282	253 178 283	254 179 284	255 180 285	256 181 286	257 182 101
	238 163 268	239 164 269	240 165 270	241 166 271	242 167 272	243 168 273	244 169 274	245 170 275	246 171 276	247 172 277
	228 153 258	229 154 259	230 155 260	231 156 261	232 157 262	233 158 263	234 159 264	235 160 265	236 161 266	237 162 267
	218 143 248	219 144 249	220 145 250	221 146 251	222 147 252	223 148 253	224 149 254	225 150 255	226 151 256	227 152 257
	208 190 238	209 191 239	210 192 240	211 193 241	212 194 242	213 195 243	214 196 244	215 197 245	216 141 246	217 142 247
	198 180 228	199 181 229	200 182 230	201 183 231	202 184 232	203 185 233	204 186 234	205 187 235	206 188 236	207 189 237

 

Продолжение таблицы вариантов

 

Предпо- следняя цифра шифра	Последняя цифра шифра
	131 170 198	132 171 199	133 172 200	134 173 201	135 174 202	136 175 203	137 176 204	138 177 205	139 178 206	140 179 207
	121 160 277	122 161 278	123 162 279	124 163 280	125 164 281	126 165 282	127 166 283	128 167 284	129 168 285	130 169 286
	111 150 267	112 151 268	113 152 269	114 153 270	115 154 271	116 155 272	117 156 273	118 157 274	119 158 275	120 159 276
	101 141 258	102 142 259	103 144 260	104 143 261	105 144 261	106 145 262	107 146 263	108 147 264	109 148 265	110 149 266

 

Примечание: жирным шрифтом обозначены теоретические вопросы, курсивом - задачи