ТОП 10:

Решая систему двух уравнений, найдем



аВ =12p2 м/с2: аВАτ=56 p2 м/с2

Угловое ускорение εВАВАτ/АВ

εВА=53,9 с-2

Последовательность графического решения показана на рисунке.

 

Пример. Колесо радиуса R катится без скольжения по рельсу. Скорость центра в данный момент времени v0. Определить скорости точек A, B, C, D, P на наружной поверхности колеса.

 

Решение. Так как колесо катится без скольжения, скорость в точке касания Р − vР=0. Точка Р является мгновенным центром скоростей. Скорости точек равны произведению угловой скорости на расстояние от точки до полюса и направлены перпендикулярно к линиям, которые соединяют эти точки с полюсом.

vо =ω РО; vА =ω РА; vВ =ω РВ; …

Тогда ω= vо/ R

Скорости можно определить, если принять центр колеса т. О за полюс. Скорости остальных точек будут равны геометрической сумме скоростей полюса vо и скорости вращения этой точки вокруг полюса. Эти скорости направлены перпендикулярно к радиусам и равны ωR.

Решение показано на рис.

 

СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ

Относительное, переносное и

абсолютное движения

В ряде случаев целесообразно рассматривать движение точки или тела по отношению к двум системам отсчета, из которых одна считается условно неподвижной, а другая движется по отношению к первой. Сложное движение разлагается на два более простых и более легко исследуемых.

Рассмотрим сложное движение точки М, перемещающейся по отношению к подвижной системе отсчета Oxyz, которая в свою очередь движется относительно другой системы отсчета О1x1у1z1 , которая считается неподвижной. Каждая из этих систем отсчета связана с определенным телом.

Введем следующие определения:

1. Движение, совершаемое точкой М по отношению к подвижным осям координат называется относительным движением.Траектория А В, точки в относительном движении, называется относительной траекторией. Скорость движения точки вдоль этой кривой АВ называется относительной скоростьюvОТ

Величина, характеризующая изменение относительной скорости vОТ точки при ее относительном движении, называется относительным ускорением аОТ.

2. Движение, совершаемое подвижной системой отсчета Oxyz и всеми, неизменно связанными с ней, точками пространства по отношению к неподвижной системе Ох1у1z1 является для точки М переносным движением.

Скорость точки, связанной с подвижными осями Oxyz , с которой в данный момент совпадает точка М, называется переносной скоростью точки М в этот момент vПЕР, а ускорение этой точки — переносным ускорением точки аПЕР.

Если представить себе, что относительное движение точки М происходит по поверхности (или внутри) твердого тела, с которым жестко связаны подвижные оси Oxyz, то переносной скоростью (или ускорением) точки М в данный момент будет скорость (или ускорение) той точки тела, с которой в этот момент совпадает точка М.

Переносное ускорение характеризует то изменение переносной скорости vПЕР, которое происходит только при переносном движении подвижной системы отсчета.

3. Движение, совершаемое точкой по отношению к неподвижной системе отсчета O\Xyz, называется абсолютным. Траектория CD этого движения называется абсолютной траекторией, скорость — абсолютной скоростью vа, а ускорение — абсолютным ускорением аа.

Сложение скоростей.

Рассмотрим точку М, совершающую сложное движение. Пусть эта точка, двигаясь вдоль своей относительной траектории АВ, совершает за промежуток времени ∆t относительное перемещение, определяемое вектором ММОТ

Кривая АВ, двигаясь вместе с подвижными осями OXYZ, перейдет за тот же промежуток времени в какое-то новое положение A1B1. Одновременно та точка кривой AВ, с которой в момент ∆t совпадает точка М, совершит переносное перемещение ММПЕР. В результате этих движений точка М придет в положение М1.

Разделим обе части равенства на ∆t и перейдя к пределу получим:

Тогда по определению:

Векторы скоростей направлены по касательным к соответствующим траекториям.

Теорема о сложении скоростей: при сложном движении абсолютная скорость точки равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей.

На рис. показан параллелограмм скоростей.

Абсолютная скорость vа по модулю:

vа2=vОТ2+vПЕР2+2 vОТvПЕРcosα

здесь α − угол между направлениями векторов vОТ и vПЕР

С помощью параллелограмма скоростей решается ряд задач кинематики точки, а именно:

а) зная скорости vОТ и vПЕР можно найти абсолютную скорость точки vа

б) зная vа и направления скоростей vОТ и vПЕР можно найти модули этих скоростей;

в) зная скорости vа и vПЕР можно найти относительную скорость точки vОТ.

На рис. показан кривошипно-кулисный механизм.

Кривошип ОА вращается вокруг т. О. Абсолютная скорость т. А направлена перпендикулярно к радиусу ОА. По направляющим кулисы перемещается ползун А. Кулиса вращается вокруг т. О1.

В качестве переносного движения относительно неподвижной системы координат примем вращательное движение кулисы.

Переносной скоростью т. А является скорость точки кулисы, которая в данный момент совпадает с т. А. Эта скорость направлена перпендикулярно к радиусу О1А.

Относительной скоростью будет скорость скольжения ползуна вдоль кулисы.

Пример. Кривошип ОА вращается вокруг т. О с угловой скоростью ω= 10 с−1;ОА=ОО1= 0,2 м.

При заданном положении механизма определить угловую скорость кулисы ωК

Решение. Абсолютная скорость т. А направлена перпендикулярно к радиусу ОА и равна:

vа =ω ОА= 2 м/с

Переносная скорость т. А vПЕР является составляющей абсолютной скорости vа из параллелограмма скоростей: vПЕР =vа cos 30°=1,73 м/с

Угловая скорость кулисы ωК:=vПЕР / О1А

В равнобедренном треугольнике О1ОА О1А=0,346 м.

Тогда ωК:=5 с−1.

Ускорения точки.

Абсолютное ускорение точки характеризует абсолютное изменение скорости на абсолютном перемещении, а переносное и относительное − изменение соответствующих скоростей при её переносном и относительном движении.

При суммировании ускорений нужно учитывать также изменения относительной скорости за счет переносного движения и переносной за счет относительного движения. Соответствующие приращения скоростей показаны на рис. а, б: d2vОТ и d1vПЕР. Оба приращения направлены в одну сторону и равны

Теорема Кориолиса. Абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме трех ускорений: относительного аОТ, характеризующего изменение относительной скорости vОТ в относительном движении, переносного аПЕР, характеризующего изменение переносной скорости vПЕР в переносном движении, и кориолисова аС, характеризующего изменение относительной скорости в переносном движении и переносной скорости в относительном движении

Величина аС, характеризующая изменение вектора относительной скорости vОТ в переносном движении и вектора переносной скорости vПЕР в относительном движении, называется поворотным или кориолисовым ускорением.

Кориолисово ускорение равно удвоенному векторному произведению угловой переносной скорости на относительную скорость точки.

Если угол между векторами vОТ и ωПЕР обозначить через α, то по модулю:

аС=2‌ ωПЕР vОТsinα

Вектор аСнаправлен перпендикулярно плоскости, проходящей через векторы ω и vОТ.Направление вектора можно определить, если повернуть вектор vОТ (или его проекции на плоскость, перпендикулярную ) на 90° в сторону переносного вращения.

Относительное аОТ и переносное аПЕР ускорения точки вычисляются по известным формулам кинематики. Направления ускорений для кривошипно-кулисного механизма показаны на рисунке. При постоянной угловой скорости кривошипа. В частности, для рассмотренного ранее примера.

vПЕР =vа sin(45°+ωt/2) vОТ =vа cos(45°+ωt/2)

aПЕРτ=vа ω cos(45°+ωt/2)/2 aПЕРn=ωПЕР2O1A

aОТ=−vа ω sin(45°+ωt)/2

ас=2ωПЕР vОТ sinα; α=90°; O1A=2OA cos(45°−ωt/2)

Для положения механизма, показанного на рис. ωt=30°

О1А=0,346 м; ωПЕР=5 с−1; vа=2 м/с; vОТ=1 м/с;

aПЕРτ=5 м/с2; aПЕРn=8,66 м/с2; aОТ=− 8,66 м/с2;

ас=5 м/с2

Проекция абсолютного ускорения на линию О1А (ось X):

aО1А= −aПЕРn +aОТ =−17,32 м/с2

Проекция абсолютного ускорения на линию ┴О1А (осьY):

a┴О1А= ас+aПЕРτ=10 м/с2

Абсолютное ускорение

аа=(aО1А2+a┴О1А2)0,5=20 м/с2 и направлено от т. А к т. О. Тот же ответ получим, если определим аа как нормальное ускорение т. А при ее вращательном движении вокруг т. О:

aАn=ω2OA.

Направление ускорений при движении точки по поверхности шара, вращающегося вокруг неподвижной оси, показано на рис.


Вращательное движение твердого тела

Пример. Дано: радиусы шкивов В, С, D, начальная угловая скорость ременной передачи ω0 =0, угловое ускорение шкивов 1 ε1 (1/c) при запуске.

Найти угловые скорости шкивов, линейные скорости и ускорения точек на наружных поверхностях шкивов, а также скорость и ускорение груза G через t1 c.

Решение:

1. Угловые скорости и ускорения:

ω1 = ε1t1; т. к. ω1 В= ω2 D; и ε1В= ε2 D

ω21 В/ D; ε21 В/ D

2. Линейные скорости т. L, М, N, и груза G

vМ=vL1 В; vN=vG= ω1С

3. Тангенциальные ускорения

аМτ=аLτ1В; аNτ1С

4. Нормальные ускорения

аМn2 2D аLn12В аNn12С.

5. Полные ускорения

аG=аNτ1С; аМ= …

Задание.. Дано: радиусы шкивов В, С, D, начальная скорость груза vG=0, а его скорость vG =2 t (м/c).

Таблица. Исходные данные.

Радиусы шкивов, см
A B C D E F

Найти угловые скорости шкивов, линейные скорости и ускорения точек на наружных поверхностях шкивов, а также скорость и ускорение груза G через 1 c.

 







Последнее изменение этой страницы: 2017-02-07; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 34.204.191.31 (0.015 с.)