Угловая скорость тела равна первой производной от угла поворота по времени.

Отношение Dw к Dt называют средним угловым ускорением . Угловое ускорение:

Угловое ускорение тела равно первой производной от угловой скорости по времени.

Перемещения S и скорости точек можно определить из соотношений:

S = ;

здесь R − радиус вращения.

.

Нормальное (центростремительное) и тангенциальное (вращательное) ускорения определим из соотношений:

, ;

,

Полное ускорение точки:

.

Модули скоростей и ускорений точек вращающегося тела пропорциональны расстояниям от этих точек до оси вращения.

Равнопеременное вращение тела

При равнопеременном вращении твердого тела вокруг неподвижной оси: ε= const

Так как

После интегрирования с учетом начальных условий получим:

ω=ω₀+ε t

φ=φ₀ +ω₀t+ε t²/2, здесь ω₀ и φ₀ − угловая скорость и угол поворота в начальный момент времени при t=0.

Пример 1. Груз, опускаясь согласно уравнению (м), приводит посредством троса в движение барабан радиуса R = 0,2м (рис.11.10). Определить скорость и ускорение точки М барабана при t₁= 2с.

Решение. Скорость груза равна скорости точки М барабана

Угловая скорость барабана:

.

Угловое ускорение .

При t₁=2c: , ;

Нормальное ускорение:

,

Тангенциальное ускорение:

,

Полное ускорение:

.

Пример 2. Вал 1 с зубчатым колесом 1 при вращении делает n=300 об./мин. Колесо 1 находится в зацеплении с зубчатым колесом 2. Радиусы делительных окружностей колес составляют R₁=10 см, R₂=50 см. На валу 2 смонтирован барабан 3 радиуса R₃= 20 см, который вращается вместе с зубчатым колесом 2. Найти скорость перемещения груза 4, подвешенного на тросе.

Решение. 1. Угловая скорость колеса 1:

ω₁= p n/ 30 = 10p с⁻¹

2. Линейные скорости точек, колес 1, 2 в точках контакта А равны в любой момент времени:

v_A= ω₁ R₁= ω₂ R₂ = 100 p см/с

такую же скорость имеют точки А₁, А₂.

3. Угловая скорость колеса 2 и барабана 3:

ω₂= ω₁ R₁ /R₂= 2 p с⁻¹

4. Скорость перемещения груза 4, такую же скорость имеют точки на наружной поверхности барабана (например, т. А₃):

v ₄=ω₂ R₃= 40 p см/с

Пример 3. При условии предыдущей задачи определить ускорение в т. А₁, А₂ и груза 4 через 1,5 с. после начала вращения. Время разгона равно 2 с., движение считаем равноускоренным.

При равноускоренном движении угловое ускорение колеса 1:

ε=const; ω₁=ω₀₁+ε₁t

Т. к. при t=0; ω₁=0; а при t₁=2 с. ω₁= 10p с⁻¹

ε₁=ω₁ /t₁ = 5p с⁻²

Угловое ускорение колеса 2:

ε₂=ε₁ R₁ /R₂= p с⁻²

Угловые скорости колес 1, 2 при t₁=1,5 с.

ω₁=ε₁t = 7,5p с⁻¹ ω₂=ε₂t =1,5 p с⁻¹

Скорости т. А1, А2 при t₁=1,5 с

v_A1=v_A2=ω₁ R₁ =75 p см/с

Скорости т. А3 и груза 4 при t₁=1,5 с.

v_A3=v₄= ω₂ R₃ = 30 p см/с

Тангенциальные и нормальные ускорения т. А1, А2 при t₁=1,5 с

а^τ _A1 =а^τ _A2 = ε₁ R₁ =ε₂ R₂ = 50 p см/с²

аⁿ _A1 = ω₁²R₁ =562,5 p² см/с² аⁿ _A2 = ω₂²R₂ =112,5 p² см/с²

Тангенциальные и нормальные ускорения т. А3 при t₁=1,5 с.

а^τ _A3 = ε₂ R₃ = 20 p см/с²

аⁿ _A3 = ω₂²R₃ =45 p² см/с²

Ускорение груза 4 при t₁=1,5 с.

а ₄= а^τ _A3 = 20 p см/с²