Поступательное движение твердого тела полностью определяется движением одной его точки.

Вектор скорости

Скоростью точки М, определяющей как быстро и в каком направлении она движется в данный момент времени t, называют предел

Вектор скорости равен первой производной от радиуса-вектора точки по времени.

Так как предельным положением секущей ММ₁ является касательная к траектории точки, то и вектор ее скорости в данный момент времени t направлен по касательной к траектории в сторону движения.

Вектор ускорения

Величину называют средним ускорением точки за время . Предел отношения

,

характеризующий изменение скорости в данный момент времени t, называют ускорением точки. Вектор ускорения равен первой производной от вектора скорости точки по времени или второй производной от радиуса-вектора точки по времени.

Ускорение, направлено в сторону вогнутости траектории.

Координатный способ задания движения

В прямолинейной системе координат Oxyz вектор может быть представлен в виде

,

координаты точки М, определяющие закон ее движения в зависимости от времени t;

- нормированный базис Oxyz.

1. Проекции скорости на оси координат равны первым производным от соответствующих координат точки по времени:

2. Проекции ускорения на оси координат равны первым производным от проекций скоростей точки или вторым производным от соответствующих координат точки по времени:

 

Величины (модули) скорости и ускорения в декартовой ортогональной системе координат определяют по формулам

,

а направления и характеризуют их направляющие косинусы

.

 

Задание движения в естественных осях

Предельное положение прямой, проходящей через точки М и М₁ траектории L точки М, когда М₁ стремится к М, определяет касательную к этой кривой в точке М. Обозначим - единичный направляющий вектор касательной к L в точке М.

Соприкасающаяся плоскость в точке М кривой L определяется как предельное положение плоскости, содержащей в себе касательную в точке М кривой и любую точку М₁ на ней, когда М₁ стремится к М.

Нормаль к кривой в точке М, лежащую в соприкасающейся плоскости, называют главной нормалью к кривой в т.М. Нормаль к кривой, перпендикулярную соприкасающейся плоскости, называют бинормалью.

Прямоугольную систему взаимно ортогональных осей, направленных по называют естественными осями кривой L. Направление вектора скорости принимают за положительное направление касательной .

Положительное направление главной нормали считают в сторону вогнутости кривой, а бинормаль направляют так, чтобы получившаяся система осей являлась правой.

Кривизной «k» кривой L в точке М называют предел

.

Радиусом кривизны «r» кривой L в точке М называют величину обратную ее кривизне в этой точке

.

Так, например, дуга окружности длиной s, опирающаяся на центральный угол : ,

где R – радиус окружности, то радиус кривизны для окружности

Ускорение точки можно разложить на тангенциальное , направленное по касательной к траектории и характеризующее изменение величины скорости, и нормальное , направленное по главной нормали к центру кривизны траектории и определяющее изменение направления .

Так как в естественных осях траектории скорость может быть представлена в виде , то, дифференцируя это соотношение по времени, получим ускорение:

, Касательное ускорение (проекция ускорения точки на касательную) равно первой производной от величины скорости от времени:

Нормальное ускорение

Абсолютная величина может быть определена по формуле

.

Задача. По заданным уравнениям движения точки

x = 2t (см), (см)

определить ее траекторию, положение, скорость, ускорение, касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории в заданное время t₁ = 2c.

Решение.

1.Уравнение траектории получим, исключив из уравнений движения время: - парабола с вершиной в точке (0,-2).

Построим траекторию по точкам:

2.Величина скорости точки ; см/с; ; при t₁=2с, v_x=2 см/с v_y=6см/с;

3. Величина ускорения точки ; ; ; .

4.Касательное ускорение ; при t₁ = 2с .

 

5.Нормальное ускорение ;

при t₁ = 2c: .

6.Радиус кривизны траектории ; при t₁ = 2c

см.

Кинематика твердого тела

Твердые тела можно рассматривать как совокупность точек, расстояния между которыми в процессе их перемещения остаются неизменными. Угол между пересекающимися прямыми, связанными с телом, сохраняется без изменения, а параллельные прямые остаются параллельными при его движении. Положение точек твердого тела полностью определено, если известно положение трех его точек, не лежащих на одной прямой.

 

1. Простейшие движения твердого тела

К простейшим относятся поступательное и вращательное движение тела вокруг неподвижной оси.

1.1. Поступательное движение. При поступательном движении любой отрезок прямой (например, отрезок АВ), проведенный в твердом теле, остается параллельным самому себе.

Выберем подвижную систему отсчета Axyz, оси которой связаны с данным телом и передвигаются вместе с ним.

Т. к. при поступательном движении оси координат остаются параллельными своему начальному направлению, координаты любой точки (например т. В) твердого тела в подвижной системе отсчета остаются постоянными, а ее движение тождественно движению т. А.

Следовательно, траектории движения всех точек одинаковы. Одинаковыми по модулю и направлению будут также скорости и ускорения твердого тела при его поступательном движении.

Ускорения точки.

Абсолютное ускорение точки характеризует абсолютное изменение скорости на абсолютном перемещении, а переносное и относительное − изменение соответствующих скоростей при её переносном и относительном движении.

При суммировании ускорений нужно учитывать также изменения относительной скорости за счет переносного движения и переносной за счет относительного движения. Соответствующие приращения скоростей показаны на рис. а, б: d₂v_ОТ и d₁v_ПЕР. Оба приращения направлены в одну сторону и равны

Теорема Кориолиса. Абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме трех ускорений: относительного а_ОТ, характеризующего изменение относительной скорости v_ОТ в относительном движении, переносного а_ПЕР, характеризующего изменение переносной скорости v _ПЕР в переносном движении, и кориолисова а _С, характеризующего изменение относительной скорости в переносном движении и переносной скорости в относительном движении

Величина а_С, характеризующая изменение вектора относительной скорости v _ОТ в переносном движении и вектора переносной скорости v _ПЕР в относительном движении, называется поворотным или кориолисовым ускорением.

Кориолисово ускорение равно удвоенному векторному произведению угловой переносной скорости на относительную скорость точки.

Если угол между векторами v _ОТ и ω _ПЕР обозначить через α, то по модулю:

а _С=2‌ ω _ПЕР v_ОТ ‌ sinα

Вектор а _Снаправлен перпендикулярно плоскости, проходящей через векторы ω и v_ОТ. Направление вектора можно определить, если повернуть вектор v_ОТ (или его проекции на плоскость, перпендикулярную ) на 90° в сторону переносного вращения.

Относительное а_ОТ и переносное а_ПЕР ускорения точки вычисляются по известным формулам кинематики. Направления ускорений для кривошипно-кулисного механизма показаны на рисунке. При постоянной угловой скорости кривошипа. В частности, для рассмотренного ранее примера.

v_ПЕР =v_а sin(45°+ωt/2) v_ОТ =v_а cos(45°+ωt/2)

a_ПЕР^τ=v_а ω cos(45°+ωt/2)/2 a_ПЕРⁿ= ω _ПЕР²O₁A

a_ОТ=−v_а ω sin(45°+ωt)/2

а_с=2 ω _ПЕР v_ОТ sinα; α=90°; O₁A=2OA cos(45°−ωt/2)

Для положения механизма, показанного на рис. ωt=30°

О₁А=0,346 м; ω _ПЕР =5 с⁻¹; v_а=2 м/с; v_ОТ=1 м/с;

a_ПЕР^τ=5 м/с²; a_ПЕРⁿ=8,66 м/с²; a_ОТ=− 8,66 м/с²;

а_с=5 м/с²

Проекция абсолютного ускорения на линию О₁А (ось X):

a_О1А= −a_ПЕРⁿ +a_ОТ =−17,32 м/с²

Проекция абсолютного ускорения на линию ┴О₁А (осьY):

a_┴О1А= а_с+a_ПЕР^τ=10 м/с²

Абсолютное ускорение

а_а=(a_О1А²+a_┴О1А²)^0,5=20 м/с² и направлено от т. А к т. О. Тот же ответ получим, если определим а_а как нормальное ускорение т. А при ее вращательном движении вокруг т. О:

a_Аⁿ= ω ²OA.

Направление ускорений при движении точки по поверхности шара, вращающегося вокруг неподвижной оси, показано на рис.

Вращательное движение твердого тела

Пример. Дано: радиусы шкивов В, С, D, начальная угловая скорость ременной передачи ω₀ =0, угловое ускорение шкивов 1 ε₁ (1/c) при запуске.

Найти угловые скорости шкивов, линейные скорости и ускорения точек на наружных поверхностях шкивов, а также скорость и ускорение груза G через t₁ c.

Решение:

1. Угловые скорости и ускорения:

ω₁ = ε₁t₁; т. к. ω₁ В= ω₂ D; и ε₁В= ε₂ D

ω₂ =ω₁ В/ D; ε₂=ε₁ В/ D

2. Линейные скорости т. L, М, N, и груза G

v_М=v_L=ω₁ В; v_N=v_G= ω₁С

3. Тангенциальные ускорения

а_М^τ = а_L^τ =ε₁В; а_N^τ =ε₁С

4. Нормальные ускорения

а_Мⁿ =ω₂ ²D а_Lⁿ =ω₁²В а_Nⁿ =ω₁²С.

5. Полные ускорения

а_G = а_N^τ =ε₁С; а_М = …

Задание.. Дано: радиусы шкивов В, С, D, начальная скорость груза v_G=0, а его скорость v _G =2 t (м/c).

Таблица. Исходные данные.

Радиусы шкивов, см
A	B	C	D	E	F

Найти угловые скорости шкивов, линейные скорости и ускорения точек на наружных поверхностях шкивов, а также скорость и ускорение груза G через 1 c.

 

Вектор скорости

Скоростью точки М, определяющей как быстро и в каком направлении она движется в данный момент времени t, называют предел

Вектор скорости равен первой производной от радиуса-вектора точки по времени.

Так как предельным положением секущей ММ₁ является касательная к траектории точки, то и вектор ее скорости в данный момент времени t направлен по касательной к траектории в сторону движения.

Вектор ускорения

Величину называют средним ускорением точки за время . Предел отношения

,

характеризующий изменение скорости в данный момент времени t, называют ускорением точки. Вектор ускорения равен первой производной от вектора скорости точки по времени или второй производной от радиуса-вектора точки по времени.

Ускорение, направлено в сторону вогнутости траектории.

Координатный способ задания движения

В прямолинейной системе координат Oxyz вектор может быть представлен в виде

,

координаты точки М, определяющие закон ее движения в зависимости от времени t;

- нормированный базис Oxyz.

1. Проекции скорости на оси координат равны первым производным от соответствующих координат точки по времени:

2. Проекции ускорения на оси координат равны первым производным от проекций скоростей точки или вторым производным от соответствующих координат точки по времени:

 

Величины (модули) скорости и ускорения в декартовой ортогональной системе координат определяют по формулам

,

а направления и характеризуют их направляющие косинусы

.

 

Задание движения в естественных осях

Предельное положение прямой, проходящей через точки М и М₁ траектории L точки М, когда М₁ стремится к М, определяет касательную к этой кривой в точке М. Обозначим - единичный направляющий вектор касательной к L в точке М.

Соприкасающаяся плоскость в точке М кривой L определяется как предельное положение плоскости, содержащей в себе касательную в точке М кривой и любую точку М₁ на ней, когда М₁ стремится к М.

Нормаль к кривой в точке М, лежащую в соприкасающейся плоскости, называют главной нормалью к кривой в т.М. Нормаль к кривой, перпендикулярную соприкасающейся плоскости, называют бинормалью.

Прямоугольную систему взаимно ортогональных осей, направленных по называют естественными осями кривой L. Направление вектора скорости принимают за положительное направление касательной .

Положительное направление главной нормали считают в сторону вогнутости кривой, а бинормаль направляют так, чтобы получившаяся система осей являлась правой.

Кривизной «k» кривой L в точке М называют предел

.

Радиусом кривизны «r» кривой L в точке М называют величину обратную ее кривизне в этой точке

.

Так, например, дуга окружности длиной s, опирающаяся на центральный угол : ,

где R – радиус окружности, то радиус кривизны для окружности

Ускорение точки можно разложить на тангенциальное , направленное по касательной к траектории и характеризующее изменение величины скорости, и нормальное , направленное по главной нормали к центру кривизны траектории и определяющее изменение направления .

Так как в естественных осях траектории скорость может быть представлена в виде , то, дифференцируя это соотношение по времени, получим ускорение:

, Касательное ускорение (проекция ускорения точки на касательную) равно первой производной от величины скорости от времени:

Нормальное ускорение

Абсолютная величина может быть определена по формуле

.

Задача. По заданным уравнениям движения точки

x = 2t (см), (см)

определить ее траекторию, положение, скорость, ускорение, касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории в заданное время t₁ = 2c.

Решение.

1.Уравнение траектории получим, исключив из уравнений движения время: - парабола с вершиной в точке (0,-2).

Построим траекторию по точкам:

2.Величина скорости точки ; см/с; ; при t₁=2с, v_x=2 см/с v_y=6см/с;

3. Величина ускорения точки ; ; ; .

4.Касательное ускорение ; при t₁ = 2с .

 

5.Нормальное ускорение ;

при t₁ = 2c: .

6.Радиус кривизны траектории ; при t₁ = 2c

см.

Кинематика твердого тела

Твердые тела можно рассматривать как совокупность точек, расстояния между которыми в процессе их перемещения остаются неизменными. Угол между пересекающимися прямыми, связанными с телом, сохраняется без изменения, а параллельные прямые остаются параллельными при его движении. Положение точек твердого тела полностью определено, если известно положение трех его точек, не лежащих на одной прямой.

 

1. Простейшие движения твердого тела

К простейшим относятся поступательное и вращательное движение тела вокруг неподвижной оси.

1.1. Поступательное движение. При поступательном движении любой отрезок прямой (например, отрезок АВ), проведенный в твердом теле, остается параллельным самому себе.

Выберем подвижную систему отсчета Axyz, оси которой связаны с данным телом и передвигаются вместе с ним.

Т. к. при поступательном движении оси координат остаются параллельными своему начальному направлению, координаты любой точки (например т. В) твердого тела в подвижной системе отсчета остаются постоянными, а ее движение тождественно движению т. А.

Следовательно, траектории движения всех точек одинаковы. Одинаковыми по модулю и направлению будут также скорости и ускорения твердого тела при его поступательном движении.

Поступательное движение твердого тела полностью определяется движением одной его точки.

Все точки тела движутся по идентичным траекториям, а их скорости и ускорения одинаковы.

Скорости и ускорения при простейших движениях точек тела при его

поступательном движении

1. Равномерное прямолинейное движение (v=const) по оси Х

x=x₀+v t, a =0.

2. Равномерное криволинейное движение (v=const)

s=s₀+v t,

где s − дуговая координата; s₀ − дуговая координата в начальный момент времени при t=0.

3. Равноускоренное движение (a =const)

v=v₀+ а_τ t

здесь v₀ − начальная скорость при t=0.

1.2. Вращательное движение твердого тела

Вращательным движением называется такое движение, при котором любые две точки, принадлежащие телу, остаются неподвижными.

Прямая, соединяющая эти точки называется осью вращения все точки этой прямой также остаются неподвижными. Остальные точки тела движутся по окружностям в параллельных плоскостях, перпендикулярных оси вращения, а их центры расположены на оси вращения.

Такое движение вполне определяется углом поворота тела j относительно некоторого начального положения:

За время Dt угол j изменяется на величину Dj. Отношение Dj к Dt называют средней угловой скоростью тела за время Dt, .

Угловая скорость тела:

.