Моделирование химико-технологических процессов.

Моделирование химико-технологических процессов.

Для проектирования новых и оптимизации существующих аппаратов необходимо знание в них полей W, p, T и . Определить эти поля можно было бы двумя способами: теоретическим и экспериментальным. Теоретический способ – решение дифференциальных уравнений, составляющих исчерпывающее описание процессов переноса. Задача труднодостижимая. Экспериментальный способ дорогой, трудоёмкий.

В связи с этим в инженерной практике получил подход, называемый моделированием.

Моделирование – это изучение объекта-оригинала с помощью замещающей его модели, включающее построение модели, её исследование и перенос полученных результатов на объект-оригинал.

Объект-оригинал – объект, свойства которого подлежат изучению методом моделирования.

Модель – объект, отражающий свойства оригинала и замещающий его при проведении исследований.

Наибольшее распространение в инженерной практике получило математическое и физическое моделирование.

 

Математическое моделирование.

Математическое моделирование – исследование процессов или явлений на основе математических моделей.

Математической моделью процессов является исчерпывающее математическое описание процессов переноса. Но эти модели сложные, уравнения, в основном, не решаются. Поэтому их упрощают, путём оценки значимости их членов. Если этот способ невозможен (члены уравнения одного порядка), то сознательно огрубляют исчерпывающее описание процесса. Например, трёхмерное описание приводит к одномерному – от входа в аппарат к выходу. При этом коэффициенты переноса заменяются на неких параметры модели. Отыскание этих параметров, т.е. идентификация модели, проводят путём составления физического и численного экспериментов.

Любая модель неполно отражает оригинал. Поэтому следующим этапом моделирования является проверка адекватности модели – соответствия её моделируемому объекту. Это достигается путём сопоставления результатов моделирования с численным либо физическим экспериментом.

Если модель в недостаточной степени соответствует оригиналу, проводят её коррекцию.

Конечным этапом математического моделирования является использование полученной модели для описания объекта, либо уже существующего, либо проектируемого.

Итак, этапы математического моделирования:

– составление математической модели;

– идентификация модели;

– проверка адекватности модели, при необходимости коррекция;

– использование модели для описания объекта-оригинала.

Современное материальное обеспечение математического моделирования – компьютеры, возможности которых велики.

 

Физическое моделирование.

Физическое моделирование проводится на основе экспериментального изучения материальных моделей объекта. При этом возникают три проблемы:

- какую модель использовать (форма, размер, среда);

- какие характеристики измерять;

- как перенести результаты исследования с модели на объект.

Эти проблемы решаются с помощью теории подобия, являющейся теоретической основой физического моделирования.

Теория подобия.

Подобие в широком смысле – это возможность распространения результатов экспериментов с модели на оригинал. В узком смысле подобие – это тождественность описания полей соответствующих величин модели и оригинала в обобщённых переменных или, по-другому, постоянство отношения сходственных величин модели и оригинала. Далее «подобие» будем понимать в узком смысле.

Подобные объекты описываются одной системой дифференциальных уравнений и имеют подобные условия однозначности (геометрическое подобие, временное подобие, подобие физических величин, подобие начальных и граничных условий).

Геометрическое подобие – постоянство отношения всех сходственных линейных размеров модели и оригинала.

, (2.88)

где l и l – сходственные линейные размеры модели и объекта, K – константа геометрического подобия.

Временное подобие (гомохронность) – постоянство отношения сходственных интервалов времени модели и оригинала:

, (2.89)

Если =1, то имеем синхронность.

Подобие физических величин - постоянство отношения физических величин для модели и оригинала в сходственных точках сходственного момента времени:

, , (2.90)

Подобие модели и объекта предполагает подобие полей физических величин:

- гидродинамическое подобие (подобие полей скоростей)

- тепловое подобие (подобие полей температуры)

 

- концентрац. подобие (подобие полей концентраций)

При соблюдении геометрического и временного подобия будет соблюдаться также подобие полей скоростей, температур, концентраций и других физических величин.

Подобие начальных условий – подобие полей всех физических величин в начальный момент времени.

Подобие граничных условий – постоянство отношения соответствующих величин на границах модели и оригинала.

Константы подобия – отношения одноимённых величин модели и оригинала. Они постоянны для различных сходственных точек подобных систем.

Инварианты подобия – безразмерные отношения величин, характеризующих модель или оригинал.

Симплексы подобия – инварианты подобия, представляющие собой отношения однородных величин:

(2.91)

Критерии подобия – инварианты подобия, представляющие собой отношения разнородных, сложных величин. Например:

(2.92)

Определяющие критерии подобия составлены из величин, входящих в условия однозначности. Определяемые критерии подобия содержат величины, которые необходимо определить.

Наиболее простой метод получения критериев подобия заключается в следующем: дифференциальное уравнение приводится к безразмерному виду делением всех членов на один из них. Полученные комплексы являются критериями подобия.

Теоремы подобия:

1. Подобные объекты характеризуются численно равными критериями подобия.

2. Решение дифференциального уравнения (уравнений) описывающего объект, может быть представлено в виде зависимости между критериями подобия.

3. Объекты подобные, если они описываются одной системой дифференциальных уравнений, имеют подобные условия однозначности и их определяющие критерии равны.

Математическая зависимость между критериями и симплексами подобия, характеризующими данный процесс переноса субстанции, называется критериальным уравнением:

(2.93)

Если определяемый критерий, то имеем:

(2.94)

Обычно критериальные уравнения имеют вид степенной зависимости:

(2.95)

Величины - определяются экспериментально. Если какой – либо из определяющих критериев слабо влияет на определяемый критерий, то его исключают из уравнения.

 

Подобие тепловых процессов.

Критерии подобия тепловых процессов вводятся из уравнения Фурье – Кирхгофа:

(2.113)

Для полного описания конвективного переноса теплоты необходимо присоединить к уравнению Фурье – Кирхгофа уравнения Навье – Стокса и неразрывности, а также алгебраическое уравнение зависимости вязкости от температуры.

Преобразуем уравнение Фурье – Кирхгофа формальным, но простым способом: отбрасывая знаки математических операторов:

(I) (II)

(III)

Далее, разделив одну часть уравнения на другую, находим критерии подобия:

; – Критерий Фурье (2.114)

Критерий Фурье характеризует распространение теплоты теплопроводностью при изменении температуры во времени, является аналогом критерия гомохронности Ho.

; – Критерий Пекле (2.115)

Критерий Пекле характеризует соотношение между интенсивностью переноса теплоты конвекцией и теплопроводностью в движущемся потоке.

Рассмотрим подобие граничных условий.

Тепловой поток на границе раздела фаз можно выразить с помощью уравнения Фурье:

(2.116)

Тот – же поток можно выразить в виде линейной зависимости от разности на границе и в ядре потока жидкости :

(2.117)

Здесь – коэффициент теплоотдачи. Тогда получим:

(2.118)

Проведя формальное преобразование (2,118) имеем:

(I) (II)

; – Критерий Нуссельта (2.119)

Критерий Нуссельта характеризует отношение суммарного переноса теплоты конвекцией и теплопроводностью (т.е. теплоотдачей) к теплоте, передаваемой теплопроводностью.

Для подобия процессов теплообмена необходимо:

, ,

Кроме того, необходимым условием подобия процессов переноса теплоты является соблюдение гедродинамического подобия. Тогда критериальное уравнение теплоотдачи имеет вид:

(2.120)

или

(2.121)

Критерий Эйлера в уравнение не вошёл, т.к. . Преобразования критерия Пекле дают:

(2.122)

Критерий Прандтля – характеризует подобие физических свойств теплоносителей. Для газов , жидкостей ÷ .

Для установившегося процесса теплообмена:

(2.123)

При вынужденной теплоотдаче критерием Fr можно пренебречь:

(2.124)

Обычно критериальное уравнение представляют в виде степенной зависимости:

(2.125)

Здесь – экспериментально найденные коэффициенты.

 

Определение коэффициентов

Для промышленных аппаратов.

Проектированиеи внедрение аппаратов большой единичной мощности (например, массообменных колонн до 10м в диаметре и высотой до 100м) выявило существенное снижение их эффективности с лабораторными модолями (масштабный эффект). Причины:

– возникновение по сечению аппарата гидродинамических неоднородностей;

– изменение значений коэффициента турбулентного переноса;

– невозможность достижения одновременного подбия полей W, T и .

В свези с этим возникает проблема масштабного перехода от лабораторной модели к промышленному аппарату. Традиционно она решается следующим образом:

– изготовление и исследование лабораторной модели; получение критериального уравнения;

– проектирование, изготовление и исследование полупромышленной установки с целью коррекции описания (уравнения);

– проектирование и изготовление промышленной установки.

Всё это приводит к удорожанию и затягиванию сроков внедрения новой техники. С целью устранения этих недостатков был предложен двух уровневый подход к проектированию промышленных аппаратов на основе гидродинамического моделирования. Предполагается, что основную роль в масштабном эффекте играет изменение гидродинамической структуры потоков при переходе к аппаратам больших размеров. Пилотную и полупромышленную установку заменяют стендом, на котором в промышленном масштабе изучается небольшой по высоте участок аппарата с целью коррекции критериального уравнения.

Попытка решения проблемы масштабного перехода привела к разработке метода сопряжённого физического и математического моделирования.

 

Понятие о сопряжённом

Моделирование химико-технологических процессов.

Для проектирования новых и оптимизации существующих аппаратов необходимо знание в них полей W, p, T и . Определить эти поля можно было бы двумя способами: теоретическим и экспериментальным. Теоретический способ – решение дифференциальных уравнений, составляющих исчерпывающее описание процессов переноса. Задача труднодостижимая. Экспериментальный способ дорогой, трудоёмкий.

В связи с этим в инженерной практике получил подход, называемый моделированием.

Моделирование – это изучение объекта-оригинала с помощью замещающей его модели, включающее построение модели, её исследование и перенос полученных результатов на объект-оригинал.

Объект-оригинал – объект, свойства которого подлежат изучению методом моделирования.

Модель – объект, отражающий свойства оригинала и замещающий его при проведении исследований.

Наибольшее распространение в инженерной практике получило математическое и физическое моделирование.