Основные задачи теории электрических цепей

Основных задач две.

1. Задача анализа электрической цепи состоит в отыскании откликов y_i(t), т.е. токов и напряжений на интересующих нас участках цепи по заданной схеме и воздейсвиям x_j(t). Схематично задача анализ показана на рис. 4.

Задача анализа имеет единственное решение (она однозначна).

3. Задача синтеза электрической цепи состоит в отыскании схемы цепи (структуры цепи) и параметров ее элементов по заданным откликам и воздействиям. Схематично задача анализ показана на рис. 4.

Задача синтеза сложнее задач анализа и обычно неоднозначна, то есть можно создать ряд схем с одной и той же функцией цепи. Окончательный вариант схемы выбирается на основе дополнительных требований к ней.

Например: 1. Синтезировать схему при минимальной стоимости ее деталей;

2. синтезировать пассивную схему, используя только элементы R и C.

4.8. Методы анализа (расчета) линейных цепей

при гармоническом воздействие

в общем случае расчет (анализ) электрических цепей сводится, к отысканию токов во всех ветвях схемы. При гармоническом воздействие в основу всех методов расчета линейных цепей положен метод комплексных амплитуд - МКА. Возможность применения МКД основана на том, что в линейных цепях новых гармонических составляющих не возникает, а потому расчет цепей сводится к расчету амплитуд и начальных фаз токов или напряжений на интересующих нас участках цепи, в то время как частота в любой точке цепи равна частоте входного сигнала.

Метод комплексных амплитуд состоит в следующем:

1. исходная схема электрической цепи заменяется комплексной схемой замещения, в которой:

а) все пассивные элементы заменяется их комплексными сопротивлениями как показано на рис. 4..

б) все токи и напряжения в схеме заменяются их комплексными амплитудами, т.е. х(t)=X_mCos(w₀t-j_x) ® X_m = X_m e^-jjx

2. Расчет электрической цепи сводиться к составлению уравнений состояния цепи на основе законов Ома и Кирхгофа в комплексной форме и нахождению комплексных амплитуд токов или напряжений на интересующих нас участках цепи, т.е. Y_m =Y_m e^-jjy.

3. Запись окончательного решения состоит в замене рассчитанных комплексных амплитуд на гармонические функции времени, т.е. Y_m =Y_m e^-jjy ® y(t)= Y_m Cos(w₀t-j_y).

Основными методами анализа (расчета) являются:

1. Метод токов ветвей (МТВ).

2. Метод контурных токов (МКТ).

3. Метод узловых потенциалов (МУП).

4. Метод наложения.

Название метода дается в соответствии с тем, какая величина, при составлении уравнений состояния, принимается за неизвестную в данном методе расчета. Рассмотрим подробнее эти методы.

4.8.1. Метод токов ветвей (МТВ)

Данный метод основан на применении 1-го и 2-го закона Кирхгофа. За неизвестные величины в этом методе принимаются искомые токи во всех ветвях схемы. Для того чтобы задача имела однозначное решение для схемы состоящей из b - ветвей (b=N) необходимо составить N независимых уравнений.

Порядок решения данным методом.

1. Проводится топологический анализ схемы.

а.) Во всех ветвях стрелками показывают положительное направление токов и нумеруют их I₁,I₂,…,I_N. Отсюда определяют число ветвей b=N.

б.) Подсчитывают число узлов у и определяют число независимых узлов N_у = у - 1.

в.) Подсчитывают число независимых контуров по формуле Nк = в – у + 1. На схеме независисмые контура выделяют дугами. Стрелкой на дуге показывают положительное направление обходов элементов контуров. Эти контура нумеруют. За положительное направление принимают направление по часовой стрелки.

2. По первому и второму законам Кирхгофа относительно токов ветвей записывают уравнения. Общее число уравнений составляет N_y+N_k=b, это означает, что записанная система относительно токов ветвей имеет однозначное решение. В общем случае для схемы из b=N ветвей составленные уравнения образуют систему линейных алгебраических уравнений N-го порядка которые можно записать так:

где x_i - искомые токи ветвей; a_{j i} - постоянные коэффициенты, зависящие от параметров пассивных элементов схемы; в_i - постоянные величина, зависящие от параметров активных элементов схемы.

3. Токи в ветвях находят по правилу Крамера

x_i= , где

D - главный определитель системы; D_i – определитель получаются из главного D путем замены i-го столбца на столбец свободных членов в_i

Пример. Дана комплексная схема замещения электрической цепи. Определить токи во всех ветвях схемы.

1. Проведем топологический анализ.

а.) b=3; б.) y=2, Nу=1;в.) N_k=b – y + 1=2.

2. Запишем систему уравнений, составленную по методу токов ветвей.

I₁ - I₂ - I₃=-I для узла 1;

Z ₁I₁+ Z ₂ I₂ +0 I₃ =E₁ -E₂ для контура - 1;

0 I₁+ Z ₂ I₂ + Z ₃ I₃=E₂ для контура – 2.
4.8.2. Метод контурных токов (МКТ)

Метод основан на 2-ом законе Кирхгофа. При его использовании в составе анализируемой схемы выбирают независимые контуры и предполагают, что в каждом из контуров течет свой контурный ток. Для каждого из независимых контуров составляют уравнение по 2-му закону Кирхгофа и их решают. Токи в ветвях находят как алгебраическую сумму контурных токов, протекающих по данной ветви.

0) Все источники сигналов представленные источниками тока заменяют источниками ЭДС.

Это схема эквивалентна если

1) E=Izi^I

2) Z i^II= Z i^I

 

 

1) Топологический анализ схемы.

а) Как в предыдущем методе, определяют число ветвей b.

б) Определяется число узлов у.

в) Подсчитываем число независимых контуров N_k=b-y+1

Все независимые контура показываем дугами со стрелками на них, которые показывают положительное направление обхода.

Все контура нумеруют и каждому контуру присваивают свой контурный ток: I_k1; I_k2; I_kNk

За положительное направление контурного тока принимают положительное направление обхода контура.

2) По второму закону Кирхгофа относительно контурных токов записывают уравнения, которое после приведения подобных членов образуют систему линейных уравнений N_k = N_k порядка.

I_ki -контурный ток i-го контура

Z_ii - собственное сопротивление i- го контура. Равно алгебраической сумме сопротивлений, входящих в i-тый контур.

Z_ji -сопротивление смежных ветвей между i-тым и j-тым контурами. Оно представляет собой алгебраическую сумму, причем ее члены берутся со знаком «+», если контурные токи направлены одинаково, и со знаком «-», если они направлены встречно.

E_ki - контурная ЭДС i-той ветви. Она равна алгебраической сумме ЭДС, входящих в i-тый контур. Со знаком «+», когда направление источника ЭДС и направление тока совпадают, и со знаком «-», если они направлены встречно.

3) По правилу Крамера находят контурные токи I_Ki= .

4) Токи в ветвях находят как алгебраическую сумму контурных токов, протекающих через данную ветвь. Если токи оказались положительными, то выбранное направление совпадает с истинным, и наоборот.

Пример. Дана комплексная схема замещения электрической цепи. Определить токи во всех ветвях.

1) Проводим топологический анализ

а) b=6; б) y=4; в) N_k=6-4+1=3.

2) Составим систему уравнений по методу МКТ

,

где

E₁₁=E₁; E₂₂=0; E₃₃=0

3) По методу Крамера находим контурные токи I_Ki = .

4) Находим токи в ветвях: I₁=I_K1; I₂=I_K1-I_К2; I₃=I_K1-I_K3; I₄₌ - I_K2+I_K3; I₅=I_K2; I₆=I_K3.

3) Метод узловых потенциалов (МУП)

Метод основан на применение первого закона Кирхгофа. В нем за неизвестные величины принимают потенциалы узлов. Определив по закону Ома определяют токи во всех ветвях схемы.

0) Все источники ЭДС, имеющиеся в схеме заменяют источниками тока.

1) I=E/ Z_i2

2) Z_i1=Z_i2

1) Топологический анализ.

а) Подсчитывается число ветвей I₁, I_в, в=N

б) Нумеруют все узлы. Один из узлов, к которому сходится наибольшее число ветвей считают нулевым, где - потенциал нулевого узла.

2.По 1-му закону Кирхгофа составляют уравнения для N-узлов схемы и решают их относительно потенциалов узлов.

Y_ii-собственная узловая проводимость. Она равна сумме проводимостей всех ветвей, сходящихся в i-том узле, все они берутся со знаком «+».

Y_ij-межузловая проводимость между i-тым и j-тым узлами. Проводимости всех узлов берется со знаком «-».

I_ii- алгебраическая сумма токов источников тока сходящихся в i-го узле. Втекающие токи записываются в эту сумму со знаком «+», а вытекающие – со знаком «-».

3) Потенциалы узлов находят по формуле Крамера.

4) Токи в ветвях находят по закону Ома.

I=(j₁-j₂)/Z

 

Пример. Дана электрическая цепь (рис.4). Рассчитать токи во всех ветвях.

0). Предварительно преобразуем все источники напряжения (см. рис.4.) в источники тока (см. рис.4.).

1). Проведем топологический анализ.

А). Число ветвей b=4; б). Число независимых узлов Nу=2, их потенциалы: φ₁ и φ₂ (см. рис. 4.).

2). Составим систему уравнений по методу узловых потенциалов.

,

; .

3). По методу Крамера найдем потенциалы узлов .

4) По закону Ома найдем тки во всех ветвях схемы: