Постановка задачи. Разработка математической модели

Постановка представляет собой описание задачи с помощью математических выражений или словесное описание частей задачи и логических связей между ними.

Исследование сложных объектов или систем (гроза, вулкан, предприятие) приводит к пониманию полной невозможности исследования непосредственно объекта и к необходимости замены реального объекта или системы его моделью.

Модель – это упрощенное подобие реального объекта или процесса, содержащее существенное свойство данного объекта.

Разработка математической модели или представление задачи в математическом виде включает следующие действия:

а) обозначение переменных;

б) классификация переменных по типам;

в) классификация переменных по группам: исходные данные, результаты, промежуточные результаты;

г) запись расчетных формул и логических связей в той последовательности, в которой они должны выполняться на компьютере.

Переменными называются поименованные объекты программы, значения которых могут изменяться в процессе вычисления. Для того чтобы полностью определить переменную, необходимо указать её характеристики: имя, тип, значение.

Уникальные имена переменных, программ, функций, констант и т. д. называются идентификаторами.

Выбирая идентификатор для имени, следует учитывать два обстоятельства. Во-первых, имя должно быть содержательным, т.е. отражать назначение переменной, что делает программу более «читабельной». Во-вторых, VBA накладывает на имена следующие ограничения:

- имя должно начинаться с буквы;

- имя не должно содержать точки, пробела, разделительных символов, знаков операций, а также специальных символов;

- имя должно быть уникальным, оно не должно совпадать с зарезервированными словами VBA или с другими именами;

- длина имени не должна превышать 255 символов;

- имена могут быть простыми или составными.

Простой тип определяет множество значений переменной. Составной тип состоит из элементов других типов: массивы, записи, файлы.

Примеры идентификаторов:

Х1, SUMMA_ZARPLAT, ALFA, F_I_O, А(12).

Под типом данных понимается множество допустимых значений этих данных. Среди типов, используемых в алгоритмических языках, есть стандартные (предопределенные языком программирования) и определяемые программистом.

Обычно имеются следующие группы стандартных типов: численные целые, численные вещественные, логические, символьные, строковые.

Таблица 1 – Стандартные типы переменных

Тип переменной	Тип информации	Интервалы значений
Boolean	Логические значения	True (истина) или False (ложно)
Integer	Целые числа	от -32768 до 32767
Long	Длинные целые числа	от -2.1Е9 до 2.1Е9
Single	Вещественные числа одинарной точности с плавающей точкой	от -3.4Е38 до -1.4Е-45 - для отрицательных чисел и от 1.40Е-45 до 3.4Е38 - для положительных
Double	Вещественные числа двойной точности с плавающей точкой	от - 1.79Е308 до - 4.94Е-324 - и от 4.94Е-324 до 1.79Е308
String	Текстовая информация (строка)	От 1 до 65400 символов
Date	Дата и время	от 1 января 100 г. до 31 декабря 9999
Variant	Специальный тип, который может заменять любой из стандартных	Любое числовое или строковое значение
Currency	Денежные единицы	Числа, имеющие до 15 цифр до десятичной точки и 4 цифры после нее
Object	Рисунок или объект	Выбор объекта из библиотеки

Тип данных определяется смысловым содержанием задачи и задает представление данных в памяти компьютера, т.е. количество байт памяти, занимаемой значением каждой переменной. Целый тип выбирается для переменных, значение которых не может содержать дробной части, например, количество студентов, номер работника в списке, табельный номер. Все физические величины, коэффициенты имеют вещественный тип: масса, сила, размеры, объемы и т. д. Для представления вещественных чисел используются форматы: с фиксированной точкой (десятичная запятая заменяется точкой) – 12.5678, -67854.906; с плавающей точкой или с порядком – 1.45Е06, что соответствует записи 1.45·10⁶, или –5.7Е-12 т.е. -5.7·10^-12.

Строковый тип определяет строку любых символов, например: “Иванов А.И.”

Выполним построение математической модели одной из производственных функций предприятия.

Пример 1. Руководство фирмы, в состав которой входят три дочерних производства, решило построить складские помещения на одинаковом удалении от этих производств. Расстояние между фирмами «дочками» соответственно a, b, c (рис. 1). Найти расстояние r от производств до складских помещений.

Рис. 1 Расположение дочерних производств и складских помещений

 

а) Введем обозначения переменных, т.е. дадим имена всем объектам задачи:

a, b, c – длины сторон треугольника, соответствующие расстояниям между дочерними производствами;

r – радиус описанной окружности с центром совпадающим с местоположением складских помещений.

б) Определим тип переменных:

a, b, c, r – простые переменные вещественного типа.

в) Проведём классификацию по группам:

исходные данные: a, b, c;

результат: r;

промежуточный результат: d.

г) Запишем расчетные формулы в последовательности их выполнения:

;

.

Примечание. При записи расчетных формул необходимо соблюдать следующее правило: все переменные, входящие в правую часть формулы должны быть определены, т.е. вычислены ранее или введены как исходные данные. Рекомендуется вводить новые переменные для повторяющихся выражений, встречающихся в формулах или для упрощения исходного выражения, например, переменная d в примере 1.

Выполним построение математической модели задачи вычислительного характера.

Пример 2. Вычислить сумму S = y + z, если

; ;

a, b, c, x заданы.

а) Введем новые переменные для повторяющихся выражений:

t=a+b, p=cx;

б) Тип переменных:

a, b, c, x, t, p, s, y, z – простые переменные вещественного типа;

в) Классификация по группам:

исходные данные: a, b, c, x;

результат: S;

промежуточные результаты: t, p, y, z;

г) Расчетные формулы в последовательности их выполнения:

Алгоритм и его свойства

Термин «алгоритм» произошел от имени величайшего среднеазиатского математика Мухаммеда ибн Муса ал-Хорезми (Alhorithmi), жившего в 783–850 гг. В своей книге «Об индийском счете» он изложил правила записи натуральных чисел с помощью арабских цифр и правила действий над ними «столбиком», знакомые теперь каждому школьнику. В XII веке эта книга была переведена на латынь и получила широкое распространение в Европе.

Алгоритм решения задачи – это конечная последовательность действий, определяющая процесс переработки исходных данных в результат.

Разработка алгоритма предполагает установление последовательности вычислительных действий, управляющих связей и проверок логических условий, а также определение действий компьютера по вводу данных и выводу результатов.

Выбор метода проектирования необходим при наличии нескольких методов решения математически формализованной задачи.

Алгоритмизация не является только прерогативой математики. В обычной жизни всякой целенаправленной деятельности сопутствует заранее созданный алгоритм. По определенному алгоритму осуществляется изготовление обуви и пошив одежды, сборка автомобилей на конвейере, выпечка хлеба и плавка металла; таким образом, алгоритм можно трактовать как технологическую инструкцию из отдельных предписаний, выполнение которых в заданной последовательности приводит к ожидаемому результату.

Любой алгоритм имеет четыре основных свойства:

1. Дискретность означает, что алгоритм должен представлять собой последовательное выполнение простых или заранее определенных шагов. Для выполнения каждого шага алгоритма требуется определенный отрезок времени, т.е. получение результата на основании исходных данных происходит дискретно.

2. Массовость – возможность использовать алгоритм для решения серии однотипных задач с различными вариантами исходных данных, причем исходные данные можно выбирать из так называемой области применимости алгоритма.

3. Однозначность или определённость – алгоритм должен содержать конечное число предписаний, не допускающих произвольного толкования исполнителя, не оставляющих исполнителю свободы выбора. Многократное повторение алгоритма с одинаковыми исходными данными должно приводить к одному и тому же результату.

4. Результативность – это свойство означает, что количество операций в алгоритме, приводящих к получению результата, должно быть конечным. Несмотря на кажущуюся очевидность последнего свойства, оно является чрезвычайно важным, так как очень часто создаются бесконечные алгоритмы. Такая ситуация в программировании носит название «зацикливание».

На практике наиболее распространены следующие формы представления алгоритмов:

- словесная (запись на естественном языке);

- псевдокоды (полуформализованные описания алгоритмов на условном алгоритмическом языке, включающие в себя как элементы языка программирования, так и фразы естественного языка, общепринятые математические обозначения и др.);

- графическая (изображения из графических символов);

- программная (тексты на языках программирования).